2023-2024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用诱导公式化简求值.
【详解】，
故选B．
【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ）
A. 30 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式求得结果.
【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1，
所以扇形的面积.
故选：B.
3. 已知是第二象限角，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.
【详解】解：因为是第二象限角，所以，
所以在第三象限.
故选：C.
4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A. B. 3 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦的定义得到，解出即可.
【详解】因为，是角终边上一点，所以，
由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）.
故选：A.
5. 在上，满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.
故选C.
【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6. 已知函数的最小正周期，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上是减函数
B. 函数的图象的对称中心为
C. 函数是偶函数
D. 函数在区间上的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据函数的最小正周期可得到，从而可写出函数的解析式：，然后根据解析式判断函数的单调性，对称性，奇偶性，以及最值，即可得出答案.
【详解】因为函数的最小正周期，，得，
所以，
⑴令，
解得：，
函数在上是增函数，故A选项错误；
⑵令，
解得：，
其对称中心的横坐标，所以B选项错误；
⑶因为，所以函数是奇函数，故 C选项错误；
⑷当时，，.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的性质，考查学生的数学运算的能力，属于较易题.
7. 函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：根据函数（其中，的图象，
可得，，
再根据五点法作图，可得，，．
故把图象向右平移个单位长度，可得到的图象，
故选：D．
8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，
因为，周期，函数在上没有零点，
则，所以，
因为，所以，
又在上没有零点，所以，解得，
又因为， ，，所以或，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若互斥事件，则
C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75
D. 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对立事件与互斥事件的关系判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B；根据独立事件的概率公式结合对立事件的概率计算判断C；根据古典概型的概率计算判断D.
【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系可知，对立事件一定是互斥事件，
但是互斥事件不一定是对立事件，A正确，
对于B，根据互斥事件的概率加法公式知，是互斥事件，则，正确；
对于C，甲乙两人独立地解同一道题，各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，
则该题被解出的概率是，C错误，
对于D，从中任取2个不同的数，共有和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6种情况，
其中取出的2个数之差的绝对值为2的情况为1和3，2和4，
故取出的2个数之差的绝对值为2的概率是，
故选：ABD
10 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正切型函数性质判断各项正误.
【详解】A：由正切型函数性质知的最小正周期为，对；
B：由正切函数知，可得，错；
C：，则，可得，对；
D：由正切函数单调性知：在上递增，但在定义域上不单调，错.
故选：AC
11. 已知奇函数定义域为，若对，有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数是周期函数，且周期为2
C. 函数在区间上的零点个数是7个
D. 对，
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过赋值法可以判断A选项；根据函数的周期性判断B选项；由对称性及函数图像即可判断C、D选项．
【详解】解：由，令得：
，
．
∵为奇函数，
，
，
，
所以选项A错误，选项B正确；
函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，
分别作出与的图像如下所示：
由图像易知有7个交点，
故选项C正确；
对于选项D，对，由对称性可知：关于对称，
所以，
又大于0，，小于0，，
所以，
所以选项D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题的关键是画出及的图像，判断出函数关于对称；易错点是容易忽视是图像上的点，导致在选项C中判断零点个数出错．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解.
【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数的最小正周期为.
故答案为：.
13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，得到，再结合余弦函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，则，
又由是偶函数，则有，解得，
因为，可得．
故答案为：.
14. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.
【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，
所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)，
所以ω＝2k＋1(k∈Z)，
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，
ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，
ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.
故答案为：9
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【小问1详解】
∵，由三角函数的定义得，；
【小问2详解】
∵，
∴.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
令，
解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以，所以.
又因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以当，即时，取得最小值，
即；
当，即时，取得最大值，
即.
故在上的值域为.
17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校男生身高的中位数；
（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
【答案】（1）155.625厘米
（2）
【解析】
【分析】（1）首先判断该校男生身高的中位数在内，设该校男生身高的中位数为，则，解得即可；
（2）分别求出身高在、内的男生中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以该校男生身高的中位数在内.
设该校男生身高的中位数为，则，
解得，即该校男生身高的中位数约为厘米.
【小问2详解】
由题意可知从身高在内男生中抽取的人数为，记为，
从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，
从这5人中随机抽取2人的情况有共10种，
其中符合条件的情况有共7种，
故所求概率.
18. 已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】（1）
（2），n=5
【解析】
【分析】（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.
（2）结合图象特征可求的值．
【小问1详解】
的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，
故，故.
当时，，，
故函数的值域为.
【小问2详解】
在上的图象如图所示：
因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.
令，则，
故的图象在内的对称轴分别为：
，，，，，
结合图象可得，，，
，
故.
19. 已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可求得参数，根据三角函数的图象的平移以及函数的奇偶性求得，即得函数解析式；
（2）根据，求得函数的范围，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，即可求得参数范围；
（3）令，求得函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，根据区间内零点个数即可确定答案.
【小问1详解】
由,得，则,
则为奇函数，所以，又，则，
故.
【小问2详解】
由于，则，，
故,
而恒成立,即，
整理可得，令，
设，设且，
则，
由于，则，
即在上递增，故，
故，即m取值范围是.
【小问3详解】
由题意知，
由得,
故或,
求得或，
故函数的零点为或,
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
【点睛】难点点睛：解答第三问根据零点个数求解区间端点处的值的差的最小值时，要求出函数零点，判断两点间的距离，从而判断要满足题意，区间内的零点情况，从而求出的最小值.2023-2024（下）乐平中学高一第一次月考数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
2. 已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ）
A. 30 B. C. D.
3. 已知是第二象限角，则点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A. B. 3 C. D. 1
5. 在上，满足的的取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知函数的最小正周期，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上减函数
B. 函数的图象的对称中心为
C. 函数偶函数
D. 函数在区间上的值域为
7. 函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若是互斥事件，则
C. 甲乙两人独立地解同一道题，已知各人能解出该题的概率分别是0.5和0.25，则该题被解出的概率是0.75
D. 从中任取2个不同数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
10. 已知函数，则（ ）
A. 最小正周期为 B. 的定义域为
C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数
11. 已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数是周期函数，且周期为2
C. 函数在区间上的零点个数是7个
D. 对，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的最小正周期为______.
13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则_____________．
14. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上值域.
17. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校男生身高的中位数；
（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
18. 已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
19. 已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
