2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 20.2 数据的波动程度同步分层训练培优题
一、选择题
1．一组数据1，2，1，4的方差是 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋设货架上原有鸡蛋质量(单位：g)的平均数和方差分别为，S2 ，该顾客选购的鸡蛋质量的平均数和方差分别为， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．< B． > C．S2> D．S2<
3．为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2
4．（2024八上·长春期末）甲、乙、丙、丁四名同学五次数学成绩的平均分与方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 98 95 98 96
方差 1.2 0.8 0.8 1.0
根据表中的数据，现从中选取一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校组织的数学竞赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2023八上·莱芜期中）一组数据、、、、、、的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A．3， B．， C．， D．，
6．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，xn+2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
7．（2017·桥西模拟）小华进行了5次射击训练后，计算出这5次射击的平均成绩为8环，方差为s12，随后小华又进行了第6次射击，成绩恰好是8环，并计算出这6次射击成绩的方差为s22，则下列说法正确的是（ ）
A．s12=s22 B．s12＜s22
C．s12＞s22 D．无法确定s12与s22的大小
8．（2021八下·兴隆期末）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲2＞S乙2；②S甲2＜S乙2；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
9．有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为160 cm，甲队身高方差=1.2 cm2，乙队身高方差=2.0 cm2，两队身高比较整齐的是 队（填“甲”或“乙”）.
10．已知一组数据x ，x ，x ，…，x。的方差是 1.5，则另一组 数 据 2x ，2x ， 2x ，…，2x， 的方差是 .
11．（2023九上·江油开学考）甲、乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳个数的统计结果如表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 45 109 181 110
乙 45 111 108 110
某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟跳绳≥110个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是 .
12．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
13．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
三、解答题
14．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
四、综合题
15．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
16．（2023八下·朔州期末）学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：平均数为：；
方差为：；
故答案为：B.
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差精心计算即可.
2．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：.超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，..架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量方差，即，而平均数无法比较.
故选:C.
【分析】根据方差的意义求解.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。
3．【答案】D
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、由中位数的定义知：这组数据的中位数为第5个和第6个数的平均数，
即这组数据的中位数为：则本项不符合题意；
B、由条形统计图得：这组数据的众数为5，则本项不符合题意；
C、平均数为：则本项不符合题意；
D、方差为：则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
根据平均数可知甲和丙的成绩最高，
根据方差可知，乙丙的成绩波动较小，成绩比较稳定，
综上， 成绩好且发挥稳定的同学 是丙同学。
故答案为：C
【分析】
根据平均数看成绩的高低，根据方差看成绩的稳定性，综合两项指标较好的是丙。
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
第一组数据的平均数为：m=，
第一组数据的方差为：n=
第二组数据的平均数为：
第二组数据的方差为：
=9n
故答案为：D
【分析】根据平均数和方差的计算公式分别计算出两组数据的平均数和方差即可。应注意的是在计算第二组数据平均数和方差时，要用到第一组数据的计算结果，从而用m或n表示出结果。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题知，x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1=10n，∴x1+x2+…+xn=10n﹣n=9n
S12= [（x1+1﹣10）2+（x2+1﹣10）2+…+（xn+1﹣10）2]= [（x12+x22+x32+…+xn2）﹣18（x1+x2+x3+…+xn）+81n]=2，∴（x12+x22+x32+…+xn2）=83n
另一组数据的平均数= [x1+2+x2+2+…+xn+2]= [（x1+x2+x3+…+xn）+2n]= [9n+2n]= ×11n=11，另一组数据的方差= [（x1+2﹣11）2+（x2+2﹣11）2+…+（xn+2﹣11）2]
= [（x12+x22+…+xn2）﹣18（x1+x2+…+xn）+81n]= [83n﹣18×9n+81n]=2．故答案为：C．
【分析】根据题意，只有利用平均数和方差的性质分别分析并代入题目的数字得出即可解出答案.
7．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：6次成绩的平均数为8环，
由方差公式得：s12＞s22，
故答案为：C．
【分析】可由方差的公式，在原来，中括号内的数值没变，但前面除以6，因此变小了.
8．【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.45
∴S2甲＜S2乙，
∴甲的射击成绩比乙稳定；
故选C．
【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
9．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴
∴甲队的身高比乙队的整齐，
故答案为：甲.
【分析】根据：方差反应一组数据的波动情况，方差越小，数据波动情况越小，进而即可求解.
10．【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，······，xn的方差是1.5，
∴数据2x1，2x2，2x3，······，2xn的方差是22×1.5=6，
故答案为：6.
【分析】根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方即可求解.
11．【答案】①②③
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】根据图表
①甲、乙两班学生平均成绩相同；正确，平均数都是110
②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟跳绳≥110个为优秀)；正确，乙组的中位数大于110而甲组中位数小于110
③甲班成绩的波动比乙班大；正确，甲的方差大于乙的方差。
故填：①②③
【分析】根据平均数和中位数及方差的意义来判断。
12．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
13．【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
14．【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
15．【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下：
（2）解：表格中①对应的数据为：．
表格中②对应的数据是．
（3）解：七年级比赛成绩整体较好．
理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据题意先求出八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，再补全八年级频数分布直方图即可；
（2）利用中位数和平均数的计算方法求解即可；
（3）根据平均数和方差判断求解即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 20.2 数据的波动程度同步分层训练培优题
一、选择题
1．一组数据1，2，1，4的方差是 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：平均数为：；
方差为：；
故答案为：B.
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差精心计算即可.
2．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋设货架上原有鸡蛋质量(单位：g)的平均数和方差分别为，S2 ，该顾客选购的鸡蛋质量的平均数和方差分别为， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A．< B． > C．S2> D．S2<
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：.超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，..架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量方差，即，而平均数无法比较.
故选:C.
【分析】根据方差的意义求解.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。
3．为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2
【答案】D
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、由中位数的定义知：这组数据的中位数为第5个和第6个数的平均数，
即这组数据的中位数为：则本项不符合题意；
B、由条形统计图得：这组数据的众数为5，则本项不符合题意；
C、平均数为：则本项不符合题意；
D、方差为：则本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，
4．（2024八上·长春期末）甲、乙、丙、丁四名同学五次数学成绩的平均分与方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 98 95 98 96
方差 1.2 0.8 0.8 1.0
根据表中的数据，现从中选取一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校组织的数学竞赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
根据平均数可知甲和丙的成绩最高，
根据方差可知，乙丙的成绩波动较小，成绩比较稳定，
综上， 成绩好且发挥稳定的同学 是丙同学。
故答案为：C
【分析】
根据平均数看成绩的高低，根据方差看成绩的稳定性，综合两项指标较好的是丙。
5．（2023八上·莱芜期中）一组数据、、、、、、的平均数是，方差是，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（ ）
A．3， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
第一组数据的平均数为：m=，
第一组数据的方差为：n=
第二组数据的平均数为：
第二组数据的方差为：
=9n
故答案为：D
【分析】根据平均数和方差的计算公式分别计算出两组数据的平均数和方差即可。应注意的是在计算第二组数据平均数和方差时，要用到第一组数据的计算结果，从而用m或n表示出结果。
6．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…，xn+2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3
C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题知，x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1=10n，∴x1+x2+…+xn=10n﹣n=9n
S12= [（x1+1﹣10）2+（x2+1﹣10）2+…+（xn+1﹣10）2]= [（x12+x22+x32+…+xn2）﹣18（x1+x2+x3+…+xn）+81n]=2，∴（x12+x22+x32+…+xn2）=83n
另一组数据的平均数= [x1+2+x2+2+…+xn+2]= [（x1+x2+x3+…+xn）+2n]= [9n+2n]= ×11n=11，另一组数据的方差= [（x1+2﹣11）2+（x2+2﹣11）2+…+（xn+2﹣11）2]
= [（x12+x22+…+xn2）﹣18（x1+x2+…+xn）+81n]= [83n﹣18×9n+81n]=2．故答案为：C．
【分析】根据题意，只有利用平均数和方差的性质分别分析并代入题目的数字得出即可解出答案.
7．（2017·桥西模拟）小华进行了5次射击训练后，计算出这5次射击的平均成绩为8环，方差为s12，随后小华又进行了第6次射击，成绩恰好是8环，并计算出这6次射击成绩的方差为s22，则下列说法正确的是（ ）
A．s12=s22 B．s12＜s22
C．s12＞s22 D．无法确定s12与s22的大小
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：6次成绩的平均数为8环，
由方差公式得：s12＞s22，
故答案为：C．
【分析】可由方差的公式，在原来，中括号内的数值没变，但前面除以6，因此变小了.
8．（2021八下·兴隆期末）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲2＞S乙2；②S甲2＜S乙2；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.45
∴S2甲＜S2乙，
∴甲的射击成绩比乙稳定；
故选C．
【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
二、填空题
9．有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为160 cm，甲队身高方差=1.2 cm2，乙队身高方差=2.0 cm2，两队身高比较整齐的是 队（填“甲”或“乙”）.
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴
∴甲队的身高比乙队的整齐，
故答案为：甲.
【分析】根据：方差反应一组数据的波动情况，方差越小，数据波动情况越小，进而即可求解.
10．已知一组数据x ，x ，x ，…，x。的方差是 1.5，则另一组 数 据 2x ，2x ， 2x ，…，2x， 的方差是 .
【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，······，xn的方差是1.5，
∴数据2x1，2x2，2x3，······，2xn的方差是22×1.5=6，
故答案为：6.
【分析】根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方即可求解.
11．（2023九上·江油开学考）甲、乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳个数的统计结果如表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 45 109 181 110
乙 45 111 108 110
某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟跳绳≥110个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】根据图表
①甲、乙两班学生平均成绩相同；正确，平均数都是110
②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟跳绳≥110个为优秀)；正确，乙组的中位数大于110而甲组中位数小于110
③甲班成绩的波动比乙班大；正确，甲的方差大于乙的方差。
故填：①②③
【分析】根据平均数和中位数及方差的意义来判断。
12．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
13．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
三、解答题
14．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
四、综合题
15．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
16．（2023八下·朔州期末）学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．
初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
他们的数据分析过程如下：
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图：
请补全八年级频数分布直方图；
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 ① 85.5 144.36
八年级 83.7 ② 251.21
根据以上数据求出表格中①，②两处的数据；
（3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
【答案】（1）解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下：
（2）解：表格中①对应的数据为：．
表格中②对应的数据是．
（3）解：七年级比赛成绩整体较好．
理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据题意先求出八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，再补全八年级频数分布直方图即可；
（2）利用中位数和平均数的计算方法求解即可；
（3）根据平均数和方差判断求解即可。
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