普集高中 2023—2024学年度第二学期高二年级第 1 次月考（数学）参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．BC 10．BCD 11．ACD 12．AC
三、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在题中的横线上)
13． 6 ；14． 3 ； 15． 16 ； 16． 1 ln 2 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
f 2 0 4 4a 0
2 a 1
【解析】（1）因为 f x x 2ax，则 2 8 2 ，即 a 1,b 2，
f 2 4a b b 2 3 3 3
当 a 1,b 2时， f (x) x 2 2x ，0 x 2时， f (x) 0，
2 x 时， f (x) 0，故 f (x)在 x 2处取到极小值，所以 a 1,b 2满足题意．
1
2 1 3 2
4
（ ）由（ ）知， f x x x 2, f x x 2x ，则 f 1 , f 1 1，
3 3
故切线方程为： y f 1 x 1 f 1 x 1 4 ，即3x 3y 7 0 ．
3
18．(本小题满分 12分)
a 1 3 3x 2 2ax 1
【解析】（1）函数的定义域为： 0, ，且 f x
x 2x 2 2 2x 2
1 1
因为函数 y f (x)的单调增区间是 ( ,1)，所以 3x2 2ax 1 0的解集是 ,1 ．3 3
1 1 2a
所以方程 3x2 2ax 1 0的解是 ，1，所以 1 a 2．3 3 3
（2）当 a 2时，令 f (x) 0
1
，则 x 或 x 1
3
当 x 变化时， f x ， f x 的变化情况如下表：
1
x (0,
1) (1 ,1) 1 (1, )
3 3 3
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
第 1 页 共 3 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
x 1
1
当 时， f (x)有极小值 f
2 ln
1 3 1
1 2 2ln3；
3 3 3 2 2
当 x
1 3
1时， f (x)有极大值 f 1 2 ln1 1 0．
2 2
19．(本小题满分 12分)
【解析】（1）当 a 1时， f (x) ln x x ，其定义域为 (0, )，
f (x) 1 1 1 x 1 x ．令 f (x) 0，则 x 1．
x x x
当0 x 1时， f (x) 0， f (x)单调递增；当 x 1时， f (x) 0， f (x)单调递减，
函数 f (x)的极大值为 f (1) 1，无极小值．
（2） f (x) ln x ax ， f (x)
1
a 1 ax ，
x x
当 a 0时， f (x) 0， f (x)在 (0, )上单调递增；
1
当 a 0时，由 f (x) 0，得 x ，
a
1 1
若0 x ，则 f (x) 0 ,若 x ，则 f (x) 0， f (x)单调递减，
a a
1 1
当 a 0时， f (x) 的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , ，
a a
综上，当 a 0时，函数 f (x)的单调递增区间为 (0, )；
当 a 0 时，函数 f (x)的单调递增区间为 0,
1 1
，单调递减区间为 ,
．
a a
20．(本小题满分 12分)
3 2
【解析】（1）由题意可知， f x 的定义域为 , ，因为 f x x 3x 8，
2
所以 f x 3x 6x 3x x 2 .令 f x 0，即3x x 2 0，解得 x 0或 x 2 .
当 x 0或 x 2时， f x 0；所以 f x 的单调递增区间为 ,0 和 2, ．
（2）由（1）知，当0 x 2时， f x 0， f x 单调递减；
当 x 2,3 时，函数 f x 在 2,0 和 2,3 上单调递增，在 0,2 上单调递减.
当 x 0时，函数 f x 取得极大值为 f 0 03 3 02 8 8；
3 2
当 x 2时，函数 f x 取得极小值为 f 2 2 3 2 8 4 .
又由于 f 2 2 3 3 2 2 8 12， f 3 33 3 32 8 8．
所以函数 f x 在 2,3 上的最大值为8，最小值为 12．
第 2 页 共 3 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
21．(本小题满分 12分)
a x a
【解析】（1）∵ f x a ln x x 3，∴ f x 1 ,
x x
∴当 a 1时， f (1) = -2， f 1 2 ,∴ y 2 2 x 1 ,∴所求切线方程为 2x y 4 0．
x a
（2）由（1）知， f x ， x 0．
x
当 a 0时， f x 0， f x 在 0, 上单调递增，此时无最小值；当 a 0时，令 f x 0，得 x a，
当 x 0, a 时， f x 0；当 x a, 时， f x 0 ,
∴ f x 在 0, a 上单调递减，在 a, 上单调递增，
∴ f x 的最小值为 f a a ln a a 3 2 1，则 ln a 1 0 ．令 g x 1 x 1 ln x 1，则 g x
a x x2
，
∴当 x 0,1 时， g x 0；当 x 1, 时， g x 0．
∴ g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
∵ g 1 0，∴ g x 0有一个根 x 1，∴ a 1，即 a 1．
22．(本小题满分 12分)
2 x 1 x 1
【解析】（1）由题意可知： f x 的定义域为 0, ， f x 2x 2 ，
x x
令 f x 0，解得 0 x 1；令 f x 0，解得 x 1；
所以 f x 的单调递减区间是 0,1 ，单调递增区间是 1, ．
（2）由题意可知： g x f x x2 ax ax 2lnx，其定义域为 0, ，
则 g x 有两个零点 x1, x2，即 g x 0 a lnx lnx有两解，即 有两解，令 x x 0 ，则2 x x
x 1 lnx x 0 .令 x 02 ，解得0 x e；令 x 0，解得 x e；x
则 x 的单调递减区间是 e, ，单调递增区间是 0,e ，
可知 x e lne 1 a lnx ，又因为 1 0，且当 x 趋近于 ， x 趋近于 0，要使得 有两解，
e e 2 x
0 a 1只需
2
，所以 0 a ，
2 e e
0, 2 故实数 a 的取值范围为 ．
e
第 3 页 共 3 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}普集高中 2023—2024学年度第二学期高 二 年级第 1 次月考
（数学）试题（卷）
第一卷 选择题（共 48分）总 分 值： 150分试题范围：
第五章 一元函数的导数及其应用 考试时间： 120分钟
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
f (x) f 1 x f 11 x 1 ．设函数 在 处存在导数为 2，则 lim ( )
x 0 x
A 2．1 B． 2 C． 3 D．6
2．曲线 y lnx x2在点 1,1 处的切线方程是( )
A．3x y 2 0 B．3x y 2 0 C． 2x y 1 0 D．2x 3y 1 0
3 2．某物体的运动路程 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系可用函数 s t t t 1表示，则该
物体在 t 1s时的瞬时速度为( )
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
1
4．函数 f x x2 ln x的单调递减区间为( )
2
A． 1,1 B． 0,1 C． 1, D． 0,
5．若函数 f x ax3 3x2 b在 x 2处取得极值 1，则 a b ( )
A．-4 B．-3 C．-2 D．2
4ln x
6．函数 f x 图像是( )
x
A． B．
C． D．
第 1 页 共 4 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
班级： 考场： 考号： 姓名： 座位：
7．若 x 2是函数 f (x) (x 2 ax 1)e x 1`的极值点，则 f (x)的极小值为( )
A． 1
3 3
B． 2e C．5e D．1
8．设 a 0，若 x a为函数 f x a x a 2 x b 的极大值点，则( )
A．a b B． a b C． ab a2 D． ab a2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列求导正确的是( )
A． ln10 1 B 1 1． 2
10 x
2x
x x 2
C． xex x 1 ex D． cos3x sin 3x
10．已知函数 y f x ，其导函数 y f ' x 的图象如图所示，则 y f x ( )
A．在 ( , 0)上为减函数
B．在 x 0处取极大值
C．在 1,2 上为减函数
D．在 x 2处取极小值
2
11．已知函数 f x x 3ln x，记 f x 的极小值点为 x1，极大值点为 x2，则( )x
A． x1 x2 3 B． x1 x2 C． f x1 f x2 3ln 2 D． f x1 f x2
12．函数 f x x x ，则下列说法正确的是( )e
A．1是 f x 的一个极值点 B． f x 在 x 1处有最小值
1
C．当 0 a 时，方程 f x a 1有两异根 D．当 a 时，方程 f x a有两异根
e e
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13 3 2．己知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x x f 1 x 2，则 f (2) ．
14．在平面直角坐标系 xOy b中，若曲线 y ax 2 (a，b为常数)过点 P(2, 5)，且该曲线在
x
点 P处的切线与直线 7x 2y 3 0平行，则 a b的值是 ．
15 x 2 3 2．当 时，函数 f x x bx 12x取得极值，则 f x 在区间 4,4 上的最大值为 ．
16．若函数 f x 2ax x 2 lnx是 0, 上的减函数，则实数 a的最大值为 ．
第 2 页 共 4 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．第 17题 10分，其他每题 12分，解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
1 3 2
已知函数 f x x ax b,a,b R, f x 2在 x 2处取到极小值
3 3
．
（1）求 a,b的值；
（2）求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程．
18．(本小题满分 12分)
设 f (x) a ln x
1 3
x 1 1，函数 y f (x)的单调增区间是 ( ,1)．
2x 2 3
（1）求实数 a；
（2）求函数 f (x)的极值．
19．(本小题满分 12分)
已知函数 f (x) ln x ax(a R) .
（1）若 a 1，求函数 f (x)的极值；
（2）求函数 f (x)的单调区间．
第 3 页 共 4 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
20．(本小题满分 12分)
3 2
已知函数 f x x 3x 8．
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
（2）当 x 2,3 时，求函数 f x 的最大值和最小值．
21．(本小题满分 12分)
已知函数 f x a ln x x 3．
（1）若 a 1，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若 f x 的最小值为 2，求 a的值．
22．(本小题满分 12分)
2
已知函数 f x x 2lnx．
（1）求 f x 的单调区间；
2
（2）令 g x f x x ax（a为常数），若 g x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ，求实数 a的取值范
围．
第 4 页 共 4 页
{#{QQABLQKAoggAAIJAARgCUQEyCAAQkBEAAKoGBFAMsAAAyBFABAA=}#}
