名师导学
典例分析
例1 x取何值时，下列式子有意义
(1)； (2)； (3)； (4).
思路分析：(1)必须使3x+2≥0；(2)必须使－x2≥0；
(3)必须使x≥0且；(4)必须使且2x－1≠0.
解：(1)由3x+2≥0，得，
∴时，式子有意义.
(2)当x取任意实数时，x2≥0，－x2≤0，∴只有当x＝0时，式子才有意义.
(3)由得x≥0且x≠1，
∴当x≥0且x≠1时，式子有意义.
(4)由，且2x－1≠0得2x－1>0，∴x>，
∴当x>时，式子有意义.
例2 计算：(m>n).
思路分析：先对被开方数进行因式分解，然后再根据题目所给的条件进行解答.
解：
.
例3 在实数范围内分解因式：
(1)x3y－5xy； (2)a4－4a2－21.
思路分析：(1)先用提公因式法再用公式法；(2)把a2看成一个字母分解因式后再继续分解.
解：(1)x3y－5xy=xy(x2－5)=xy(x+)(x－)
(2).
规律总结
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1 方法点拨：
当根号内被开方数中含有字母时，必须保证被开方数为非负数，从而确定相关字母的取值范围；对于分式形式的代数式既要保证被开方数为非负数，又要保证分式的分母不等于零；对于根号内还含有分式的情况，既要保证被开方数不小于零，又要保证分式的分母不为零；对于由几个二次根式组成的代数式，必须同时使每一个根式都有意义.例如对于代数式，既要使a≥0，又要使－a≥0.所以在这个式子里，a的取值只能为a＝0.
2 方法点拨：
二次根式的化简与计算，要明确被开方数的取 ( http: / / www.21cnjy.com )值范围.在本例中，有一个隐含条件“n>0”.又m>n，根据这些条件对二次根式进行化简或计算才是正确的.
3 方法点拨：
在实数范围内分解因式，主要依据平方差公式、 ( http: / / www.21cnjy.com )完全平方公式、提公因式等方法进行.分解因式要彻底，分解因式的结果展开后能得到原多项式，也就是说，分解因式能进行检验.自主学习
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阅读课本，回答下列问题：
1.一般地，式子(_______)叫做二次根式.
答案：a≥0
2.在实数范围内，由于负数没有平方根，所以在(a<0)时没有意义.也就是说，二次根式中的字母a只能表示______的实数.
答案：不小于0
3.二次根式的基本性质是：
用语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于__________.
答案：a 这个非负数
4.对于实数a，当a≥0时，；当a<0时，.综合上面的结果，则有二次根式的一个重要性质：
.
答案：a －a
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1.是二次根式，它的意义是什么 它与“5的平方根”有什么不同
答案：表示5的算术平方根.“5的平方根”指的是平方等于5的两个数.
2.是二次根式吗 为什么
答案：不是二次根式，因为它的被开方数小于0，不符合二次根式的定义.
3.试着计算一下的值.
答案：∵∴.零失误训练
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◆二次根式的基本概念与性质
1.如果是二次根式，m和n应满足条件( )
A.m≥0，n>0 B.m≤0，n<0 C.mn≥0 D.m、n同号，或m＝0，n≠0
2.(2008·北京)若，则xy的值为( )
A.－8 B.－6 C.5 D.6
3.若使在实数范围内有意义，则( )
A.x＞2 B.x≤2 C.x≤5 D.x≥5
4.当a<－1时，化简的结果是( )
A.1－a B.a－1 C.1+a D.－1－a
5.若有意义，则的值一定是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
6.计算：
________；
_______；
________.
◆二次根式概念性质的简单应用
7.计算：(x≥－4).
8.已知a＝3，计算.
9.在实数范围内分解因式：
(1)x4－4
(2)a4－4a2+4
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◆综合应用
10.(2008·济宁)若，则a的取值范围是( )
A.a>1 B.a≥l C.a<1 D.a≤1
11.要使式子有意义，求x的取值范围.
12.若，化简代数式|x|+|x+2|.
13.已知实数，求xy的立方根.
14.如果实数x、y满足，求的值.
参考答案
1答案：D
2答案：B 解析：由题意知：x+2＝0，y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以xy=－2×3=－6，故选B.
3答案：B
4答案：D
5答案：C
6答案：0.5 12 18
7答案：解析：,
∵x≥－4
∴原式＝x+4.
8答案：解析：
∵a=3<π∴a－π<0.
∴原式＝π－3.
9答案：解析：(1)x4－4
=(x2+2)(x2－2)
=(x2+2)(x+)(x－);
(2)a4－4a2+4
=(a2－2)2
=(a+)2(a－)2.
10答案：D 解析：由题意知：1－a≥0，解得a≤1.
11答案：解析：
解得2≤x<5.
12答案：解析：由可知
∴－2≤x≤0
∴|x|+|x+2|=－x+x+2=2.
13答案：解析：∵
∴
∴.
∴.
14答案：解析:∴,
由,
得x=1，此时y＝－1，
∴.
