2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．关于正比例函数y=-2x，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过点（-1，-2） B．图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y<0
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、当x=-1时y=-2×（-1）=2≠-2，
图象不经过点（-1，-2），故A不符合题意；
B、∵k=-2＜0，
∴此函数图象经过第二、四象限，故B不符合题意；
C、∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，故C符合题意；
D、当x＞0时，y＜0，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将x=-1代入函数解析式，可对A作出判断；利用一次函数图象、性质，与系数的关系，可对B，C，D作出判断.
2．（2023八下·石家庄期末）点和都在正比例函数 (，且k为常数)的图象上，若，则k的值可能是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵0＜2，y1＞y2，
∴k＜0，
故答案为：B。
【分析】根据一次函数的性质知：y随x的增大而减小，可得出K＜0，故而可得出答案。
3．（2023八下·铁岭期末）下列关于正比例函数的结论正确的是（ ）
A．直线经过第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．直线经过点（-1，-2） D．不论x取何值时，总有
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：正比例函数y=-2x，
∵a=-2＜0，
∴图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故A不符合题意，B符合题意；
C、∵当x=-1时y=2，
∴点（-1，2）不在此函数图象上，故C不符合题意；
D、当xx＞0时，y＜0，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的性质：y=kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限；可对A，B作出判断；将x=-1代入函数解析式，求出对应的y的值，可对C作出判断；利用正比例函数的增减性，可对D作出判断.
4．（2023八下·凤山期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当时，，A正确；
当时，，B和D错误；
当时，，D错误，
故答案为：A.
【分析】将点坐标代入函数，判断等边是否成立即可.
5．（2022八下·湖里期末）正比例函数y=kx的示意图如图所示，则k的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由图象知：
∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
观察四个选项，只有k=-2符合题意，
故答案为：D．
【分析】由于正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可知k＜0，据此判断即可.
6．（2023·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵、…都是等边三角形，
∴，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的性质可得，由于直线与轴的成角，，可得出，=1，同理，…，，从而得出，，…，，易得，…，，可求出，，…，，根据三角形面积公式求解即可.
7．（2020·浙江模拟）如图，直线l1的解析式是y＝ x，直线l2的解析式是y＝ x，点A1在l1上，A1的横坐标为 ，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1、B1B2为邻边在直线l1、l2间作菱形A1B1B2C1，延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2、B2B3为邻边在l1、l2间作菱形A2B2B3C2，………按照此规律继续作下去，则线段A2020B2020长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴，
直线l1的解析式是y＝ x，直线l2的解析式是y＝ x，
∴直线l1与x轴的夹角为30°，直线l2与x轴的夹角为60°，
∴∠B1OA1=∠A1OD=30°，
∵ A1的横坐标为 ，
∴；
在Rt△A1B1O中，
A1B1=OA1tan30°=；
∵ 菱形A1B1B2C1，
∴A1B1=B2C1=A1C1=1，A1B1∥A2B2，OB1∥A1C1，
∴∠C1A2O=90°，∠C1A1A2=30°，
∴A1C1=A1C1=
∴A2B2=1+=；
同理可得：
A3B3=
A4B4=
∴.
故答案为：B.
【分析】过点A1作A1D⊥x轴，利用两函数解析式可知直线l1与x轴的夹角为30°，直线l2与x轴的夹角为60°，由此可求出∠B1OA1=∠A1OD=30°，利用解直角三角形求出点OA1的长，在Rt△A1B1O中，利用解直角三角形求出A1B1的长；利用菱形的性质易证A1B1=B2C1=A1C1=1，A1B1∥A2B2，OB1∥A1C1，就可求出A1C1，从而可求出A2B2的长，A3B3，A4B4的长，寻找规律可得到AnBn的长，由此规律可求解。
8．（2020·镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝ x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2 ，AD＝1，则OD的最大值是（ ）
A． B． +2 C． +2 D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y＝ x图象上，∴tan∠AOB＝ ，
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，
∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，
∵∠APB＝2∠AOB，∠APH＝ ∠APB，AH＝ AB＝ ＝DG，
∴∠APH＝∠AOB，
∴tan∠APH＝tan∠AOB＝ ，
∴ ＝ ，
∴PH＝1，
∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，
∴PD＝ ＝ ＝ ，
∴OP＝PA＝ ＝ ＝2，
在△OPD中，OP+PD≥OD，
∴OD的最大值为：OP+PD＝2+ ，
故答案为：B．
【分析】作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝2，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得．
二、填空题
9．（2023八下·高要期末）已知正比例函数（k是常数，），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 在正比例函数（k是常数，）中，y的值随着x的值的增大而增大，
∴k＞0，
∴函数表达式可以为y=2x，
故答案为：y=2x（答案不唯一）.
【分析】在正比例函数（k是常数，）中，y的值随着x的值的增大而增大，可得k＞0，继而得解.
10．（2023·绥中模拟）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限．
【答案】一
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，
∴，
∴点在第一象限．
故答案为：一．
【分析】根据正比例函数的性质进行求解即可。
11．（2023八上·江北期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为a，则B（，a），C（+a，a），然后将点C的坐标代入y=kx中进行计算可得k的值.
12．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
13．（2020八下·柯桥月考）如图，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1.若正方形A2B2C2D2的边长为2011，则点B2的坐标为 .
【答案】（4022，6033）
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直线OM的解析式为 ，
已知点A、 、 在直线OM上且 ，
把点A代入可得OM的解析式为 ，
正方形ABXD的边长为1，所以B点的坐标为 ，则点C的坐标为 ，
∵点C、 、 在直线ON上，可解得直线ON的解析式为 ，
设 的坐标为 ，
∵点 在直线ON上，
∴ ，
∵正方形 D的边长为2011，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∵点 在直线OM上，则 ，
则 ，
∴ 。
解得 .
则点 的坐标为（4022，6033）.
故答案为：（4022，6033）.
【分析】根据已知条件可求得点B和点C的坐标，令直线ON的表达式为y=kx，代入A点的坐标，可求得k，即得出直线ON的表达式，再根据已知条件求出点B2的值.
三、解答题
14．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=﹣2解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP=5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标
15．（2020八上·普宁期中）如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式．
【答案】解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3，
∴OH＝3，
∵△AOH的面积为3，
∴ AH OH＝3，
∴AH＝2，
∵点A在第四象限，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
将A（3，﹣2）代入y＝kx，
得﹣2＝3k，解得：k＝ ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出 AH＝2， 再求出 点A的坐标为（3，﹣2） ，最后利用待定系数法求函数解析式即可。
四、综合题
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵为正比例函数的图象上一点，
∴当时，，
的值为；
（2）解：∵，
∴OA=，
①若，则，
当点P在线段上时，则，即，解得，
当点P在线段的延长线上时，则，即，解得；
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若，则点P在的垂直平分线上，此时，即，求得，
若，则，即，求得，
若，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵，
∴BE===4.8，
∴OE=，
∵OE=PE，
∴，即，求得，
综上可得：t的值为或或.
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.
（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
17．（2023八下·海淀期中）对于实数x，表示不小于x的最小整数，例如：，，点为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移个单位得到点，；将点P分别向左，向右平移个单位得到点，，我们称菱形叫做点P的伴随菱形．例如：点的伴随菱形是以点，，，构成的菱形．
（1）在图中画出点的伴随菱形，该菱形的面积为 ；
（2）若点的伴随菱形与点的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值；
（3）若点与点所对应的伴随菱形面积相同，且点在函数的图象上，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）解：如图，菱形是点的伴随菱形， 面积．
故答案为：4．
（2）解：如图中，当时，点的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点．
∴t的最小值为．
（3）或或
【知识点】一元一次不等式组的应用；坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；菱形的性质
【解析】【解答】（3）∵点的伴随菱形面积=×4×4=8，
∴点D(m，n)的伴随菱形面积=8，
∴×2[m]×2[n]=8，
∴[m]×[n]=4，
∴满足条件的点D(m，n)在第一象限，
∵点D在y=kx上，
∴n=km，
①当[m]=1，[km]=4时，
由[km]=4，可得3∴，
∵0∴，
∴k>3；
②当[m]=2，[km]=2时，
同法可得，1∴，
解得 ；
③当[m]=4，[km]=1时，
同法可得3∴，
∵k>0，
∴；
综上所述，满足条件的k的值为：k>3或 或．
【分析】（1）根据新定义，画出图形，根据菱形的面积公式计算面积即可．
（2）如图中，当t= 时，点B(，1)，结合图形进行判断即可求解．
（3）根据题意可得[m] [n]=4，推出满足条件的点D(m，n)在第一象限，即可判断k的取值范围．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．关于正比例函数y=-2x，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过点（-1，-2） B．图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y<0
2．（2023八下·石家庄期末）点和都在正比例函数 (，且k为常数)的图象上，若，则k的值可能是( )
A． B． C． D．
3．（2023八下·铁岭期末）下列关于正比例函数的结论正确的是（ ）
A．直线经过第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．直线经过点（-1，-2） D．不论x取何值时，总有
4．（2023八下·凤山期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·湖里期末）正比例函数y=kx的示意图如图所示，则k的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
6．（2023·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·浙江模拟）如图，直线l1的解析式是y＝ x，直线l2的解析式是y＝ x，点A1在l1上，A1的横坐标为 ，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1、B1B2为邻边在直线l1、l2间作菱形A1B1B2C1，延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2、B2B3为邻边在l1、l2间作菱形A2B2B3C2，………按照此规律继续作下去，则线段A2020B2020长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝ x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2 ，AD＝1，则OD的最大值是（ ）
A． B． +2 C． +2 D．
二、填空题
9．（2023八下·高要期末）已知正比例函数（k是常数，），y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：
10．（2023·绥中模拟）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限．
11．（2023八上·江北期末）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为 .
12．（2021八上·南京期末）已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是 .
13．（2020八下·柯桥月考）如图，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1.若正方形A2B2C2D2的边长为2011，则点B2的坐标为 .
三、解答题
14．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020八上·普宁期中）如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式．
四、综合题
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，已知为正比例函数的图象上一点，轴，垂足为点B.
（1）求m的值；
（2）点P从O出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动.设运动时间为.
①过点P作交直线于点Q，若，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由.
17．（2023八下·海淀期中）对于实数x，表示不小于x的最小整数，例如：，，点为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移个单位得到点，；将点P分别向左，向右平移个单位得到点，，我们称菱形叫做点P的伴随菱形．例如：点的伴随菱形是以点，，，构成的菱形．
（1）在图中画出点的伴随菱形，该菱形的面积为 ；
（2）若点的伴随菱形与点的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值；
（3）若点与点所对应的伴随菱形面积相同，且点在函数的图象上，直接写出k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：A、当x=-1时y=-2×（-1）=2≠-2，
图象不经过点（-1，-2），故A不符合题意；
B、∵k=-2＜0，
∴此函数图象经过第二、四象限，故B不符合题意；
C、∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，故C符合题意；
D、当x＞0时，y＜0，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将x=-1代入函数解析式，可对A作出判断；利用一次函数图象、性质，与系数的关系，可对B，C，D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵0＜2，y1＞y2，
∴k＜0，
故答案为：B。
【分析】根据一次函数的性质知：y随x的增大而减小，可得出K＜0，故而可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：正比例函数y=-2x，
∵a=-2＜0，
∴图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故A不符合题意，B符合题意；
C、∵当x=-1时y=2，
∴点（-1，2）不在此函数图象上，故C不符合题意；
D、当xx＞0时，y＜0，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的性质：y=kx（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限；可对A，B作出判断；将x=-1代入函数解析式，求出对应的y的值，可对C作出判断；利用正比例函数的增减性，可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当时，，A正确；
当时，，B和D错误；
当时，，D错误，
故答案为：A.
【分析】将点坐标代入函数，判断等边是否成立即可.
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由图象知：
∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
观察四个选项，只有k=-2符合题意，
故答案为：D．
【分析】由于正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可知k＜0，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵、…都是等边三角形，
∴，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的性质可得，由于直线与轴的成角，，可得出，=1，同理，…，，从而得出，，…，，易得，…，，可求出，，…，，根据三角形面积公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴，
直线l1的解析式是y＝ x，直线l2的解析式是y＝ x，
∴直线l1与x轴的夹角为30°，直线l2与x轴的夹角为60°，
∴∠B1OA1=∠A1OD=30°，
∵ A1的横坐标为 ，
∴；
在Rt△A1B1O中，
A1B1=OA1tan30°=；
∵ 菱形A1B1B2C1，
∴A1B1=B2C1=A1C1=1，A1B1∥A2B2，OB1∥A1C1，
∴∠C1A2O=90°，∠C1A1A2=30°，
∴A1C1=A1C1=
∴A2B2=1+=；
同理可得：
A3B3=
A4B4=
∴.
故答案为：B.
【分析】过点A1作A1D⊥x轴，利用两函数解析式可知直线l1与x轴的夹角为30°，直线l2与x轴的夹角为60°，由此可求出∠B1OA1=∠A1OD=30°，利用解直角三角形求出点OA1的长，在Rt△A1B1O中，利用解直角三角形求出A1B1的长；利用菱形的性质易证A1B1=B2C1=A1C1=1，A1B1∥A2B2，OB1∥A1C1，就可求出A1C1，从而可求出A2B2的长，A3B3，A4B4的长，寻找规律可得到AnBn的长，由此规律可求解。
8．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y＝ x图象上，∴tan∠AOB＝ ，
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，
∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，
∵∠APB＝2∠AOB，∠APH＝ ∠APB，AH＝ AB＝ ＝DG，
∴∠APH＝∠AOB，
∴tan∠APH＝tan∠AOB＝ ，
∴ ＝ ，
∴PH＝1，
∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，
∴PD＝ ＝ ＝ ，
∴OP＝PA＝ ＝ ＝2，
在△OPD中，OP+PD≥OD，
∴OD的最大值为：OP+PD＝2+ ，
故答案为：B．
【分析】作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝2，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得．
9．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解： 在正比例函数（k是常数，）中，y的值随着x的值的增大而增大，
∴k＞0，
∴函数表达式可以为y=2x，
故答案为：y=2x（答案不唯一）.
【分析】在正比例函数（k是常数，）中，y的值随着x的值的增大而增大，可得k＞0，继而得解.
10．【答案】一
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，
∴，
∴点在第一象限．
故答案为：一．
【分析】根据正比例函数的性质进行求解即可。
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为a，则B（，a），C（+a，a），然后将点C的坐标代入y=kx中进行计算可得k的值.
12．【答案】或
【知识点】正比例函数的图象和性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，
∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB，
∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠BOF＝∠OAE，
在△BOF和△OAE中
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ，
∵B的坐标是（1， ）
∴＝k，
检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意；
②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1），
设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中，
∴AE＝ OA，
∴∠EOA＝30°，
∴∠BOA＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴点B（ ，1）
把（ ，1）代入y＝kx得
k=1，
解答k＝ ．
故答案为：k≥ 或k＝ .
【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围.
13．【答案】（4022，6033）
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直线OM的解析式为 ，
已知点A、 、 在直线OM上且 ，
把点A代入可得OM的解析式为 ，
正方形ABXD的边长为1，所以B点的坐标为 ，则点C的坐标为 ，
∵点C、 、 在直线ON上，可解得直线ON的解析式为 ，
设 的坐标为 ，
∵点 在直线ON上，
∴ ，
∵正方形 D的边长为2011，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∵点 在直线OM上，则 ，
则 ，
∴ 。
解得 .
则点 的坐标为（4022，6033）.
故答案为：（4022，6033）.
【分析】根据已知条件可求得点B和点C的坐标，令直线ON的表达式为y=kx，代入A点的坐标，可求得k，即得出直线ON的表达式，再根据已知条件求出点B2的值.
14．【答案】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=﹣2解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP=5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标
15．【答案】解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3，
∴OH＝3，
∵△AOH的面积为3，
∴ AH OH＝3，
∴AH＝2，
∵点A在第四象限，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
将A（3，﹣2）代入y＝kx，
得﹣2＝3k，解得：k＝ ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出 AH＝2， 再求出 点A的坐标为（3，﹣2） ，最后利用待定系数法求函数解析式即可。
16．【答案】（1）解：∵为正比例函数的图象上一点，
∴当时，，
的值为；
（2）解：∵，
∴OA=，
①若，则，
当点P在线段上时，则，即，解得，
当点P在线段的延长线上时，则，即，解得；
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
若，则点P在的垂直平分线上，此时，即，求得，
若，则，即，求得，
若，过点B作BE⊥OA，如图所示，
∵，
∴BE===4.8，
∴OE=，
∵OE=PE，
∴，即，求得，
综上可得：t的值为或或.
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）将点M的坐标的正比例函数解析式，可求出m的值.
（2）利用点A的坐标，根据勾股定理求出OA的长；①利用全等三角形的性质，可知AP=AB=6，分情况讨论：当点P在线段OA上时，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当点P在线段OA的延长线上时，根据OP=OA+AP，可求出OP的长，同时可得到关于t的方程，解方程求出t的值；②利用△POB是等腰三角形，分情况讨论：当PO=PB时，可知点P在线段OB的垂直平分线上，可求出OP的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当OP=OB时，可知OP=8，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当BP=PO时，过点B作BE⊥OA，利用三角形的面积公式可求出BE的长，利用勾股定理求出OE的长，根据OE=PE建立关于t的方程，解方程求出t的值；综上所述可得到t的值.
17．【答案】（1）解：如图，菱形是点的伴随菱形， 面积．
故答案为：4．
（2）解：如图中，当时，点的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点．
∴t的最小值为．
（3）或或
【知识点】一元一次不等式组的应用；坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；菱形的性质
【解析】【解答】（3）∵点的伴随菱形面积=×4×4=8，
∴点D(m，n)的伴随菱形面积=8，
∴×2[m]×2[n]=8，
∴[m]×[n]=4，
∴满足条件的点D(m，n)在第一象限，
∵点D在y=kx上，
∴n=km，
①当[m]=1，[km]=4时，
由[km]=4，可得3∴，
∵0∴，
∴k>3；
②当[m]=2，[km]=2时，
同法可得，1∴，
解得 ；
③当[m]=4，[km]=1时，
同法可得3∴，
∵k>0，
∴；
综上所述，满足条件的k的值为：k>3或 或．
【分析】（1）根据新定义，画出图形，根据菱形的面积公式计算面积即可．
（2）如图中，当t= 时，点B(，1)，结合图形进行判断即可求解．
（3）根据题意可得[m] [n]=4，推出满足条件的点D(m，n)在第一象限，即可判断k的取值范围．
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