河南省洛阳市洛阳强基联盟2023-2024学年高一下学期3月联考数学试题（含含解析）

洛阳强基联盟2023-2024学年高一下学期3月联考 数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章～第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为1的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A．2 B． C． D．1
4．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列区间为函数的一个增区间的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的虚部与实部相等 C． D．存在复数，使
7．在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A． B．6 C． D．4
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在中，角的对边分别为，已知的周长为，则（ ）
A．若，则是等边三角形
B．存在非等边满足
C．内部可以放入的最大圆的半径为
D．可以完全覆盖的最小圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数满足，则______．
13．如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为______；古塔的塔高为______m．
14．若为的外心，且，则的内角等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知为第四象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分15分）
已知向量．
（1）当为何值时，与垂直？
（2）当为何值时，与平行？
17．（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为，已知．
（1）求和的值；
（2）求的面积．
18．（本小题满分17分）
如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设．
（1）若长为长为，求的长；
（2）若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由．
19．（本小题满分17分）
在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
洛阳强基联盟高一3月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 零向量与任一向量平行，故A正确；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；模为1的向量为单位向量，故C正确；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．故选B．
2．D 因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D．
3．D 由余弦定理得，整理得，解得（负值舍去）．故选D．
4．C 由，得，所以在上的投影向量为．故选C．
5．A 逐个检验，易得A正确．故选A．
6．D 由，得的实部为，虚部为，当时，．故选D．
7．A 由正弦定理得，即，，，，，，，，
，所以．故选A．
8．B 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，，，，，，．因为，所以解得所以．故选B．
9．BCD A中向量与共线，不能作为基底，B，C，D中不共线，所以都可作为一组基底．故选BCD．
10．AB 对于A，，故，正确；对于B，，，故或（舍），正确；对于，若，则，故或，不正确；对于D，，即为纯虚数，故，不正确．故选．
11． 因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得．
对于，因为，所以，即，则，所以为等边三角形，故A正确；对于，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B错误；
对于，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积的内切圆半径为，所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确；
对于D，设外接圆的半径为，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确．故选ACD．
12．1 法一：由，得，所以．
法二：由，得，所以．
13． 由题意知，，在中，，由正弦定理得，即，延长与交于点，则，在中，，所以该座小山的海拔为．在中，易知，在中，，所以，故古塔的塔高为．
14． 因为求角，故选为起点整理，得，于是．由向量加法的平行四边形法则知，四边形为平行四边形．又因为为外心，故，从而四边形为菱形，且．
15．解：（1），解得，
，又，且为第四象限角，
解得．
（2）原式
．
16．解：（1）因为，
，
，
若可得，
即，得，
即时，与垂直．
（2）当时，有，
解得，
即时，与平行．
17．解：（1）在中，由，可得．
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
因为，故解得．
所以．
（2）由（1）知，，
所以的面积．
18．解：（1）是的中点，
，
．
（2）三点不共线，
理由如下：
由（1）知，，
，
．
易知与不平行，
三点不共线．
19．解：（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是．
法二：（数形结合）
过点作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形．
为锐角三角形，
点在线段上（不含端点）．
在中，，易得，
，周长为；
在中，，易得，周长为，
所以周长的范围是．