2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·金山期中）若点在正比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·合肥期中）已知正比例函数，当时，，则下列各点中在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·黄浦期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·白云模拟） 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·松江期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
6．已知正比例函数随的增大而堿小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·宾阳期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·安达期末）直线y=kx过点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1-x2=1，y1-y2=-2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
9．（2023八上·金山期中）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范围是 ．
10．（2023·孝感模拟）已知函数，点在函数图象上当时， ．
11．（2017八下·路北期末）若函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，则m的值是 ．
12．（2022九上·海淀开学考）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（-3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是 ．
13．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、.若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为
三、解答题
14．（2023八下·紫阳期末）已知正比例函数经过点．
（1）求k的值；
（2）判断点是否在这个函数图象上．
15．（2021八上·临渭期中）如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．
四、综合题
16．（2022八下·永定期末）已知y与x-1成正比例，当x=4时，y=27，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y=12时，求x的值.
17．（2023八下·鹤山期末）如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．
（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点在正比例函数的图象上，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出。
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把x=2，y=6代入表达式中解得k=3，则函数表达式为y=3x
A、把x=-1代入表达式中求得y=-3≠3，故A不符合题意。
B、把x=-1代入表达式中求得y=-3=-3，故B符合题意。
C、把x=3代入表达式中求得y=9≠1，故C不符合题意。
D、把x=-3代入表达式中求得y=-9≠1，故D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】把x=2，y=6代入y=kx中，求出表达式，然后再一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】正比例函数是过原点的一条直线，且y=x，的比例系数是1（1>0），所以直线经过一、三象限，故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】正比例函数的图象与系数的关系，易知正比例函数图象是过原点的一条直线，且比例系数k>0时，直线经过一、三象限；比例系数k<0时，直线经过二、四象限；故可以判定大致图像。
4．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：经过原点，其他函数不经过原点
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数经过原点，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：点C的横坐标为a，则点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴k=.
故答案为：D。
【分析】首先根据函数解析式，可设出点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，然后根据正方形的性质，即可得出等式，解方程即可求得k=.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数 y=（m+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴m+1＜0，
解得，m＜-1；
故答案为：A.
【分析】根据直线y=kx中，k＞0时，直线经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：如图所示，在坐标系中取横坐标都为m（m＜0）的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2，故k2＜k1＜0，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正比例函数的图象与比例系数的大小，在坐标系中取横坐标都为m（m＜0）的两个点A和B，通过这两点纵坐标的大小列出不等式进行比较即可.
8．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意得，将 点(x1，y1)，(x2，y2)， 代入 直线y=kx得，
，
∴y2-y1=kx2-kx1=k（x2-x1），
∵x1-x2=1，y1-y2=-2 ，
∴k=-2；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1=kx1、y2=kx2，结合x1-x2=1，y1-y2=-2 ，即可求出k值.
9．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：．
∴常数k的取值范围是．
故答案为：．
【分析】对于正比例函数，当，函数的图象经过原点且在第一、三象限内变化，y随x的增大而增大，当，函数的图象经过原点且在第二、四象限内变化，y随x的增大而减小．
10．【答案】-4
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点A（2，4）在函数y=kx的图象上，
∴2k=4，
解得k=2，
∴函数解析式为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=2×（-2）=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据函数图象上的点的坐标特点，将A（2，4）代入y=kx可求出k的值，从而得到函数解析式，进而将x=-2代入所得的函数解析式算出对应的y值即可.
11．【答案】1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，
∴ ，解得m=1．
故答案为：1．
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
12．【答案】k＞2或k＜0且k≠-
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设BC与y轴交于点M，
∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得
则
当直线y＝kx经过点
则，
∵OB=＜5
∴当点E在线段BM上时，OE∴
②若k<0，则点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，
∴
当直线y＝kx经过点
则
∴k＜0且k≠-
故答案为：k＞2或k＜0且k≠-.
【分析】设BC与y轴交于点M，分k≠0，分k＞0与k＜0进行讨论．
13．【答案】答案不唯一，如：1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把 代入得：k=1，
∵正比例函数与线段有交点，
∴0＜k≤1，
∴k值可能为1；
故答案为：1（答案不唯一）；
【分析】由正比例函数与线段有交点，求出k的范围，即可得解.
14．【答案】（1）解：∵点在正比例函数的图像上，
∴，解得；
∴．
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）把点代入函数中，求出m值，再求出2m-1的值即可；
（2） 把点代入正比例函数解析式中检验即可.
15．【答案】解：∵AH⊥x轴，AH＝2，点A在第四象限，
∴A点的纵坐标为﹣2，
代入得，解得x＝4，
∴A（4，﹣2），
∴OH＝4，
∴OA＝．
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；勾股定理
【解析】【分析】 由题意可得A点的纵坐标为-2，将y=-2代入y=x中求出x的值，得到点A的坐标，求出OH的值，然后利用勾股定理进行计算.
16．【答案】（1）解：根据题意，设，
∵当时，，
，解得，
，
即与的函数解析式为；
（2）解：当时，，解得.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将y=12代入（1）所求的函数解析式，列出关于x的方程求解即可.
17．【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（3）解：点在矩形的对角线上，
设，
，
，
，
，；
（4）解：，
设点的纵坐标为，
，
，
点在直线或的直线上，
作关于直线的对称点，
则点的坐标为，
连接交直线于，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
同理，点在直线的直线上，
，，
点的坐标为，或，．
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先计算矩形的面积，再利用等量关系求得的面积.
(2)先利用矩形的性质得到点C坐标，再通过待定系数法求得直线OC的解析式.
(3)利用直线OC的解析式设，进而用m表示出的面积得到方程，再解出m得到点P坐标.
(4)本题考查的是将军饮马模型的应用.由的面积可得点P到x轴的距离为2，故点P在直线或上.作点关于直线的对称点，连接OE，故OE与直线的交点即为点P.通过点E坐标求得直线OE的函数解析式，再求得y=2时的点P坐标.同理可求得直线上的点P坐标.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·金山期中）若点在正比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点在正比例函数的图象上，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出。
2．（2023八上·合肥期中）已知正比例函数，当时，，则下列各点中在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把x=2，y=6代入表达式中解得k=3，则函数表达式为y=3x
A、把x=-1代入表达式中求得y=-3≠3，故A不符合题意。
B、把x=-1代入表达式中求得y=-3=-3，故B符合题意。
C、把x=3代入表达式中求得y=9≠1，故C不符合题意。
D、把x=-3代入表达式中求得y=-9≠1，故D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】把x=2，y=6代入y=kx中，求出表达式，然后再一一判断即可。
3．（2023八上·黄浦期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】正比例函数是过原点的一条直线，且y=x，的比例系数是1（1>0），所以直线经过一、三象限，故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】正比例函数的图象与系数的关系，易知正比例函数图象是过原点的一条直线，且比例系数k>0时，直线经过一、三象限；比例系数k<0时，直线经过二、四象限；故可以判定大致图像。
4．（2023·白云模拟） 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：经过原点，其他函数不经过原点
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数经过原点，即可求解．
5．（2023八上·松江期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：点C的横坐标为a，则点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴k=.
故答案为：D。
【分析】首先根据函数解析式，可设出点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，然后根据正方形的性质，即可得出等式，解方程即可求得k=.
6．已知正比例函数随的增大而堿小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数 y=（m+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴m+1＜0，
解得，m＜-1；
故答案为：A.
【分析】根据直线y=kx中，k＞0时，直线经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小，即可求解.
7．（2023八下·宾阳期末）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：如图所示，在坐标系中取横坐标都为m（m＜0）的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2，故k2＜k1＜0，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正比例函数的图象与比例系数的大小，在坐标系中取横坐标都为m（m＜0）的两个点A和B，通过这两点纵坐标的大小列出不等式进行比较即可.
8．（2023八下·安达期末）直线y=kx过点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1-x2=1，y1-y2=-2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意得，将 点(x1，y1)，(x2，y2)， 代入 直线y=kx得，
，
∴y2-y1=kx2-kx1=k（x2-x1），
∵x1-x2=1，y1-y2=-2 ，
∴k=-2；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1=kx1、y2=kx2，结合x1-x2=1，y1-y2=-2 ，即可求出k值.
二、填空题
9．（2023八上·金山期中）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：．
∴常数k的取值范围是．
故答案为：．
【分析】对于正比例函数，当，函数的图象经过原点且在第一、三象限内变化，y随x的增大而增大，当，函数的图象经过原点且在第二、四象限内变化，y随x的增大而减小．
10．（2023·孝感模拟）已知函数，点在函数图象上当时， ．
【答案】-4
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点A（2，4）在函数y=kx的图象上，
∴2k=4，
解得k=2，
∴函数解析式为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=2×（-2）=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据函数图象上的点的坐标特点，将A（2，4）代入y=kx可求出k的值，从而得到函数解析式，进而将x=-2代入所得的函数解析式算出对应的y值即可.
11．（2017八下·路北期末）若函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，则m的值是 ．
【答案】1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数y=（2m+6）x+（1﹣m）是正比例函数，
∴ ，解得m=1．
故答案为：1．
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
12．（2022九上·海淀开学考）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（-3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是 ．
【答案】k＞2或k＜0且k≠-
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，设BC与y轴交于点M，
∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得
则
当直线y＝kx经过点
则，
∵OB=＜5
∴当点E在线段BM上时，OE∴
②若k<0，则点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，
∴
当直线y＝kx经过点
则
∴k＜0且k≠-
故答案为：k＞2或k＜0且k≠-.
【分析】设BC与y轴交于点M，分k≠0，分k＞0与k＜0进行讨论．
13．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、.若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为
【答案】答案不唯一，如：1
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把 代入得：k=1，
∵正比例函数与线段有交点，
∴0＜k≤1，
∴k值可能为1；
故答案为：1（答案不唯一）；
【分析】由正比例函数与线段有交点，求出k的范围，即可得解.
三、解答题
14．（2023八下·紫阳期末）已知正比例函数经过点．
（1）求k的值；
（2）判断点是否在这个函数图象上．
【答案】（1）解：∵点在正比例函数的图像上，
∴，解得；
∴．
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴点不在这个函数的图象上．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）把点代入函数中，求出m值，再求出2m-1的值即可；
（2） 把点代入正比例函数解析式中检验即可.
15．（2021八上·临渭期中）如图，已知正比例函数的表达式为y＝﹣x，过正比例函数在第四象限图象上的一点A作x轴的垂线，交x轴于点H，AH＝2，求线段OA的长．
【答案】解：∵AH⊥x轴，AH＝2，点A在第四象限，
∴A点的纵坐标为﹣2，
代入得，解得x＝4，
∴A（4，﹣2），
∴OH＝4，
∴OA＝．
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；勾股定理
【解析】【分析】 由题意可得A点的纵坐标为-2，将y=-2代入y=x中求出x的值，得到点A的坐标，求出OH的值，然后利用勾股定理进行计算.
四、综合题
16．（2022八下·永定期末）已知y与x-1成正比例，当x=4时，y=27，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y=12时，求x的值.
【答案】（1）解：根据题意，设，
∵当时，，
，解得，
，
即与的函数解析式为；
（2）解：当时，，解得.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将y=12代入（1）所求的函数解析式，列出关于x的方程求解即可.
17．（2023八下·鹤山期末）如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．
（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（3）解：点在矩形的对角线上，
设，
，
，
，
，；
（4）解：，
设点的纵坐标为，
，
，
点在直线或的直线上，
作关于直线的对称点，
则点的坐标为，
连接交直线于，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
同理，点在直线的直线上，
，，
点的坐标为，或，．
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先计算矩形的面积，再利用等量关系求得的面积.
(2)先利用矩形的性质得到点C坐标，再通过待定系数法求得直线OC的解析式.
(3)利用直线OC的解析式设，进而用m表示出的面积得到方程，再解出m得到点P坐标.
(4)本题考查的是将军饮马模型的应用.由的面积可得点P到x轴的距离为2，故点P在直线或上.作点关于直线的对称点，连接OE，故OE与直线的交点即为点P.通过点E坐标求得直线OE的函数解析式，再求得y=2时的点P坐标.同理可求得直线上的点P坐标.
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