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6.3 实数
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 绿园区校级期中）与数轴上的点一一对应的是
A．有理数 B．无理数 C．整数 D．实数
【答案】
【分析】根据实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点都表示一个实数，进行填空．
【解析】与数轴上的点一一对应的是实数．
故选．
2．（2023秋 历城区校级期中）以下各数，，，，（每两个9之间依次多一个，其中无理数的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据无理数的定义：不能表示成两个整数之商的数即不循环的无限小数即可求解．
【解析】是整数，不是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
是分数，不是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
（每两个9之间依次多一个是无限不循环小数，是无理数，
符合题意的有3个，
故选．
3．（2023秋 昌平区期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为，由图可知被墨迹遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数，，，的范围，进而解决此题．
【解析】设被墨迹覆盖住的无理数为．
由图可知：．
，，，，
被墨迹覆盖住的无理数是．
故选．
4．（2023秋 萧山区期中）下列无理数中，大小在3与4之间的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用无理数的估算即可求得答案．
【解析】，
，
则大小在3与4之间的是，
故选．
5．（2023春 咸安区校级期中）下列说法中，正确的是
A．，，都是无理数
B．绝对值最小的实数是0
C．实数分为正实数和负实数两类
D．无理数包括正无理数、负无理数和零
【答案】
【分析】直接利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义分别判断得出答案．
【解析】．，，，其中是有理数，故此选项不合题意；
．绝对值最小的实数是0，故此选项符合题意；
．实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意；
．无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意．
故选．
6．（2023秋 太和区期中）的绝对值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据绝对值的代数意义进行取绝对值即可．
【解析】，
．
的绝对值是它本身．
故选．
7．（2023秋 清丰县期中），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据图示，可得：，且，据此把，，，按照从小到大的顺序排列即可．
【解析】，且，
，，
，
，
．
故选．
8．（2023秋 邢台期中）如表是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为
填空题（每小题2分） 姓名：嘉淇 的相反数为． 2．的绝对值为3． 5． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03． 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】
【分析】1、根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可；
2、根据负数的绝对值等于它的相反数判断即可；
3、根据立方根的定义判断即可；
4、根据精确度判断即可；
5、根据平方根、立方根的定义判断即可．
【解析】1、的相反数是，正确；
2、的绝对值是，错误；
3、，错误；
4、将0.03047精确到0.001的结果是0.030，错误；
5、若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，正确；
所以正确的有2个，
因为每小题2分，所以嘉淇的得分为4分，
故选．
9．（2023秋 裕华区校级期中）若，，，则，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【解析】，，
，，，
，
故选．
10．（2023春 思明区校级期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A．
B．
C．只有3个正整数满足
D．
【答案】
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【解析】由表格可得：，
，
故选项不符合题意；
由表格可得：，
，
故选项不符合题意；
由表格可得，，
只有3个正整数满足，分别是263；264；265，
故选项符合题意；
由题意可得：，
，
故选项不符合题意，
故选．
11．（2023秋 西湖区期中）设，为实数，定义的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②；③；④，其中正确的是
A．③④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】
【分析】根据定义的新运算逐项判断即可．
【解析】，
则，
那么，
则①错误；
，，
那么，
则②正确；
，，
，
则③正确；
，，
那么，
则④错误；
综上，正确的为②③，
故选．
二．填空题（共18小题）
12．（2023秋 原阳县期中）已知为实数，，则的平方根为 ．
【答案】．
【分析】根据立方根的意义可得，从而可得：，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解析】，
，
解得：，
，
的平方根为，
故答案为：．
13．（2023秋 沈丘县期中）在，，，0，，中，无理数有 3 个．
【答案】3．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】在，，，0，，中，无理数有，，，共3个．
故答案为：3．
14．（2023秋 中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤0，⑥（相邻两个5之间0的个数逐次加．
（1）负数集合 ①④⑥ ；
（2）有理数集合 ；
（3）无理数集合 ．
【答案】①④⑥；①③④⑤；②⑥．
【分析】负数、有理数、无理数的定义逐一判断即可．
【解析】，，
（1）负数集合①④⑥；
（2）有理数集合①③④⑤；
（3）无理数集合②⑥．
故答案为：①④⑥；①③④⑤；②⑥．
15．（2023秋 瑞安市期中）计算： 2 ．
【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用二次根式的化简公式化简，即可得到结果．
【解析】原式
．
故答案为：2．
16．（2023秋 东明县期中）比较大小： 4（填“”，“ ”或“” ．
【分析】先估算的值，然后判断即可．
【解析】，
，
．
故答案为：．
17．（2023秋 温州期中）请写出一个大于且小于的整数： 2（或 ．
【分析】根据无理数的估算，找出在与的整数，任选一个即可．
【解析】因为，，
所以大于且小于的整数有2，3．
故答案为：2（或．
18．（2023秋 凌海市期中）小明编写了一个如下程序：输入立方根倒数算术平方根输出，则为 64 ．
【答案】64．
【分析】根据算术平方根，立方根，倒数等知识点列出算式，再逐步求出即可．
【解析】根据题意得：，
则，
，
．
故答案为：64．
19．（2023秋 玄武区校级期中）若，且、是两个连续的整数，则的值为 ．
【分析】估算出的值，得到，的值，代入代数式计算即可．
【解析】，
，
，，
，
故答案为：．
20．（2023秋 锦江区校级期中）如图，点，在数轴上，以为边向上作正方形，该正方形的面积是23，若点对应的数是，则点对应的数是 ．
【答案】．
【分析】先求出长即可．
【解析】点对应的数是．
故答案为：．
21．（2023春 霍邱县期中）一只蚂蚁从点沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1） ；
（2）化简 ．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）根据沿数轴正方向爬了2个单位长度进行加法运算即可得到答案；
（2）把（1）中得到得到值代入，按照绝对值的意义进行化简求值即可．
【解析】（1）由题意得到，
故答案为：；
（2），
故答案为：2．
22．（2023春 上思县期中）定义为不大于的最大整数，如，，，若满足，则的最大整数为 35 ．
【分析】由题意得：，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
，
，
的最大整数为35．
故答案为：35．
23．（2023春 朝阳区校级期中）已知，，，．若为整数且，则的值是 44 ．
【答案】44．
【分析】估算出的值即可解答．
【解析】，，
，
，
为整数且，
，
故答案为：44．
三．解答题（共8小题）
24．（2023秋 绍兴期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
【解析】（1）因为“”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“”是无理数．
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．
故答案为：甲
25．（2023秋 温州期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
1.5，，，．
．
【答案】数轴表示见解答过程；，，1.5，．
【分析】首先根据算术平方根的意义得，然后将1.5，，，在数轴上表示出来，根据在数轴上左边的点表示的数小于右边点表示的数即可将它们用“”连接起来．
【解析】，
，，，在数轴上表示如下图所示：
．
故答案为：，，1.5，．
26．（2023春 五华区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；
（2）0.875．
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质，立方根的定义进行计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
27．（2023春 端州区校级期中）已知的平方根是，的立方根是3，的相反数是．
（1）分别求出，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，；
（2）．
【分析】（1）直接利用平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值；
（2）将（1）中所求代入，再得出平方根．
【解析】（1）的平方根是，的立方根是3，的相反数是，
，，，
解得：，，；
（2），
的平方根为．
28．（2023春 路北区期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的值为16时，求输出的值；
（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 25或36或49或64 ．
【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出值，则的任何次方根都是有理数，则只有0和1，另外负数没有算术平方根，也符合题意．
（3）写出一个无理数，平方式有理数，然后两次平方即可．
【解析】（1），
，
则；
（2）存在，当或1时，始终输不出值，若输入负数，始终输不出值，
综上所述，或1或负数．
（3）答案不唯一．或或或．
故答案为：25或36或49或64．
29．（2023秋 永和县期中）太原地铁1号线预计2024年年底通车，一期工程轨道总长约59公里，截止目前，累计完成铺轨长度约9公里．如图是1号线的部分途经站点，若以大南门站为原点，以东为正方向作数轴，则表示迎泽西站的点在数轴上表示的数是．
（1）若从点向西走6个单位长度到达点，则点所表示的数为 ；
（2）在数轴上点与点关于原点对称，则点表示的数为 ；
（3）若从大南门站所在位置点向东走6个单位长度到达点，则，两点之间的距离为 ；
（4）若数轴上两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）1．
【分析】（1）利用有理数的减法意义即可求解；
（2）利用相反数的几何意义即可求解；
（3）利用数轴上两点间的距离公式求解即可；
（4）利用绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义求解出，的值，代入即可求解．
【解析】（1）点在数轴上表示的数是，点向西走6个单位长度到达点，
点所表示的数为：，
故答案为：；
（2）点在数轴上表示的数是，点与点关于原点对称，
点在数轴上表示的数与点在数轴上表示的数互为相反数，
点表示的数为：，
故答案为：；
（3）点在数轴上表示的是原点，点向东走6个单位长度到达点，
点表示的数为：6，
，两点之间的距离为：，
故答案为：；
（4）根据题意，得，
，，
解得，，
，
的算术平方根是1，
的算术平方根是1．
30．（2023秋 云岩区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：（1）的整数部分是 2 ，小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值
【答案】（1）2，；
（2）．
【分析】（1）仿照题中给出的方法即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出的取值范围即可求出的取值范围，从而得出其整数部分和小数部分，即可计算的值．
【解析】（1），
即，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
（2），
即，
，
的整数部分为11，小数部分为，
即，，
．
31．（2023春 上杭县期中）新定义：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
（2）若无理数为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
（3）实数，，满足关系式：，求的“青一区间”．
【答案】（1），；
（2）2或；
（3）．
【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解；
（2）先根据无理数，的“青一区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，代入即可求解；
（3）先根据已知得，进而得出，，可得，再根据“青一区间”的定义即可求解．
【解析】（1），，
的“青一区间”是，的“青一区间”是，
故答案为：，；
（2）无理数为正整数）的“青一区间”为，
，即，
的“青一区间”为，
，即，
，
，
为正整数，
或，
当时，，
当时，，
的值为2或；
（3），
，
，
，，
，
，
的“青一区间”是．
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6.3 实数
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 绿园区校级期中）与数轴上的点一一对应的是
A．有理数 B．无理数 C．整数 D．实数
2．（2023秋 历城区校级期中）以下各数，，，，（每两个9之间依次多一个，其中无理数的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023秋 昌平区期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是
A． B． C． D．
4．（2023秋 萧山区期中）下列无理数中，大小在3与4之间的是
A． B． C． D．
5．（2023春 咸安区校级期中）下列说法中，正确的是
A．，，都是无理数
B．绝对值最小的实数是0
C．实数分为正实数和负实数两类
D．无理数包括正无理数、负无理数和零
6．（2023秋 太和区期中）的绝对值是
A． B． C． D．
7．（2023秋 清丰县期中），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是
A． B． C． D．
8．（2023秋 邢台期中）如表是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为
填空题（每小题2分） 姓名：嘉淇 的相反数为． 2．的绝对值为3． 5． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03． 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2023秋 裕华区校级期中）若，，，则，，之间的大小关系是
A． B． C． D．
10．（2023春 思明区校级期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A．
B．
C．只有3个正整数满足
D．
11．（2023秋 西湖区期中）设，为实数，定义的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②；③；④，其中正确的是
A．③④ B．②③ C．①③ D．②④
二．填空题（共12小题）
12．（2023秋 原阳县期中）已知为实数，，则的平方根为 ．
13．（2023秋 沈丘县期中）在，，，0，，中，无理数有 个．
14．（2023秋 中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤0，⑥（相邻两个5之间0的个数逐次加．
（1）负数集合 ；
（2）有理数集合 ；
（3）无理数集合 ．
15．（2023秋 瑞安市期中）计算： ．
16．（2023秋 东明县期中）比较大小： 4（填“”，“ ”或“” ．
17．（2023秋 温州期中）请写出一个大于且小于的整数： ．
18．（2023秋 凌海市期中）小明编写了一个如下程序：输入立方根倒数算术平方根输出，则为 ．
19．（2023秋 玄武区校级期中）若，且、是两个连续的整数，则的值为 ．
20．（2023秋 锦江区校级期中）如图，点，在数轴上，以为边向上作正方形，该正方形的面积是23，若点对应的数是，则点对应的数是 ．
21．（2023春 霍邱县期中）一只蚂蚁从点沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1） ；
（2）化简 ．
22．（2023春 上思县期中）定义为不大于的最大整数，如，，，若满足，则的最大整数为 ．
23．（2023春 朝阳区校级期中）已知，，，．若为整数且，则的值是 ．
三．解答题（共8小题）
24．（2023秋 绍兴期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
25．（2023秋 温州期中）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
1.5，，，．
．
26．（2023春 五华区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
27．（2023春 端州区校级期中）已知的平方根是，的立方根是3，的相反数是．
（1）分别求出，，的值；
（2）求的平方根．
28．（2023春 路北区期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的值为16时，求输出的值；
（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ．
29．（2023秋 永和县期中）太原地铁1号线预计2024年年底通车，一期工程轨道总长约59公里，截止目前，累计完成铺轨长度约9公里．如图是1号线的部分途经站点，若以大南门站为原点，以东为正方向作数轴，则表示迎泽西站的点在数轴上表示的数是．
（1）若从点向西走6个单位长度到达点，则点所表示的数为 ；
（2）在数轴上点与点关于原点对称，则点表示的数为 ；
（3）若从大南门站所在位置点向东走6个单位长度到达点，则，两点之间的距离为 ；
（4）若数轴上两点，分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根．
30．（2023秋 云岩区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值
31．（2023春 上杭县期中）新定义：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；
（2）若无理数为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
（3）实数，，满足关系式：，求的“青一区间”．
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