一中东校高二下学期第一次质量检测
数学 2024.3.25
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题意要求。
※1.学校有 6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少 1
个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
2.设6299 7n r,其中n N*，且0 r 7,则r （ ）
A．3 B．5 C．7 D．6
(1 x)2023 a a (x 1) a (x 1)20233.若 0 1 2023 ，x∈R，
a 3 a 32 a 32023则 1 2 2023 的值为（ ）.
A． 1 22023 B． 1 22023 1 22023 1 22023C． D．
※4. 3．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概
5
2
率为 ，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
5
A 9 B 63． ． C 81 101． D．
25 125 125 125
5.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 e 2.71828 .小明在设
置银行卡的数字密码时，打算将自然常数 e的前 6位数字 2,7,1,8, 2,8进行某种排列
得到密码.如果排列时要求两个 2不相邻，两个 8相邻，那么小明可以设置的不同
的密码个数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．120
6.甲 乙 丙 丁 4位同学报名参加学校举办的数学建模 物理探究 英语演讲 劳动
实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况
试卷第 1页，共 6页
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
下，4位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
1 3 2
A 8．18 B． 32 C． 9 D．
9
7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国
空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己 6名航天员开展实验，其中天和核心舱安
排 4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱
内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．20种 B．18种 C．16种 D．14种
8. 甲、乙、丙三个地区分别有 x%、 y%、 z%的人患了流感，且 x、 y、 z构成以
1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为5:3: 2，现从这三个地区中
任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则 x的
可能取值为（ ）
A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.51
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
意要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
2
9.随机变量 X N 30,6 ,Y N 34,2
2 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若P X 27 a，则P 30 X 33 0.5 a
B．随机变量 X的密度曲线比随机变量 Y的密度曲线更“矮胖”
C．P X 34 P Y 34
D．P X 24 P Y 30
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于
1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形
数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
试卷第 2页，共 6页
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
C3 C3 3A． 4 5 C9 210
B．第 2023行中从左往右第 1011个数与第 1012
个数相等
n 1
C．记第 n行的第 i个数为 a 3i 1i ，则 ai 4n
i 1
D．第 20行中第 12个数与第 13个数之比为4 :3
11.甲、乙、丙、丁 4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传
球者都等可能地将球传给另外 3个人中的任何 1人，经过 n次传球后，球在甲手
中的概率为 Pn (n 1,2,...)则下列说法正确的是（ ）
1
A．经过 1次传球后，球在丙手上的概率是 4
2
B．经过 2次传球后，球在乙手上的概率是
9
7
C．经过 3次传球后，球在丙手上的概率是
27
n 1
D．经过 n次传球后， P 1n 1
1
4 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
x 1 x 2 x 3
※12.在 x 4 x 5 4的展开式中，含 x 的项的系数是______.
13.已知 abc表示一个三位数，如果满足a b且b c，那么我们称该三位数为“凸
数”，则没有重复数字的三位“凸数”的个数为________.
14.某同学共投篮 12次，每次投篮命中的概率为 0.8，假设每次投篮相互独立，记
他投篮命中的次数为随机变量 X ，则D 2X _______，该同学投篮最有可能命中
_______次.
（本小题第一空 2分，第二空 3分）
试卷第 3页，共 6页
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 13 ( x 2（ 分）已知 n2 ) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的x
比是 10∶1.
3
（1）求展开式中含 x 2的项； （2）求展开式中系数最大的项．
16.（15分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点 1的位置出发，每
隔 1 s向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为 p(0 p 1)
p 1
※(1)当 2时，求 5 s后质点移动到点 0的位置的概率；
（2）记 3 s后质点的位置对应的数为 X ，若随机变量 X 的期望E(X ) 0，
求 p 的取值范围.
17.（15分）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游
戏规则为：甲箱子里装有 3个红球和 2个黑球，乙箱子里装有 2个红球和 2个黑
球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，且
每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记 2分，摸出一个黑球记 1分，得
分在 5分以上（含 5分）则获奖．
(1)求在 1次游戏中，获奖的概率；
(2)求在 1次游戏中，得分 X 的分布列及均值．
试卷第 4页，共 6页
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一中东校高二下学期第一次质量检测
数学 2024.3.25
18.（17分）为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了 1000名该年龄
段的人作为被调查者，统计了他们的午休
睡眠时间，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求这 1000名被调查者的午休平均睡
眠时间 x； (同一组中数据用该组区间中
点作代表)
（2）由直方图可以认为被调查者的午休
N
睡眠时间Y服从正态分布 ,
2 2，其中 ， 分别取被调查者的平均午休睡眠时
间 x s2和方差 ，那么这 1000名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91分钟(含 43.91)
的人数估计有多少？
（3）如果用这 1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午
休睡眠情况，现从全市所有该年龄段人中随机抽取 2人(午休睡眠时间不高于
43.91分钟)和 3人(午休睡眠时间不低于 73.09分钟)进行访谈后，再从抽取的这 5
人中推荐 3人作为代表进行总结性发言，设推荐出的代表者午休睡眠时间均不高
于 43.91分钟的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
2
附：① s 212.75， 212.75 14.59 .
Y ~ N , 2② ，则P( Y ) 0.6826； P( 2 Y 2 ) 0.9544；
P( 3 Y 3 ) 0.9974 .
试卷第 5页，共 6页
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19（17分）若 ， 是样本空间 上的两个离散型随机变量，则称 ( , )是 上的
二维离散型随机变量或二维随机向量．设 ( , )的一切可能取值为 (ai ,b j )，
i, j 1,2, ，记 pij表示 (ai ,b j )在 中出现的概率，
其中 pij P( ai , bj ) P[( ai ) ( bj )]．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为 1，2，3的三个盒子中，记 1号盒子中
的小球个数为 ，2号盒子中的小球个数为 ，则 ( , )是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量 ( , )的所有可能取值；
②若 (m,n)是①中的值，求P( m, n)（结果用m，n表示）；
(2)P( ai )称为二维离散型随机变量 ( , )关于 的边缘分布律或边际分布律，
求证：P( ai ) pij ．
j 1
试卷第 6页，共 6页
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试卷第 7页，共 1页
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}一中东校高二下学期质量检测 数学 答案
1. B“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有C 25 10
2. D 3A 2023 2023 2023在 (1 x) a0 a1(x 1) a2023 (x 1) 中，令 x= 1，得 a0 2 ，令 x 2，得
1 a0 a1 3 a
2
2 3 a
2023 2 2023
2023 3 ，所以 a 3 a 3 a
2023
1 2 2023 3 1 a0 1 2 .
4．A 由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.6 0.6 0.36，
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为 2 0.6 0.4 0.6 0.288，
而这两种事件是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.36 0.288 0.648 .故选：A
5.A 如果排列时要求两个 8 相邻，两个 2不相邻，两个 8 捆绑看作一个元素与 7，1全排列，
排好后有 4个空位，两个 2 插入其中的 2 个空位中，注意到两个 2，两个 8 均为相同元素，
A3 2那么小明可以设置的不同密码共有 3C4 36 .故选：A．
6.C设 A “甲同学报的活动其他同学不报”， B “4 位同学所报活动各不相同”，由题得
n AB
n A 4 3 3 3,n AB 4 3 2 1 P B A 4 3 2 1 2 ，所以 ∣ n A 4 3 3 3 9 . 故选：C.
7..B 按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的
4 3 2人中选取 3 人，剩下两人去剩下两个舱位，则有C4 A2=4 2=8种可能；②若甲不在天和核心
舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下 5人中选取 4 人进入天和核心舱即可，
C1则有 2 C
4
5=2 5=10种可能；根据分类加法计数原理，共有8 10 18种可能.
8.D设事件D1、D2、D3分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件F1、 F2、 F3分别为“此
人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件G为“此人患了流感”．
P F 5x P F 3y 3x 3 2z 2x 4由题可知， 1 ， 2 ， P F ，1000 1000 1000 3 1000 1000
P DG P F
P G 5x P F1 P F2
10x 7
P F3
1 1
，由条件概率公式可得 P D1 G 1000 P G P G 10x 7，
P D2G P F2 P D G 3x 3 P D G P F 2 ， P D G 3 3 2x 4 P G P G 10x 7 3 P G P G 10x 7 ，
P D1 G P D2 G 5x 3x 3 3
由题意可得 ，即 x
P D1 G P D3 G 5x 2x 4
，解得 ，故选：D.
2
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
9.ABC 随机变量 X N 30,62 ,Y N 34, 22 对于 A，当 P X 27 a时
P 30 X 33 P(27 X 30) P(X 30) P(X 27) 0.5 a，A 正确；对于 B，由于6 2，则
随机变量 X 的密度曲线比随机变量 Y的密度曲线更“矮胖”，B 正确；对于 C，
P X 34 P(X 30) P(30 X 34) P(X 30) 0.5 P Y 34 ，C 正确；对于 D，
P X 24 0.5 P(30 6 X 30),P Y 30 0.5 P(34 2 2 Y 34)，而
P(30 6 X 30) P(34 2 2 Y 34)，因此 P X 24 P Y 30 ，D错误.故选：ABC
10.AB A C3 C3 C3对于 ： 4 5 9 C
4
4 C
3 3 3 4 4 3
4 C5 C9 C4 C5 C5 C
3 4
9 C4
C46 C
4 4 3
9 C4 C9 C9 C
4
4 C
4 4
10 C4 209，A 错误；对于 B：第 2023行中的数为 x 1
2023 3
的
1010 1011
展开式的二项式系数，则从左往右第 1011个数为C ，第 1012个数为C ，C1010 C10112023 2023 2023 2023，B
i 1
错误；对于 C：第n行的第 i个数为 ai Cn ，
n 1 n 1
3i 1a i 1 i 1 0 0 1 1 2 2 n n n n则 i 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 3 4 ，C正确；对于 D：第 20 行中的数
i 1 i 1
为 x 1 20的展开式的二项式系数，则从左往右第 12 个数为C11 1220，第 13个数为C20，
A920
C11 920 C20 9! 20 19 12 8! 12 4则 12 C C8 A8 20 19 13 9! 9 3 ，D 正确.故选：AB.20 20 20
8!
11.
12.15在 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 的展开式
中含 x4的项即从 5个因式中取 4 个 x，1 个常数,
所以含 x4的项为5x4 4x4 3x4 2x4 x4 15x4 .所以展开式中，含 x4的项的系数是 15.
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13．204由题意可知，在 a、b、 c三个数中，b最大，分以下两种情况讨论：
①若 a、b、c中有一个为 0，则最大的数放中间， 0放在个位上，另外一个数放在百位上，此
时，满足条件的没有重复数字的三位“凸数”的个数为C29 36个；②若 a、b、c三个数都不为
零，则最大的数放中间，另外两个数分别放在个位和百位上，此时，满足条件的没有重复数字
的三位“凸数”的个数为C39A
2
2 84 2 168 .综上所述，没有重复数字的三位“凸数”的个数为
36 168 204个.故答案为：204 .
14 ：7.68 10 由二项分布的定义可知， X ~ B 12，0.8 ， E X 12 0.8 9.6，
D 2X 22D X 4 12 0.8 1 0.8 7.68，设该同学投篮最有可能命中m次，则
P(X m) P(X m 1) Cm120.8
m0.212 m Cm 1 m 1 11 m
12
0.8 0.2 47 52
P(X m) P(X m 1) m m 12 m m 1 m 1 13 m ，即
m ，因为m为正整数，
C120.8 0.2 C12 0.8 0.2 5 5
所以m 10
15.解：（1）由题意知，第五项系数为 C ·(－2)4，.......1 分
C 4n 2
4
2 102
第三项的系数为 C ·(－2)2，则 Cn 2 ，........2 分
化简得 n2－5n－24＝0，........3 分解得 n＝8 或 n＝－3(舍去)．........4 分
通项公式 Tr＋1＝C ( )8－r ＝C (－2)rx －2r，.......5 分
3 3
令 －2r＝ ，则 r＝1.故展开式中含 x 2 的项为T2 16x
2 ........7 分
（2）设展开式中的第 r 项，第 r＋1 项，第 r＋2项的系数绝对值分别为 C ·2r－1，C ·2r，
C ·2r＋1，若第 r＋1 项的系数绝对值最大，
C r 1 r－1 r r
8
·2 C8 2
C r 1则 8 ·2
r 1 C r8 2
r
......9 分 解得 5≤r≤6.......11 分
又 T6的系数为负，所以系数最大的项为T7 1792x
-11 .......13 分
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
17.
18.（1）由题意知，第一组至第六组的中间值分别为 35，45，55，65，75，85；
对应的概率值为 0.1，0.2，0.3，0.15，0.15，0.1；
x 35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.15 75 0.15 85 0.1 58.5 .......3 分
所以，这 1000名被调查者的午休平均睡眠时间 x 58.5 .............5 分
（2）因为 y服从正态分布N , 2 N 58.5,14.592 ，.......6 分
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
P( y ) P(43.91 y 73.09) 0.6826，.....7 分
所以P( y 43.91) 1 0.6826 0.1587，..........82 分
所以这 1000 名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91 分钟 (含 43.91)的人数估计有
0.1587 1000 159 (人)...........10 分
C 0 C 3 1 C1 C 2 3
（3） X 的可能值为 0，1，2，..........11 分 P(X 0) 2 3 ， P(X 1) 2 3C 3
5 10 C
3 ，
5 5
2 1
P(X C C 3 2) 2 3
C 3
10，故 X 的分布列为5
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
.............16分所以， E(X ) 0
1 3 3 6
1 2 ..........17 分
10 5 10 5
19.（1）①该二维离散型随机变量 ( , )的所有可能取值为：
(0,0), (0,1), (0, 2), (0,3), (1,0), (1,1), (1, 2), (2,0), (2,1), (3,0) ............4 分
②依题意，0 m n 3， P( m, n) P( m | n) P( n)，...........6 分
显然P( n)
1 2
Cn ( )n3 ( )
3 n
，...........7 分
3 3
则 P( m |
1 1 1
n) Cm ( )m ( )3 n m Cm ( )3 n3 n ，...........9 分2 2 3 n 2
P( m, n) 1 1 2 1 2所以 Cm ( )3 n Cn ( )n ( )3 n Cn m3 n 3 C 2 3 3 27
3 3 n 9 m !n !(3 m n )!............11 分
（2）由定义及全概率公式知，
P( ai ) P{( ai ) [( b1) ( b2 ) ( b j ) ]} ...........13分
P{[( ai ) ( b1)] [( ai ) ( b2 )] [( ai ) ( b j )] }
P[( ai ) ( b1)] P[( ai ) ( b2 )] P[( ai ) ( b j )] ...........15 分
P[( ai ) ( bj )] P( ai , bj) pij ............17 分
j 1 j 1 j 1
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
{#{QQABTQgAggggAJAAARgCQQVACgEQkBAACAoGgEAMsAAACBFABAA=}#}
