2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·松江期中）已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．正比例函数y=-2x的图象经过的点是 （ ）
A．(1，2) B．(1，-2) C．(-2，1) D．(-2，-1)
3．对于函数是常数，的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A．是一条直线 B．过点
C．随的减小而增大 D．经过第一、三象限
4．（2023八下·潼关期末）若点A（3，-5）和点B（-6，a）都在正比例函数y=kx的图象上，则a的值为（ ）
A．-10 B．10 C．5 D．-3
5．（2023七下·文山期末）如图，将水以匀速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面圆柱体的容器中，请找出容器内水的高度h和时间t变化关系的图象（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·南沙期末）已知函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·巴中期末）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·青山期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·台江期末）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），则k的值是 ．
10．（2023八下·明水月考）如果直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是 ．
11．（2023八下·云浮期末）正比例函数的图象如图所示，则 ．
12．（2023八下·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若直线与线段有公共点，则的值可以为 ．(写出一个即可)
13．（2023八下·通州期中）函数y=kx(k0)的图象上有两个点A1(，)，A2(，)，当<时，>，写出一个满足条件的函数解析式 .
三、解答题
14．已知与成正比例，与也成正比例，且当时，；当时，.求与之间的函数关系式，并说明它是什么函数.
15．已知y+3和2x-1成正比例，且x=2时，y=1。
（1）写出y与x的函数解析式。
（2）当0≤x≤3 时，y的最大值和最小值分别是多少？
四、综合题
16．（2022九上·长沙开学考）已知：与成正比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
17．（2022八下·巴州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°.动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发.以每秒 个单位长度的速度向点C运动.点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒.
（1）求m与k的值；
（2）设△PQB的面积为S，求S与t的关系式；
（3）若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值.（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数 中，k2+3＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∵，
∴y1＞y2，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】根据正比例函数的性质，可以直接得出y1，y2的大小，进而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
B、∵则在该函数图象上，即本项符合题意；
C、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
D、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各项的坐标代入计算，观察方程两边是否相等即可.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、∵函数y=-m2x是正比例函数，
∴此函数的图象是一条直线，A正确；
B、∵令，代入函数y=-m2x，可得y=-1，
∴过点，B正确；
C、∵一次项系数-m2＜0，
∴y随着x减少而增大，C正确；
D、∵一次项系数-m2＜0，
∴函数图象经过二，四象限，D错误．
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数图象是一条直线可判断A选项说法正确；令代入函数求出y=-1，即可判断B选项说法正确；根据正比例函数的性质：k＜0 y=kx的图象在二、四象限，y随着x减少而增大即可判断C选项说法正确，D选项说法错误.
4．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把A（3，-5）代入 y=kx，
得，
，
正比例函数的解析式为，
把 B（-6，a） 代入，
得.
故答案为：B.
【分析】先将点A坐标代入y=kx求得正比例函数解析式，再通过函数解析式求得a的值.
5．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】根据题意，注入水体积等于容器内存水体积
设水速为v，则注入水体积V=vt
容器内体水柱体积V=sh
∴
∴
∵已知v一定，s是圆柱底面积s一定
∴h是关于t的正比例函数
∴是经过原点的一条直的线
故选：C
【分析】根据注入水体积等于容器内存水体积得到基本关系式，整理得y=kx型即正比例函数一般式。
6．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：y随着x的增大而减小，
，
.
故答案为：D.
【分析】对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意可得：最下层的“壶”是圆柱形，最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，
∴y与x的函数图象是正比例函数图象，
∴选项A符合题意，选项B，C和D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意，观察图形求出y与x的函数图象是正比例函数图象，再对每个选项一一判断即可。
8．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线l1：y=x的对称点P′，如图，过点P′作y轴的垂线，与直线l1：y=x交于点B，
在正方形OABC 中，OC=CB=BA=AO=6，
∵直线l1：y=x经过点O（0，0），B（6，6），
∴直线l1：y=x是正方形OABC的对称轴，
∵点P（6，2）在BC上，
∴可得点P关于l1：y=x的对称点P′（2，6），
当x=6时，，
即直线l2：经过点H（6，3），
过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y=x于点M，
∵P（6，2）和P′（2，6）关于l1：y=x对称，
∴PM=P′M，
∴PM+MN=P′M+MN=P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，
∴OH=
∵，
S△POH=S正方形OABC-S△POA-S△PBH-S△COH=6×6-
解得
即PM+MN的最小值
故答案为：B.
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形OABC，可得得点P关于l1的对称点P′的坐标，连接P′M，P′N，可说明PM+MN≥P′N，当P′，M，N三点在同一直线上时，PM+MN=P′N，也就是此时PM+MN的最小值为P′N，根据点到直线，垂线段最短，过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1于点M，此时P′N最小，利用△POH的面积的不同算法，列出关于P′N方程求解.
9．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），
∴k=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据正比例函数图象上的点的坐标特点，将点（1，－2）代入y＝kx即可求出k的值.
10．【答案】k＜
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，
∴
解得：，
故答案为：.
【分析】根据直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，所以解析式的比例系数k＜0，列不等式，求解即可.
11．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把代入，
得，
.
故答案为：.
【分析】从图象中可知正比例函数图象过点(2，3)，将该点坐标代入函数解析式解得k值即可.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标分别为，，
∴将y=3代入得，
∴，
∴的值可以为1，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数的性质结合题意即可得到，进而即可求解。
13．【答案】y=-x(k<0即可)
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】 点A1(，)，A2(，)，当<时，>，
函数y=kx(k0) 满足k0，
y=x（k0即可） ；
故答案为：y=x（k0即可）。
【分析】根据A1(，)，A2(，)，当<时，>， 判断出函数y=kx(k0) 满足k0，可得答案。
14．【答案】解：设，
当时，；当时，，
，
与是正比例函数.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】首先根据题意设，然后把， 和 ，分别代入和中求出m和k的值，最后得出将u=6x代入y=中得出y=3x，由此即可得出y与x成正比例函数.
15．【答案】（1）解：∵y+3和2x-1成正比例，
∴设y+3=（2x-1）k，
把x=2，y=1代入得：4=3k，
解得：k= ，
即y+3= （2x-1），
函数解析式为y= x-
（2）解：把x=0，代入y= x- 得，y=- ，
把x=3，代入y= x- 得，y= ，
所以当0≤x≤3时，y的最大值 ，y的最小值-
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据y+3和2x-1成正比例，设y+3=k（2x-1），再将x=2、y=1代入，求得k，最后整理即可。
（2）分别把x=0，x=3代入（1）中所求解析式，分别求得y，从而确定y的最大值与最小值。
16．【答案】（1）解：根据题意：设，
把，代入得：，
解得：．
则与函数关系式为，
即；
（2）解：把点代入，
得：，
解得．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式“y=kx(k≠0)”可设y=k(x+2)，由题意把x=1，y=-6代入解析式可得关于K的方程，解方程求得k的值，于是可得y与x之间的函数关系式；
（2） 由题意把点M的坐标代入（1）求得的解析式可得关于m的方程，解方程可求解.
17．【答案】（1）解： ，
，
， ，
， ，
， ，
，即 ， ，
直线 过点 ， ，
；
（2）解：如图1，过点 作 于点 ，
， ，则 ，
，
在 中， ，
；
（3）解：分三种情况：
①当 时， ，
解得 ；
②当 时，如图2，过点 作 于点 ，
，
，
解得 ；
③当 时，如图3，过点 作 于点 ，
则 ，
，
解得 ；
综上所述，当 为等腰三角形时， 的值为 或4或 .
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠BAO=90°，根据点B的坐标可得OA=m，AB=6，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2AB=12，利用勾股定理可得OA，则B（，6），然后代入y=kx中就可求出k的值；
（2）过点P作PF⊥BC于点F，则BQ=t，OP=2t，PB=12-2t，PF=6-t，然后根据三角形的面积公式进行解答；
（3）①当BQ=BP时，代入求解可得t的值；②当PQ=PB时，过点P作PM⊥BQ于点M，则BM=t，代入求解可得t的值；③当OB=QP时，过点Q作QN⊥BP于点N，则BN=6-t，代入求解可得t的值.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·松江期中）已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数 中，k2+3＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∵，
∴y1＞y2，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】根据正比例函数的性质，可以直接得出y1，y2的大小，进而得出答案。
2．正比例函数y=-2x的图象经过的点是 （ ）
A．(1，2) B．(1，-2) C．(-2，1) D．(-2，-1)
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
B、∵则在该函数图象上，即本项符合题意；
C、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
D、∵则不在该函数图象上，即本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各项的坐标代入计算，观察方程两边是否相等即可.
3．对于函数是常数，的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A．是一条直线 B．过点
C．随的减小而增大 D．经过第一、三象限
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、∵函数y=-m2x是正比例函数，
∴此函数的图象是一条直线，A正确；
B、∵令，代入函数y=-m2x，可得y=-1，
∴过点，B正确；
C、∵一次项系数-m2＜0，
∴y随着x减少而增大，C正确；
D、∵一次项系数-m2＜0，
∴函数图象经过二，四象限，D错误．
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数图象是一条直线可判断A选项说法正确；令代入函数求出y=-1，即可判断B选项说法正确；根据正比例函数的性质：k＜0 y=kx的图象在二、四象限，y随着x减少而增大即可判断C选项说法正确，D选项说法错误.
4．（2023八下·潼关期末）若点A（3，-5）和点B（-6，a）都在正比例函数y=kx的图象上，则a的值为（ ）
A．-10 B．10 C．5 D．-3
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把A（3，-5）代入 y=kx，
得，
，
正比例函数的解析式为，
把 B（-6，a） 代入，
得.
故答案为：B.
【分析】先将点A坐标代入y=kx求得正比例函数解析式，再通过函数解析式求得a的值.
5．（2023七下·文山期末）如图，将水以匀速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面圆柱体的容器中，请找出容器内水的高度h和时间t变化关系的图象（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】根据题意，注入水体积等于容器内存水体积
设水速为v，则注入水体积V=vt
容器内体水柱体积V=sh
∴
∴
∵已知v一定，s是圆柱底面积s一定
∴h是关于t的正比例函数
∴是经过原点的一条直的线
故选：C
【分析】根据注入水体积等于容器内存水体积得到基本关系式，整理得y=kx型即正比例函数一般式。
6．（2023八下·南沙期末）已知函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：y随着x的增大而减小，
，
.
故答案为：D.
【分析】对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
7．（2023八下·巴中期末）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意可得：最下层的“壶”是圆柱形，最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，
∴y与x的函数图象是正比例函数图象，
∴选项A符合题意，选项B，C和D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意，观察图形求出y与x的函数图象是正比例函数图象，再对每个选项一一判断即可。
8．（2023八下·青山期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线l1：y=x的对称点P′，如图，过点P′作y轴的垂线，与直线l1：y=x交于点B，
在正方形OABC 中，OC=CB=BA=AO=6，
∵直线l1：y=x经过点O（0，0），B（6，6），
∴直线l1：y=x是正方形OABC的对称轴，
∵点P（6，2）在BC上，
∴可得点P关于l1：y=x的对称点P′（2，6），
当x=6时，，
即直线l2：经过点H（6，3），
过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y=x于点M，
∵P（6，2）和P′（2，6）关于l1：y=x对称，
∴PM=P′M，
∴PM+MN=P′M+MN=P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，
∴OH=
∵，
S△POH=S正方形OABC-S△POA-S△PBH-S△COH=6×6-
解得
即PM+MN的最小值
故答案为：B.
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形OABC，可得得点P关于l1的对称点P′的坐标，连接P′M，P′N，可说明PM+MN≥P′N，当P′，M，N三点在同一直线上时，PM+MN=P′N，也就是此时PM+MN的最小值为P′N，根据点到直线，垂线段最短，过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1于点M，此时P′N最小，利用△POH的面积的不同算法，列出关于P′N方程求解.
二、填空题
9．（2023八下·台江期末）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），则k的值是 ．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），
∴k=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据正比例函数图象上的点的坐标特点，将点（1，－2）代入y＝kx即可求出k的值.
10．（2023八下·明水月考）如果直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，
∴
解得：，
故答案为：.
【分析】根据直线y＝（2k－3）x经过第二、四象限，所以解析式的比例系数k＜0，列不等式，求解即可.
11．（2023八下·云浮期末）正比例函数的图象如图所示，则 ．
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：把代入，
得，
.
故答案为：.
【分析】从图象中可知正比例函数图象过点(2，3)，将该点坐标代入函数解析式解得k值即可.
12．（2023八下·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若直线与线段有公共点，则的值可以为 ．(写出一个即可)
【答案】（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点的坐标分别为，，
∴将y=3代入得，
∴，
∴的值可以为1，
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数的性质结合题意即可得到，进而即可求解。
13．（2023八下·通州期中）函数y=kx(k0)的图象上有两个点A1(，)，A2(，)，当<时，>，写出一个满足条件的函数解析式 .
【答案】y=-x(k<0即可)
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】 点A1(，)，A2(，)，当<时，>，
函数y=kx(k0) 满足k0，
y=x（k0即可） ；
故答案为：y=x（k0即可）。
【分析】根据A1(，)，A2(，)，当<时，>， 判断出函数y=kx(k0) 满足k0，可得答案。
三、解答题
14．已知与成正比例，与也成正比例，且当时，；当时，.求与之间的函数关系式，并说明它是什么函数.
【答案】解：设，
当时，；当时，，
，
与是正比例函数.
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】首先根据题意设，然后把， 和 ，分别代入和中求出m和k的值，最后得出将u=6x代入y=中得出y=3x，由此即可得出y与x成正比例函数.
15．已知y+3和2x-1成正比例，且x=2时，y=1。
（1）写出y与x的函数解析式。
（2）当0≤x≤3 时，y的最大值和最小值分别是多少？
【答案】（1）解：∵y+3和2x-1成正比例，
∴设y+3=（2x-1）k，
把x=2，y=1代入得：4=3k，
解得：k= ，
即y+3= （2x-1），
函数解析式为y= x-
（2）解：把x=0，代入y= x- 得，y=- ，
把x=3，代入y= x- 得，y= ，
所以当0≤x≤3时，y的最大值 ，y的最小值-
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据y+3和2x-1成正比例，设y+3=k（2x-1），再将x=2、y=1代入，求得k，最后整理即可。
（2）分别把x=0，x=3代入（1）中所求解析式，分别求得y，从而确定y的最大值与最小值。
四、综合题
16．（2022九上·长沙开学考）已知：与成正比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）解：根据题意：设，
把，代入得：，
解得：．
则与函数关系式为，
即；
（2）解：把点代入，
得：，
解得．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式“y=kx(k≠0)”可设y=k(x+2)，由题意把x=1，y=-6代入解析式可得关于K的方程，解方程求得k的值，于是可得y与x之间的函数关系式；
（2） 由题意把点M的坐标代入（1）求得的解析式可得关于m的方程，解方程可求解.
17．（2022八下·巴州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°.动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发.以每秒 个单位长度的速度向点C运动.点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒.
（1）求m与k的值；
（2）设△PQB的面积为S，求S与t的关系式；
（3）若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值.（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】（1）解： ，
，
， ，
， ，
， ，
，即 ， ，
直线 过点 ， ，
；
（2）解：如图1，过点 作 于点 ，
， ，则 ，
，
在 中， ，
；
（3）解：分三种情况：
①当 时， ，
解得 ；
②当 时，如图2，过点 作 于点 ，
，
，
解得 ；
③当 时，如图3，过点 作 于点 ，
则 ，
，
解得 ；
综上所述，当 为等腰三角形时， 的值为 或4或 .
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠BAO=90°，根据点B的坐标可得OA=m，AB=6，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2AB=12，利用勾股定理可得OA，则B（，6），然后代入y=kx中就可求出k的值；
（2）过点P作PF⊥BC于点F，则BQ=t，OP=2t，PB=12-2t，PF=6-t，然后根据三角形的面积公式进行解答；
（3）①当BQ=BP时，代入求解可得t的值；②当PQ=PB时，过点P作PM⊥BQ于点M，则BM=t，代入求解可得t的值；③当OB=QP时，过点Q作QN⊥BP于点N，则BN=6-t，代入求解可得t的值.
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