2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.1.1 变量与函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·蚌山月考）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意，，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的非负性列不等式求解．
2．（2023八上·龙岗期中）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，
∴2（x+y)=50，
∴y=25-x，
故答案为：C.
【分析】根据长方形的周长公式得出2（x+y)=50，得出y=25-x，即可得出答案.
3．（2023八上·邛崃月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的
B．是一组勾股数
C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
D．函数中自变量的取值范围是
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；函数自变量的取值范围；勾股数；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的，命题为真命题，不符合题意；
B、a=3，b=4，c=5是一组勾股数，命题为真命题，不符合题意；
C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，命题为假命题，符合题意；
D、函数y=中自变量x的取值范围为x≥2，命题为真命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数自变量的取值范围、对顶角的含义、勾股数的含义、实数与数轴的关系，判断真假命题即可。
4．（2023·黄石）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使函数有意义，只需，解得且.
故答案为：C.
【分析】根据函数有意义，列出不等式组求解.
5．下列两个变量之间不存在函数关系的是（ ）
A．a表示正数b的平方根，a与b之间的关系
B．某地一天的温度T与时间t
C．某班学生的身高y与学生的学号x
D．圆的面积S和半径r
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵a表示正数b的平方根，a与b之间的关系 ，∴b=a2，存在函数关系，故A不符合题意；
B、∵某地一天的温度T与时间t ，存在函数关系，故B不符合题意；
C、∵某班学生的身高y与学生的学号x ，不存在函数关系，故C符合题意；
D、∵圆的面积S和半径r ，∴S=πr2，存在函数关系，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意列出表达式，然后根据函数的定义，即可判断出结论。
6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度最长为，与所挂的物体的质量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法中不正确的是（ ）
A．与都是变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
【答案】C
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、根据题意可以确定弹簧的长度随着所挂物体的质量的增加而变长，故x、y都是变量，故此选项正确，不符合题意；
B、直接根据表格数据可得所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故此选项正确，不符合题意；
C、根据表格弹簧不挂重物时的长度为10cm，故此选项错误，符合题意；
D、根据表格数据可以知道所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，据此可判断A选项；利用表格数据可以判断B、C、D选项.
7．（2023九上·北京市月考）如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
【答案】C
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】根据题意可得：y=5-t属于一次函数；S=×r2属于二次函数，
故答案为：C.
【分析】先根据题意分别求出函数解析式，再判断即可.
8．（2023九上·三台期中）一副三角板（和）如图放置，点E在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持．若，设，的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：过F作FH⊥EC于H，
在Rt△MBC中，∠M=60°，
∴BC=MBtan60°=4，EC=4-x，
∵∠AEG=90°，
∴∠BED+∠FEH=90°，
同理：∠BED+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠FEH，
又∵∠B=∠EHF=90°，EF=DE，
∴△BDE≌△HEF(AAS)，
∴FH=BE=x，
∴y=EF×FH=，
∴A，B，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】作FH⊥EC于H，先根据三角函数值求BC，EC，再证明△BDE≌△HEF，求出FH即可.
二、填空题
9．（2023九上·房山期中）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
10．（2024九上·房山期末）请写出一个图象过点的函数表达式： .
【答案】或或（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：
所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可
如或或（答案不唯一）
故答案为：或或（答案不唯一）
【分析】所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可.
11．（2023八上·铜官期中）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：根据题意可得：，
解得：且，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．（2023九上·泰山月考）函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
【答案】x≥-1且x≠3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：解由题知
故答案为： x≥-1且x≠3 .
【分析】自变量的取值应该使解析式有意义，解析式中自变量既在二次根式里，又在分母中，所以自变量的取值既要使二次根式有意义，分母还不能为零，从而得到自变量的不等式组，求解不等式组即可。
13．已知银行一年期教育储蓄的年利率是3.25%，李师傅为儿子在银行存入x元的一年期教育储蓄，一年后可得利息为y元．在这个问题中，y关于x的函数表达式是 ．当x=10 000元时，函数值是 ，这个函数值的实际意义是
【答案】y=0.0325x；325元；存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为 325元
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵银行一年期教育储蓄的年利率是3.25%，李师傅为儿子在银行存入x元的一年期教育储蓄，一年后可得利息为y元，
∴y=0.0325x；
当x=10000时，y=0.0325×10000=325；
这个函数值的实际意义是存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为325元
故答案为： y=0.0325x，325，存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为325元 .
【分析】利用利息=年利率×本金，可得到y与x的函数解析式；再将x=10000，代入可求出y的值，由此可得到这个函数值的实际意义.
三、解答题
14．国内寄往香港、澳门、台湾地区的邮件资费表如下.
信件质量（克）
邮资（元） 1.80 2.80 4.00
（1）是的函数吗？为什么？
（2）分别求当时的函数值.
【答案】（1）解：y是的函数，因为当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）在一个变化过程中，存在两个变量x、y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应，于是我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数；
（2）根据表格提供的数据可直接得出答案.
15．判别下列问题中，字母表示的是变量还是常量．
（1）如图是某地一天气温变化的记录图，其中t（时）表示时刻，W（℃）表示温度．
（2）某品牌陶瓷仓库某月货物的进出记录如下表，其中t表示该月某天的日期，N表示进出货物的数量（货物运进记为正）．
t（日期） 2 6 10 14 18 22 26
N（箱） 70 -38 -25 50 -30 50 -46
【答案】（1）解：此题中温度W摄氏度随时间t小时的变化而变化，所以字母W，t是变量；
（2）解：此题中进出货物的数量N随该月某天的日期t的变化而变化，所以字母t，N是变量.
【知识点】常量、变量
【解析】【分析】（1）在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，此题中温度W摄氏度随时间t小时的变化而变化；
（2）在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，此题中进出货物的数量N随该月某天的日期t的变化而变化.
四、综合题
16．（2023八下·南沙期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当时，求S的值．
【答案】（1）解：，
周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量．
（2）解：当时，
．
【知识点】常量、变量；函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的周长可表示出矩形的另一边长为(10-x)，再求得矩形面积的表达式.
(2)将x的值代入(1)中得到的表达式，进而求得S的值.
17．（2023七下·河源期末）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
（1）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是 ．
（2）在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式： ；
（3）当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度；
【答案】（1）13.5cm，
（2）
（3）当时，代入，
解得，
即弹簧长度为．
【知识点】函数解析式；函数值
【解析】【解答】解：（1）由表格中数据可知： 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是13.5cm； 故答案为：13.5cm；
（2）由表格中数据可知：弹簧原长为12cm， 所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm， ∴ 弹簧的长度为与所挂物体的质量为之间的函数关系式为： ； 故答案为：.
【分析】（1）利用表格中数据可知： 找到所挂物体的质量为时，弹簧的长度即可；
（2）由表格中数据可知：弹簧原长为12cm， 所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，据此确定y与x的哈数关系式；
（3）把代入（2）中解析式，求出y值即可.
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一、选择题
1．（2023八上·蚌山月考）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·龙岗期中）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·邛崃月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的
B．是一组勾股数
C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
D．函数中自变量的取值范围是
4．（2023·黄石）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
5．下列两个变量之间不存在函数关系的是（ ）
A．a表示正数b的平方根，a与b之间的关系
B．某地一天的温度T与时间t
C．某班学生的身高y与学生的学号x
D．圆的面积S和半径r
6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度最长为，与所挂的物体的质量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法中不正确的是（ ）
A．与都是变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
7．（2023九上·北京市月考）如图，线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点以点为圆心，线段的长为半径作圆．设点的运动时间为，点，之间的距离为，的面积为则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
8．（2023九上·三台期中）一副三角板（和）如图放置，点E在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持．若，设，的面积为y，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九上·房山期中）在函数中，自变量的取值范围是 ．
10．（2024九上·房山期末）请写出一个图象过点的函数表达式： .
11．（2023八上·铜官期中）函数的自变量的取值范围是 ．
12．（2023九上·泰山月考）函数y＝的自变量x的取值范围为 ．
13．已知银行一年期教育储蓄的年利率是3.25%，李师傅为儿子在银行存入x元的一年期教育储蓄，一年后可得利息为y元．在这个问题中，y关于x的函数表达式是 ．当x=10 000元时，函数值是 ，这个函数值的实际意义是
三、解答题
14．国内寄往香港、澳门、台湾地区的邮件资费表如下.
信件质量（克）
邮资（元） 1.80 2.80 4.00
（1）是的函数吗？为什么？
（2）分别求当时的函数值.
15．判别下列问题中，字母表示的是变量还是常量．
（1）如图是某地一天气温变化的记录图，其中t（时）表示时刻，W（℃）表示温度．
（2）某品牌陶瓷仓库某月货物的进出记录如下表，其中t表示该月某天的日期，N表示进出货物的数量（货物运进记为正）．
t（日期） 2 6 10 14 18 22 26
N（箱） 70 -38 -25 50 -30 50 -46
四、综合题
16．（2023八下·南沙期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当时，求S的值．
17．（2023七下·河源期末）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：
所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
（1）当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是 ．
（2）在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式： ；
（3）当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意，，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的非负性列不等式求解．
2．【答案】C
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，
∴2（x+y)=50，
∴y=25-x，
故答案为：C.
【分析】根据长方形的周长公式得出2（x+y)=50，得出y=25-x，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；函数自变量的取值范围；勾股数；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的，命题为真命题，不符合题意；
B、a=3，b=4，c=5是一组勾股数，命题为真命题，不符合题意；
C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，命题为假命题，符合题意；
D、函数y=中自变量x的取值范围为x≥2，命题为真命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数自变量的取值范围、对顶角的含义、勾股数的含义、实数与数轴的关系，判断真假命题即可。
4．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使函数有意义，只需，解得且.
故答案为：C.
【分析】根据函数有意义，列出不等式组求解.
5．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵a表示正数b的平方根，a与b之间的关系 ，∴b=a2，存在函数关系，故A不符合题意；
B、∵某地一天的温度T与时间t ，存在函数关系，故B不符合题意；
C、∵某班学生的身高y与学生的学号x ，不存在函数关系，故C符合题意；
D、∵圆的面积S和半径r ，∴S=πr2，存在函数关系，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意列出表达式，然后根据函数的定义，即可判断出结论。
6．【答案】C
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、根据题意可以确定弹簧的长度随着所挂物体的质量的增加而变长，故x、y都是变量，故此选项正确，不符合题意；
B、直接根据表格数据可得所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故此选项正确，不符合题意；
C、根据表格弹簧不挂重物时的长度为10cm，故此选项错误，符合题意；
D、根据表格数据可以知道所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，据此可判断A选项；利用表格数据可以判断B、C、D选项.
7．【答案】C
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】根据题意可得：y=5-t属于一次函数；S=×r2属于二次函数，
故答案为：C.
【分析】先根据题意分别求出函数解析式，再判断即可.
8．【答案】D
【知识点】函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：过F作FH⊥EC于H，
在Rt△MBC中，∠M=60°，
∴BC=MBtan60°=4，EC=4-x，
∵∠AEG=90°，
∴∠BED+∠FEH=90°，
同理：∠BED+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠FEH，
又∵∠B=∠EHF=90°，EF=DE，
∴△BDE≌△HEF(AAS)，
∴FH=BE=x，
∴y=EF×FH=，
∴A，B，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】作FH⊥EC于H，先根据三角函数值求BC，EC，再证明△BDE≌△HEF，求出FH即可.
9．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。
10．【答案】或或（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：
所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可
如或或（答案不唯一）
故答案为：或或（答案不唯一）
【分析】所求函数表达式只要图象经过点（1,2）即可.
11．【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：根据题意可得：，
解得：且，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．【答案】x≥-1且x≠3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：解由题知
故答案为： x≥-1且x≠3 .
【分析】自变量的取值应该使解析式有意义，解析式中自变量既在二次根式里，又在分母中，所以自变量的取值既要使二次根式有意义，分母还不能为零，从而得到自变量的不等式组，求解不等式组即可。
13．【答案】y=0.0325x；325元；存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为 325元
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵银行一年期教育储蓄的年利率是3.25%，李师傅为儿子在银行存入x元的一年期教育储蓄，一年后可得利息为y元，
∴y=0.0325x；
当x=10000时，y=0.0325×10000=325；
这个函数值的实际意义是存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为325元
故答案为： y=0.0325x，325，存入银行10000元一年期教育储蓄，一年后可得利息为325元 .
【分析】利用利息=年利率×本金，可得到y与x的函数解析式；再将x=10000，代入可求出y的值，由此可得到这个函数值的实际意义.
14．【答案】（1）解：y是的函数，因为当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）在一个变化过程中，存在两个变量x、y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应，于是我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数；
（2）根据表格提供的数据可直接得出答案.
15．【答案】（1）解：此题中温度W摄氏度随时间t小时的变化而变化，所以字母W，t是变量；
（2）解：此题中进出货物的数量N随该月某天的日期t的变化而变化，所以字母t，N是变量.
【知识点】常量、变量
【解析】【分析】（1）在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，此题中温度W摄氏度随时间t小时的变化而变化；
（2）在一个变化过程中，发生变化的量叫做变量，此题中进出货物的数量N随该月某天的日期t的变化而变化.
16．【答案】（1）解：，
周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量．
（2）解：当时，
．
【知识点】常量、变量；函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的周长可表示出矩形的另一边长为(10-x)，再求得矩形面积的表达式.
(2)将x的值代入(1)中得到的表达式，进而求得S的值.
17．【答案】（1）13.5cm，
（2）
（3）当时，代入，
解得，
即弹簧长度为．
【知识点】函数解析式；函数值
【解析】【解答】解：（1）由表格中数据可知： 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是13.5cm； 故答案为：13.5cm；
（2）由表格中数据可知：弹簧原长为12cm， 所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm， ∴ 弹簧的长度为与所挂物体的质量为之间的函数关系式为： ； 故答案为：.
【分析】（1）利用表格中数据可知： 找到所挂物体的质量为时，弹簧的长度即可；
（2）由表格中数据可知：弹簧原长为12cm， 所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，据此确定y与x的哈数关系式；
（3）把代入（2）中解析式，求出y值即可.
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