2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.2 一次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八下·长春期末）将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是（ ）
A．y=2x+2 B．y=2x－2 C．y=2（x－2） D．y=2（x+2）
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=2，b=0+2=2．
∴新直线的解析式为y=2x+2．
故选A．
【点评】求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化
2．（2023八下·南宁月考）将一次函数的图像向右平移5个单位后，所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．49
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： 一次函数的图像向右平移5个单位得y=2（x-5）+4=2x-6，
当x=0时y=-6，当y=0时x=3，
∴直线y=2x-6与坐标轴的交点为（0，-6），（3，0）
∴ 所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为×3×6=9；
故答案为：C.
【分析】直线平移的规律：左加右减，上加下减，据此求出平移后的直线为y=2x-6，再求出此直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可.
3．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．(-，0) B．(-6，0) C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
4．（2023八下·大安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线上一点关于轴的对称点为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点B（2，m），
∴点B关于x轴的对称点A（2，-m），
∵A在直线y=-x+1上，
∴-m=-2+1=-1，
解得：m=1．
故答案为：B.
【分析】根据题意得出A（2，-m），然后再代入y=-x+1可得m的值．
5．（2023八下·越秀期末）直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入 ，
得，
.
故答案为：C.
【分析】把点坐标代入函数解析式得到关于n的一元一次方程，进而解得n的值.
6．（2023八下·浏阳期末）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 解：作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线 于点B，交y轴于点C， 此时 周长最小，
由轴对称得： ， ，
∴ ，
令直线 于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接 ，如图所示：
把 代入得： ，
把 代入得： ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点A和点 关于直线MN对称，点A和点 关于y轴对称，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ 周长最小值为 ，
故答案为：A
【分析】作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线 于点B，交y轴于点C， 此时 周长最小，先根据轴对称的性质得到 ， ，进而得到 ，再根据一次函数与坐标轴的交点即可得到 ， ，进而得到 ，从而结合题意根据对称即可得到 ， ， ，再运用勾股定理即可求解。
7．（2023八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4038 D．4040
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：延长交x轴于D，交x轴于E，如下图：
∵，
∴，
∵直线的解析式为 ，
∴∠BOD=30°，
对于 直线的解析式为 ，当x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1），
∴OA=OB=1，
，
∴，
∴点B坐标为，
对于 ，当时，，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点坐标，
对于 直线的解析式为 ，当时，，
∴，
∴，
同理得：，……
以此类推，第n个等边三角形的边长为，
∴第2020个等边三角形的边长为
故答案为：A.
【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得：OA=OB，，，直线b的解析式为： ，得∠BOD=30°，由直线a的解析式 ，得第一个等边三角形的边长为1，解，得：，，把代入 求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长.
8．（2023八下·铜仁期末）如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接AC、BO交于点F，连接AD、BE交于点O，连接OF
∵ 四边形ABCD为矩形，B(10，2)
∴ F为矩形的中心
根据中点坐标公式，可得 F（5，1）
∵∵ 四边形ABDE为菱形，D(16，10)
∴O为菱形的中心
根据中点坐标公式，可得 O（8，6）
∴ OF所在直线l平分矩形ABCD和菱形ABDE的面积
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），过点 F（5，1），O（8，6）
∴
解得：
∴ 直线l的解析式为
故答案为C
【分析】本题考查中点坐标公式、矩形和菱形性质及待定系数法求一次函数解析式。根据直线l把两个图形的面积平分，可知直线l一定过两个图形的对角线的交点，则求出两个图形的对角线的交点坐标是关键。
二、填空题
9．（2023八下·武鸣期末）已知直线经过点，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：将x=1代入得
m=1×-2=-2.
故答案为：-2.
【分析】直接将已知的x代入即可得到答案.
10．（2017八下·蒙阴期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
【答案】y=2x-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
11．（2023八下·吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点的坐标为若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3
当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3
则直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围为：
故答案为：
【分析】当直线过点B，D时恰好有一个交点，在B，D之间时，则有两个交点。
12．（2023八下·长春期末）如图，已知A（4，0），B（4，4），直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为_ ．
【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EF⊥AB于F，作EM⊥X轴于M
∵ 点A（4，0），点B（4，4）
∴ AB=4，AB⊥X轴
∴ 四边形AFEM为矩形
∵△AEB为等腰三角形
∴ EM=AF=2
∵将线段CD绕着点C顺时针旋转90°
∴ ∠DCE=90°
∴ ∠OCD+∠ECM= ∠OCD+∠ODC=90°
∴ ∠ODC=∠ECM
∵ DC=EC
∴
∴ OC=ME=2
则点C（2，0）
∵直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，
∴ 2k+4=0
解得k=-2
故答案为：k=-2.
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定（一线三等角模型）、矩形的性质和待定系数法求函数解析式。等腰三角形三线合一的性质很重要。“一线三等角”模型如图所示：
有∠B=∠ACD=∠E=90°，AC=DC，则有，BE=AB+DE.熟练掌握一些经典模型很重要。
13．（2023八下·自贡期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线经过A、C两点
∴ A（2，0）C（）
∴ OA=2，OC=
∴ AC=
∴ ∠OAC=60°， ∠OCA=30°
如图所示，过点P作PK⊥OC于K
∴ PK=
∴
∵ PQ+PK最小值为点P、Q、K三点共线时平行线AB与OC之间的距离OA长
∴
即的最小值是8
【分析】本题考查线段和的最小值、矩形的性质，函数与坐标轴的交点坐标问题。求出函数与坐标轴的交点坐标，可得到特殊角度，线段的倍数关系，通过提取系数，可找到角度与线段的关系，转化成三点共线，化曲为直，再转化成平行线间的距离，即可求出线段和的最小值。遇到求和线段的最小值，如果线段前系数为1，则考虑对称，化曲为直，如果线段前系数不是1，则考虑含有有特殊角度的直角三角形，线段替换，化曲为直，求最小值。
三、解答题
14．（2023八下·台江期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，为直线上的一个动点，过点分别作轴于点，轴于点，如图所示．
（1）若点为线段的中点，求的长；
（2）若四边形为正方形时，求点的坐标；
（3）点在上运动过程中，的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，
直线中，
令时，点坐标为，则，
令时，点坐标为，则，
在△中，，
又点为的中点，
；
（2）解：∵四边形PEOF为正方形，且点P在直线上，
，
∴点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，
设点，
当点P在第一象限时，，，
，
得，
所以点P坐标为，
当点P在第二象限时，
，，
，
得，
所以点P坐标为，
综上点P的坐标为或；
（3）解：连接OP，如图，
，
四边形PEOF为矩形，
，
由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，
又，
，
，
所以EF存在最小值，且最小值为.
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点可求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，进而根据勾股定理算出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长；
（2）由正方形性质可得PE=PF，即点P的横纵坐标的绝度值相等，故点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，从而分两种情况构建方程，求解可得答案；
（3）易得四边形PEOF是矩形，由矩形对角线相等得OP=EF，由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，进而根据等面积法克求出OP的最小值，从而即可得出答案.
15．（2023八下·辛集期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线的解析式为，以线段、为边作平行四边形．
（1）如图，若点的坐标为，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，在的条件下，为边上的动点，点关于直线的对称点是，连接，．
当 ▲ 时，点位于线段的垂直平分线上；
连接，，设，设的延长线交边于点，当时，求证：，并求出此时的值．
【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
过作轴于，如图：
在中，令得，令得，
，，
，，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形；
（2）①30
②如图：
，
，，
关于直线的对称点是，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的值是．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】⑴、由一次函数可求直线与坐标轴的交点，结合所给点C的坐标，进而判断Rt△AOB≌Rt△BHC ，进一步判断平行四边形ABCD的邻边相等，含直角，故是正方形。
⑵、①三等分直角的折纸问题（数学活动）
②、由折叠（轴对称）的性质可知BC等于BQ，又四边形ABCD是正方形，可知BA等于BQ，等边对等角，借助直角可得两锐角互余，利用余角性质可得∠EQD等于∠EDQ，利用等腰三角形的判定可得EQ等于ED成立。；利用直角三角形斜边上中线的性质可知QE等于正方形边长的一半，再利用直角三角形PED勾股定理列方程求PQ也即PC长。
四、综合题
16．（2023八下·邕宁期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据直线的表达式，求得OA的长，根据点P在直线上，用x表示出P点的纵坐标，从而可表示出 的面积 ；
（2）根据 ，转化为关于x的方程求解，求得P点的坐标；
（3）依据两点之间线段最短，可作点O关于l的对称点B，AG与直线x+y=8的交点就是所求．
17．（2023八下·江岸期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴上一点，直线的解析式为．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标：A 、B 、C ；
（2）如图2，点P为线段上一点，若，求出点P的坐标；
（3）如图3，点D是直线上的动点，以为边顺时针方向作正方形，连接，若，求点F坐标．
【答案】（1）；；
（2）解：作交直线于点D，再分别过B、D作x轴、y轴的垂线交于点Q，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
设直线CD的解析式为，
将，代入得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点P的坐标；
（3）解：①当D点在线段上时，如图，分别作轴于点M，轴于点N，轴于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ODEF是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标是，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F的坐标是；
②当D点在延长线上时，如图，分别作轴于点M，轴于点N，轴于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ODEF是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标是，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
③当D点在BA延长线上时，，不满足，故舍去．
综上可知，点F的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x=0，y=-2，
∴C（0，-2），
令y=0，x=4，
∴B（4，0），
∵直线AB的解析式为．
将B（4，0），代入得b=4，
∴A（0，4），
故答案为：，，；
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的特征，即可求解；
（2）作BD⊥BC交直线CP于点D，再分别过B、D作x轴、y轴的垂线交于点Q，利用“AAS”证明△BOC≌△BQD得，，即可求出直线CD的解析式，最后令y=0，得到，进而可得到点P的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当D点在线段AB上时；②当D点在AB延长线上时；③当D点在BA延长线上时，分别进行讨论即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 19.2.2 一次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八下·长春期末）将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是（ ）
A．y=2x+2 B．y=2x－2 C．y=2（x－2） D．y=2（x+2）
2．（2023八下·南宁月考）将一次函数的图像向右平移5个单位后，所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．49
3．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．(-，0) B．(-6，0) C． D．
4．（2023八下·大安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线上一点关于轴的对称点为，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．（2023八下·越秀期末）直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八下·浏阳期末）如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C．4038 D．4040
8．（2023八下·铜仁期末）如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
二、填空题
9．（2023八下·武鸣期末）已知直线经过点，则的值是 ．
10．（2017八下·蒙阴期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
11．（2023八下·吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点的坐标为若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是 ．
12．（2023八下·长春期末）如图，已知A（4，0），B（4，4），直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为_ ．
13．（2023八下·自贡期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 ．
三、解答题
14．（2023八下·台江期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，为直线上的一个动点，过点分别作轴于点，轴于点，如图所示．
（1）若点为线段的中点，求的长；
（2）若四边形为正方形时，求点的坐标；
（3）点在上运动过程中，的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．
15．（2023八下·辛集期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线的解析式为，以线段、为边作平行四边形．
（1）如图，若点的坐标为，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，在的条件下，为边上的动点，点关于直线的对称点是，连接，．
当 ▲ 时，点位于线段的垂直平分线上；
连接，，设，设的延长线交边于点，当时，求证：，并求出此时的值．
四、综合题
16．（2023八下·邕宁期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
17．（2023八下·江岸期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴上一点，直线的解析式为．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标：A 、B 、C ；
（2）如图2，点P为线段上一点，若，求出点P的坐标；
（3）如图3，点D是直线上的动点，以为边顺时针方向作正方形，连接，若，求点F坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=2，b=0+2=2．
∴新直线的解析式为y=2x+2．
故选A．
【点评】求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化
2．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： 一次函数的图像向右平移5个单位得y=2（x-5）+4=2x-6，
当x=0时y=-6，当y=0时x=3，
∴直线y=2x-6与坐标轴的交点为（0，-6），（3，0）
∴ 所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为×3×6=9；
故答案为：C.
【分析】直线平移的规律：左加右减，上加下减，据此求出平移后的直线为y=2x-6，再求出此直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点B（2，m），
∴点B关于x轴的对称点A（2，-m），
∵A在直线y=-x+1上，
∴-m=-2+1=-1，
解得：m=1．
故答案为：B.
【分析】根据题意得出A（2，-m），然后再代入y=-x+1可得m的值．
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入 ，
得，
.
故答案为：C.
【分析】把点坐标代入函数解析式得到关于n的一元一次方程，进而解得n的值.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 解：作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线 于点B，交y轴于点C， 此时 周长最小，
由轴对称得： ， ，
∴ ，
令直线 于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接 ，如图所示：
把 代入得： ，
把 代入得： ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点A和点 关于直线MN对称，点A和点 关于y轴对称，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ 周长最小值为 ，
故答案为：A
【分析】作点A关于直线 的对称点 ，作点A关于y轴的对称点 ，连接 ，交直线 于点B，交y轴于点C， 此时 周长最小，先根据轴对称的性质得到 ， ，进而得到 ，再根据一次函数与坐标轴的交点即可得到 ， ，进而得到 ，从而结合题意根据对称即可得到 ， ， ，再运用勾股定理即可求解。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：延长交x轴于D，交x轴于E，如下图：
∵，
∴，
∵直线的解析式为 ，
∴∠BOD=30°，
对于 直线的解析式为 ，当x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1），
∴OA=OB=1，
，
∴，
∴点B坐标为，
对于 ，当时，，
∴点坐标为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点坐标，
对于 直线的解析式为 ，当时，，
∴，
∴，
同理得：，……
以此类推，第n个等边三角形的边长为，
∴第2020个等边三角形的边长为
故答案为：A.
【分析】延长交x轴于D，交x轴于E，根据等边三角形的性质得：OA=OB，，，直线b的解析式为： ，得∠BOD=30°，由直线a的解析式 ，得第一个等边三角形的边长为1，解，得：，，把代入 求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长.
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接AC、BO交于点F，连接AD、BE交于点O，连接OF
∵ 四边形ABCD为矩形，B(10，2)
∴ F为矩形的中心
根据中点坐标公式，可得 F（5，1）
∵∵ 四边形ABDE为菱形，D(16，10)
∴O为菱形的中心
根据中点坐标公式，可得 O（8，6）
∴ OF所在直线l平分矩形ABCD和菱形ABDE的面积
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），过点 F（5，1），O（8，6）
∴
解得：
∴ 直线l的解析式为
故答案为C
【分析】本题考查中点坐标公式、矩形和菱形性质及待定系数法求一次函数解析式。根据直线l把两个图形的面积平分，可知直线l一定过两个图形的对角线的交点，则求出两个图形的对角线的交点坐标是关键。
9．【答案】
【知识点】一次函数的定义
【解析】【解答】解：将x=1代入得
m=1×-2=-2.
故答案为：-2.
【分析】直接将已知的x代入即可得到答案.
10．【答案】y=2x-2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
11．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3
当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3
则直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围为：
故答案为：
【分析】当直线过点B，D时恰好有一个交点，在B，D之间时，则有两个交点。
12．【答案】-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EF⊥AB于F，作EM⊥X轴于M
∵ 点A（4，0），点B（4，4）
∴ AB=4，AB⊥X轴
∴ 四边形AFEM为矩形
∵△AEB为等腰三角形
∴ EM=AF=2
∵将线段CD绕着点C顺时针旋转90°
∴ ∠DCE=90°
∴ ∠OCD+∠ECM= ∠OCD+∠ODC=90°
∴ ∠ODC=∠ECM
∵ DC=EC
∴
∴ OC=ME=2
则点C（2，0）
∵直线y＝kx+4与x轴正半轴交于点C，
∴ 2k+4=0
解得k=-2
故答案为：k=-2.
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定（一线三等角模型）、矩形的性质和待定系数法求函数解析式。等腰三角形三线合一的性质很重要。“一线三等角”模型如图所示：
有∠B=∠ACD=∠E=90°，AC=DC，则有，BE=AB+DE.熟练掌握一些经典模型很重要。
13．【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线经过A、C两点
∴ A（2，0）C（）
∴ OA=2，OC=
∴ AC=
∴ ∠OAC=60°， ∠OCA=30°
如图所示，过点P作PK⊥OC于K
∴ PK=
∴
∵ PQ+PK最小值为点P、Q、K三点共线时平行线AB与OC之间的距离OA长
∴
即的最小值是8
【分析】本题考查线段和的最小值、矩形的性质，函数与坐标轴的交点坐标问题。求出函数与坐标轴的交点坐标，可得到特殊角度，线段的倍数关系，通过提取系数，可找到角度与线段的关系，转化成三点共线，化曲为直，再转化成平行线间的距离，即可求出线段和的最小值。遇到求和线段的最小值，如果线段前系数为1，则考虑对称，化曲为直，如果线段前系数不是1，则考虑含有有特殊角度的直角三角形，线段替换，化曲为直，求最小值。
14．【答案】（1）解：如图，
直线中，
令时，点坐标为，则，
令时，点坐标为，则，
在△中，，
又点为的中点，
；
（2）解：∵四边形PEOF为正方形，且点P在直线上，
，
∴点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，
设点，
当点P在第一象限时，，，
，
得，
所以点P坐标为，
当点P在第二象限时，
，，
，
得，
所以点P坐标为，
综上点P的坐标为或；
（3）解：连接OP，如图，
，
四边形PEOF为矩形，
，
由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，
又，
，
，
所以EF存在最小值，且最小值为.
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点可求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，进而根据勾股定理算出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长；
（2）由正方形性质可得PE=PF，即点P的横纵坐标的绝度值相等，故点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，从而分两种情况构建方程，求解可得答案；
（3）易得四边形PEOF是矩形，由矩形对角线相等得OP=EF，由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，进而根据等面积法克求出OP的最小值，从而即可得出答案.
15．【答案】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
过作轴于，如图：
在中，令得，令得，
，，
，，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形；
（2）①30
②如图：
，
，，
关于直线的对称点是，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的值是．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】⑴、由一次函数可求直线与坐标轴的交点，结合所给点C的坐标，进而判断Rt△AOB≌Rt△BHC ，进一步判断平行四边形ABCD的邻边相等，含直角，故是正方形。
⑵、①三等分直角的折纸问题（数学活动）
②、由折叠（轴对称）的性质可知BC等于BQ，又四边形ABCD是正方形，可知BA等于BQ，等边对等角，借助直角可得两锐角互余，利用余角性质可得∠EQD等于∠EDQ，利用等腰三角形的判定可得EQ等于ED成立。；利用直角三角形斜边上中线的性质可知QE等于正方形边长的一半，再利用直角三角形PED勾股定理列方程求PQ也即PC长。
16．【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据直线的表达式，求得OA的长，根据点P在直线上，用x表示出P点的纵坐标，从而可表示出 的面积 ；
（2）根据 ，转化为关于x的方程求解，求得P点的坐标；
（3）依据两点之间线段最短，可作点O关于l的对称点B，AG与直线x+y=8的交点就是所求．
17．【答案】（1）；；
（2）解：作交直线于点D，再分别过B、D作x轴、y轴的垂线交于点Q，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
设直线CD的解析式为，
将，代入得
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴点P的坐标；
（3）解：①当D点在线段上时，如图，分别作轴于点M，轴于点N，轴于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ODEF是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标是，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F的坐标是；
②当D点在延长线上时，如图，分别作轴于点M，轴于点N，轴于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ODEF是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标是，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
③当D点在BA延长线上时，，不满足，故舍去．
综上可知，点F的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x=0，y=-2，
∴C（0，-2），
令y=0，x=4，
∴B（4，0），
∵直线AB的解析式为．
将B（4，0），代入得b=4，
∴A（0，4），
故答案为：，，；
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的特征，即可求解；
（2）作BD⊥BC交直线CP于点D，再分别过B、D作x轴、y轴的垂线交于点Q，利用“AAS”证明△BOC≌△BQD得，，即可求出直线CD的解析式，最后令y=0，得到，进而可得到点P的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当D点在线段AB上时；②当D点在AB延长线上时；③当D点在BA延长线上时，分别进行讨论即可.
1 / 1
