2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第1章 二元一次方程组 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列方程属于二元一次方程的是 （ ）
A． B．3-2xy=1 C． D．3-2x=1
【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、，分母中含有未知数，不是整式方程，A不符合题意；
B、3-2xy=1，含有未知数的项的次数是2，不符合二元一次方程的定义；B不符合题意；
C、，符合二元一次方程的定义；C符合题意；
D、3-2x=1，只有一个未知数，不符合二元一次方程的定义；D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据含有两个未知数，所有未知项的次数都是一次的整式方程是二元一次方程逐项分析即可得出答案.
2．方程组 的解为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：3x＝3
解得x＝1
将x＝1代入①可解得：y＝2
∴原方程组的解为：
故答案为：A.
【分析】先将和两式相加可求出x的值，再将x的值代入①可求出y的值，从而即可得出方程组的解.
3．（2023七下·云梦期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意设：有x人，y辆车，
∵每辆车坐三人，空两辆车，
∴，
∵每辆车坐两人，有九人步行，
∴，
∴可列方程组：，
故答案为：B.
【分析】根据题意若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，可以列出关于x，y的二元一次方程组，然后即可得出答案.
4．（2023七下·南关月考） 由方程组，可得x与y的关系是（ ）
A．2x+y=4 B．2x+y=-4 C．2x-y=4 D．2x-y=-4
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 方程组，
把②代入①得：2x+y-3=1，
∴2x+y=4.
故答案为：A.
【分析】把②代入①中消去m即可求解.
5．（2020七下·余姚月考）若 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A.x=2，y=﹣1不是方程x+3y=5的解，故该选项错误；
B.x=2，y=﹣1适合方程组中的每一个方程，故该选项正确.
C.x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误；
D.x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误.
故答案为：B.
【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解.
6．已知 是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．-3 D．-1
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】把x、y的值代入方程即可求出a的值．
【解答】把代入，得
2+a=3，
解得a=1．
故选A．
【点评】本题主要用到了代入法．
7．若方程组的解为则方程组 的解为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把方程组变形为，
把看作整体，
∵方程组的解为，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】把方程组变形为，然后把看作整体， 根据题意即可得到，解此方程组即可求解.
8．为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得到 70分，则小红答对的题的个数为 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，
∴
∴小红答对的题的个数为15个，
故答案为：B.
【分析】设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，根据总共有20道题，得到一个数量关系为再根据"每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，且小红一共得到70分"，据此得到第二个数量关系为将两个方程联立得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
9．分别用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，
∴
∵x和y均为整数，则m为5的倍数，
故答案为：D.
【分析】根据图2知，做一个竖式纸盒需要正方形纸板1个，长方形纸板4个；做一个横式纸盒需要正方形纸板2个，长方形纸板3个，设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题干列出方程，即可求解.
10．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=6代入2x+y=16，得y=4，
∴x+y=10.
故答案为：A.
【分析】把把x=6代入2x+y=16，得y=4，再把x、y的值代入x+y即可.
二、填空题
11．写出一个以为解的二元一次方程组，可以是
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一， 以为解的二元一次方程组，可以是.
故答案为：.
【分析】以 为解写出两个二元一次方程，再联立两个方程即可得到一个适合题意的方程组.
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10°，则列出关于x，y的方程组是
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】由∠1与∠2互为邻补角可列出方程x+y=180，根据 ∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10° 可列出方程x=2y+10，联立两方程即可.
13．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 ”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买七个苦果，十一文钱可以买九个甜果.问：苦、甜果各有几个 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ：
故答案为：.
【分析】由甜果和苦果数量共一千；买一千个甜果和苦果共花费999文钱，可以找到两个相等关系，设未知数列出方程组即可.
14．在长为12m、宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃(如图)，则小长方形花圃的长为 m.
【答案】5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，依题意得：
解得：
故答案为：5.
【分析】如果把下面的两个小长方形向上平移到最上面的话可以得到：两个小长方形的长和一个小长方形的宽的和等于12；如果把下面的两个小长方形向左平移到最左边的话可以得到：两个小长方形的宽和一个小长方形的长的和等于9。设未知数，列方程组即可解决此问题.
15．如图，已知前两架天平两端保持平衡.要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放 个圆形物品.
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○=a， =b， □=c，
由题意可得：
整理得：
①×4+②×3得：c=a，
∴2a=3a，
∴天平右边托盘上放3个圆形物品.
故答案为：3.
【分析】把三个不同形状的物品分别用a、b、c三个不同的字母表示，然后根据题中给出的图形找到它们之间的等量关系。最后用含圆形物品的字母表示方形物品的字母求出解即可.
16．已知关于x，y的方程组有以下结论：
①当k=0时，方程组的解为②方程组的解可表示为 ③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变.
其中正确的是 （填序号）.
【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，原方程组可整理得：，
解得：；①正确；
②解方程组，得：
；②正确；
③由②知，方程组的解为：；
∴x+3y=3k-2+3（1-k）=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，③正确；
故答案为：①②③.
【分析】根据代入消元法求出二元一次一次方程组的解，逐项分析即可得出答案.
三、计算题
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解：①+②得，x=3，
把x=3代入①得：y=1.
∴原方程组的解为
（2）解：
解：由②得：3x-4y=-2。③
①+③，得：x=3
把x=3代入①得：y=.
∴原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察、分析，①+②得x=3，把x=3代入①求出y的值，进而求出方程组的解.（2）把方程组②变形得：3x-4y=-2，③，然后①+③求出x的值，把x的值代入①求出y的值，进而求出方程组的解.
18．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解：由①得：x=y+2，③
把③代入②得：y=1，
把y=1代入③得：x=3.
∴方程组的解是
（2）解：
把方程②变形为：24x+25y=14，③
由①③组方程组得：
①×3-③，得y=2，
把y=2代入①，得x=-，
∴方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察分析发现代入法比较简便，于是把方程①变形为x=y+2③。然后把③代入①即可求出y的值，再把y的值代入③求出x的值，即求出方程组的解.
（2）通过观察、分析，发现此题变形后用加减法比较简便，于是把方程②变形为24x+25y=14，③。然后由①、③组方程组，①×3-③，得y=2，再把y的值代入①求出x的值，即求出方程组的解.
四、解答题
19．已知是二元一次方程组的解.求：
（1）a，b的值.
（2）方程组的解.
【答案】（1）解：∵是二元一次方程组的解，
∴把代入得：
（2）解：∵
∴
解得：
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把代入即可求出a、b的值.
（2）由方程组可以知道，解出方程组求出x、y的值即可.
20．某商店将甲、乙、丙三种糖果混合制成什锦糖，并以糖的平均价格(三种糖果的总价除以它们的质量和)作为什锦糖的单价.若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元.
（1）求甲、乙两种糖果的单价.
（2）设丙种糖果的单价为15元/千克，且甲、乙、丙三种糖果的质量之比为1：2：a，若什锦糖的单价为20元/千克，求a的值.
【答案】（1）解：设甲、乙两种糖果的单价分别为x元/千克、y元/千克，依题意列方程组得：
解得：
答：甲、乙两种糖果的单价分别为25元/千克、20元/千克.
（2）解：设甲、乙、丙三种糖果分别购买了m千克，2m千克，am千克，依题意得：
25m+20×2m+15am=20×（m+2m+am），
解得：a=1.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元.分别设未知数，列方程组，解出即可.
（2）由甲、乙、丙三种糖果的质量之比为1：2：a ，可分别设甲、乙、丙三种糖果分别购买了m千克，2m千克，am千克。再由什锦糖的平均价格=三种糖果的总价出÷它们的质量和，以及已知甲、乙、丙三种糖果的单价和什锦糖的单价可列方程，解出即可.
21．如图，在大长方形 ABCD中，放入6个相同的小长方形，已知BC=11，DE=7.
（1）设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值.
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设每个小长方形的长为x，宽为y，
由题意和图形可得，，
解得：
（2）解：图中阴影部分的面积为：.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设每个小长方形的长为x，宽为y，根据图形和，列出二元一次方程组，解此方程组即可求解；
（2）根据割补法求面积，则图中阴影部分的面积等于大长方形面积减去6个小长方形面积，据此即可求解.
五、实践探究题
22．（2023七下·西青期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解思路，你可以依照这个思路接下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
某茶叶店经销A，B两种茶，第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元，求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
解题方案：设第一次购进的A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元．
（1）根据题章，列出方程组；
（2）解这个方程组，得．
答：第一次购进的A种茶每盒的价格为 元，B种茶每盒的价格为 元．
【答案】（1）解：
（2）100；200
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：整理方程组，得：
①×3，得：9x+6y=2100 ③
②×2，得：8x+6y=2000 ④
③-④，得：x=100
把x=100代入①，得：y=200
则方程组的解是
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和解方程组。根据题目两种购买方式，列出关于A、B两种茶叶单价的方程组，求解即可。
23．（2023七下·镇海区期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
素材一：为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：型消费券满减元张，型消费券满减元张，型消费券满减元张．
素材二：在此次活动中，小明一家人每人都领到了所有的消费券某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了元，请完成以下任务．
如何合理搭配消费券？
（1）任务一：若小明一家用了张型消费券，张型的消费券，则用了 张型的消费券，此时的实际消费最少为 元
（2）任务二：若小明一家用张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多张，求、、型的消费券各多少张？
（3）任务三：若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【答案】（1）4；621
（2）解：设型的消费券张，型的消费券张，则型的消费券张，
由题意可得，解得．
型的消费券张．
答：型的消费券张，型的消费券张，则型的消费券张．
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
、型：，
．
，都是正整数，，，，
无解．
、型：，
．
，，都是正整数，，，
．
付款为元．
、型：，
．
，，都是正整数，，、，
或．
付款为：元或元．
综上所述，付款最少得方案为：使用张型券，张型券．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）用C型的消费券数量为：（390-5×15-3×25）÷60=4（张），
实际消费最少为（35-15）×5+（68-25）×3+（158-60）×4=621（元），故答案为：4：621；
【分析】（1）根据消费券的规则和消费金额减了390元计算得出用C型的消费券数量；实际消费最少为正好满减计算得出；
（2）根据题意列二元一次方程组计算解答；
（3）因为仅用两种不同类型的消费券消费，所以分三种情况讨论求出正整数解即可．
24．（2023七下·南宁期末）【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程组时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
解：①＋②，， 即③ ①－②， 即 联立③和④，得 解得 所以原方程组的解为
（1）由二元一次方程组，可得 ； ．
（2）解方程组
（3）【拓展提升】
对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，例如：．
已知，则 ．
【答案】（1）2；
（2），
①－②，得，
即，
，得，
把代入③，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（3）3
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） ，
由①+②得：
5x+5y=10，
解之：x+y=5；
由②-①得：
x-y=-2.
故答案为：2，-2.
（3）由题意得
∵，
∴
由①×2-②得
a+b+c=3，
∴1*1=a+b+c=3.
故答案为：3.
【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差1，由此由（①+②）÷5可求出x+y的值；由②-①可求出x-y的值.
（2）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差2，由此由（①-②）÷2可求出x+y的值；由①-③×2024消去x可求出y的值，再求出x的值，可得到方程组的解.
（3）利用定义新运算可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a+b+c的值，利用等于新运算可求出1*1的值.
六、综合题
25．阅读以下内容，并回答问题：
用代入法解方程组有以下步骤：
解：由①，得.③ 第一步
把③代入①，得 第二步
整理得3=3. 第三步
∴x可取一切实数，原方程组有无数个解. 第四步
（1）以上解法中，出现错误的是第 步.
（2）用加减法解这个方程组.
【答案】（1）二
（2）解：
①-②得：
∴
把代入②得到：
∴原方程组解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法，
可知应将③代入②，
∴出现错误的为第二步，
故答案为：二.
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤逐步判断即可；
（2）利用加减消元法①-②得：据此求出x的值，进而即可求解.
26．（2023七下·红桥期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格-进货价格）
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决）
（2）商场推出两种优惠套餐供顾客选择：
套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售；
套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售．
现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
【答案】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得 ，
解得 ，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，
若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；
若学校选套餐二购买计算器，则需支付元；
①若选择套餐一购买更划算，则
，
解得， ，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；
③若两种套餐一样划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B型号的计算器的销售价格分别是a元和b元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设学校购买A型号计算器x台，则购买B种型号计算器（420-x）台，根据题意表示出两种套餐的总价，分①选择套餐一购买更划算 ，②选择套餐二购买更划算 ，③两种套餐一样划算三种情况分别列出不等式和方程即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第1章 二元一次方程组 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列方程属于二元一次方程的是 （ ）
A． B．3-2xy=1 C． D．3-2x=1
2．方程组 的解为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·云梦期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·南关月考） 由方程组，可得x与y的关系是（ ）
A．2x+y=4 B．2x+y=-4 C．2x-y=4 D．2x-y=-4
5．（2020七下·余姚月考）若 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．-3 D．-1
7．若方程组的解为则方程组 的解为 （ ）
A． B． C． D．
8．为了增强学生的安全防范意识，某校举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得到 70分，则小红答对的题的个数为 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．分别用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别为（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
二、填空题
11．写出一个以为解的二元一次方程组，可以是
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10°，则列出关于x，y的方程组是
13．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 ”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买七个苦果，十一文钱可以买九个甜果.问：苦、甜果各有几个 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 .
14．在长为12m、宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃(如图)，则小长方形花圃的长为 m.
15．如图，已知前两架天平两端保持平衡.要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放 个圆形物品.
16．已知关于x，y的方程组有以下结论：
①当k=0时，方程组的解为②方程组的解可表示为 ③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变.
其中正确的是 （填序号）.
三、计算题
17．解下列方程组：
（1）
（2）
18．解下列方程组：
（1）
（2）
四、解答题
19．已知是二元一次方程组的解.求：
（1）a，b的值.
（2）方程组的解.
20．某商店将甲、乙、丙三种糖果混合制成什锦糖，并以糖的平均价格(三种糖果的总价除以它们的质量和)作为什锦糖的单价.若购买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元.
（1）求甲、乙两种糖果的单价.
（2）设丙种糖果的单价为15元/千克，且甲、乙、丙三种糖果的质量之比为1：2：a，若什锦糖的单价为20元/千克，求a的值.
21．如图，在大长方形 ABCD中，放入6个相同的小长方形，已知BC=11，DE=7.
（1）设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值.
（2）求图中阴影部分的面积.
五、实践探究题
22．（2023七下·西青期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解思路，你可以依照这个思路接下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
某茶叶店经销A，B两种茶，第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元，求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
解题方案：设第一次购进的A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元．
（1）根据题章，列出方程组；
（2）解这个方程组，得．
答：第一次购进的A种茶每盒的价格为 元，B种茶每盒的价格为 元．
23．（2023七下·镇海区期末）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
素材一：为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：型消费券满减元张，型消费券满减元张，型消费券满减元张．
素材二：在此次活动中，小明一家人每人都领到了所有的消费券某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了元，请完成以下任务．
如何合理搭配消费券？
（1）任务一：若小明一家用了张型消费券，张型的消费券，则用了 张型的消费券，此时的实际消费最少为 元
（2）任务二：若小明一家用张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多张，求、、型的消费券各多少张？
（3）任务三：若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案．
24．（2023七下·南宁期末）【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程组时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．
解：①＋②，， 即③ ①－②， 即 联立③和④，得 解得 所以原方程组的解为
（1）由二元一次方程组，可得 ； ．
（2）解方程组
（3）【拓展提升】
对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，例如：．
已知，则 ．
六、综合题
25．阅读以下内容，并回答问题：
用代入法解方程组有以下步骤：
解：由①，得.③ 第一步
把③代入①，得 第二步
整理得3=3. 第三步
∴x可取一切实数，原方程组有无数个解. 第四步
（1）以上解法中，出现错误的是第 步.
（2）用加减法解这个方程组.
26．（2023七下·红桥期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格-进货价格）
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决）
（2）商场推出两种优惠套餐供顾客选择：
套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售；
套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售．
现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、，分母中含有未知数，不是整式方程，A不符合题意；
B、3-2xy=1，含有未知数的项的次数是2，不符合二元一次方程的定义；B不符合题意；
C、，符合二元一次方程的定义；C符合题意；
D、3-2x=1，只有一个未知数，不符合二元一次方程的定义；D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据含有两个未知数，所有未知项的次数都是一次的整式方程是二元一次方程逐项分析即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：3x＝3
解得x＝1
将x＝1代入①可解得：y＝2
∴原方程组的解为：
故答案为：A.
【分析】先将和两式相加可求出x的值，再将x的值代入①可求出y的值，从而即可得出方程组的解.
3．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意设：有x人，y辆车，
∵每辆车坐三人，空两辆车，
∴，
∵每辆车坐两人，有九人步行，
∴，
∴可列方程组：，
故答案为：B.
【分析】根据题意若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，可以列出关于x，y的二元一次方程组，然后即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 方程组，
把②代入①得：2x+y-3=1，
∴2x+y=4.
故答案为：A.
【分析】把②代入①中消去m即可求解.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】A.x=2，y=﹣1不是方程x+3y=5的解，故该选项错误；
B.x=2，y=﹣1适合方程组中的每一个方程，故该选项正确.
C.x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误；
D.x=2，y=﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误.
故答案为：B.
【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】把x、y的值代入方程即可求出a的值．
【解答】把代入，得
2+a=3，
解得a=1．
故选A．
【点评】本题主要用到了代入法．
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把方程组变形为，
把看作整体，
∵方程组的解为，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】把方程组变形为，然后把看作整体， 根据题意即可得到，解此方程组即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，
∴
∴小红答对的题的个数为15个，
故答案为：B.
【分析】设小红答对的题的个数为x个，答错或不答的个数为y个，根据总共有20道题，得到一个数量关系为再根据"每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，且小红一共得到70分"，据此得到第二个数量关系为将两个方程联立得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，
∴
∵x和y均为整数，则m为5的倍数，
故答案为：D.
【分析】根据图2知，做一个竖式纸盒需要正方形纸板1个，长方形纸板4个；做一个横式纸盒需要正方形纸板2个，长方形纸板3个，设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题干列出方程，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=6代入2x+y=16，得y=4，
∴x+y=10.
故答案为：A.
【分析】把把x=6代入2x+y=16，得y=4，再把x、y的值代入x+y即可.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一， 以为解的二元一次方程组，可以是.
故答案为：.
【分析】以 为解写出两个二元一次方程，再联立两个方程即可得到一个适合题意的方程组.
12．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：.
【分析】由∠1与∠2互为邻补角可列出方程x+y=180，根据 ∠1的度数x°比∠2的度数y°的2倍多10° 可列出方程x=2y+10，联立两方程即可.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ：
故答案为：.
【分析】由甜果和苦果数量共一千；买一千个甜果和苦果共花费999文钱，可以找到两个相等关系，设未知数列出方程组即可.
14．【答案】5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，依题意得：
解得：
故答案为：5.
【分析】如果把下面的两个小长方形向上平移到最上面的话可以得到：两个小长方形的长和一个小长方形的宽的和等于12；如果把下面的两个小长方形向左平移到最左边的话可以得到：两个小长方形的宽和一个小长方形的长的和等于9。设未知数，列方程组即可解决此问题.
15．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设○=a， =b， □=c，
由题意可得：
整理得：
①×4+②×3得：c=a，
∴2a=3a，
∴天平右边托盘上放3个圆形物品.
故答案为：3.
【分析】把三个不同形状的物品分别用a、b、c三个不同的字母表示，然后根据题中给出的图形找到它们之间的等量关系。最后用含圆形物品的字母表示方形物品的字母求出解即可.
16．【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当k=0时，原方程组可整理得：，
解得：；①正确；
②解方程组，得：
；②正确；
③由②知，方程组的解为：；
∴x+3y=3k-2+3（1-k）=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，③正确；
故答案为：①②③.
【分析】根据代入消元法求出二元一次一次方程组的解，逐项分析即可得出答案.
17．【答案】（1）解：
解：①+②得，x=3，
把x=3代入①得：y=1.
∴原方程组的解为
（2）解：
解：由②得：3x-4y=-2。③
①+③，得：x=3
把x=3代入①得：y=.
∴原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察、分析，①+②得x=3，把x=3代入①求出y的值，进而求出方程组的解.（2）把方程组②变形得：3x-4y=-2，③，然后①+③求出x的值，把x的值代入①求出y的值，进而求出方程组的解.
18．【答案】（1）解：
解：由①得：x=y+2，③
把③代入②得：y=1，
把y=1代入③得：x=3.
∴方程组的解是
（2）解：
把方程②变形为：24x+25y=14，③
由①③组方程组得：
①×3-③，得y=2，
把y=2代入①，得x=-，
∴方程组的解是
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察分析发现代入法比较简便，于是把方程①变形为x=y+2③。然后把③代入①即可求出y的值，再把y的值代入③求出x的值，即求出方程组的解.
（2）通过观察、分析，发现此题变形后用加减法比较简便，于是把方程②变形为24x+25y=14，③。然后由①、③组方程组，①×3-③，得y=2，再把y的值代入①求出x的值，即求出方程组的解.
19．【答案】（1）解：∵是二元一次方程组的解，
∴把代入得：
（2）解：∵
∴
解得：
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把代入即可求出a、b的值.
（2）由方程组可以知道，解出方程组求出x、y的值即可.
20．【答案】（1）解：设甲、乙两种糖果的单价分别为x元/千克、y元/千克，依题意列方程组得：
解得：
答：甲、乙两种糖果的单价分别为25元/千克、20元/千克.
（2）解：设甲、乙、丙三种糖果分别购买了m千克，2m千克，am千克，依题意得：
25m+20×2m+15am=20×（m+2m+am），
解得：a=1.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由买10千克甲种糖果和20千克乙种糖果共需费用650元，购买20千克甲种糖果和10千克乙种糖果共需费用700元.分别设未知数，列方程组，解出即可.
（2）由甲、乙、丙三种糖果的质量之比为1：2：a ，可分别设甲、乙、丙三种糖果分别购买了m千克，2m千克，am千克。再由什锦糖的平均价格=三种糖果的总价出÷它们的质量和，以及已知甲、乙、丙三种糖果的单价和什锦糖的单价可列方程，解出即可.
21．【答案】（1）解：设每个小长方形的长为x，宽为y，
由题意和图形可得，，
解得：
（2）解：图中阴影部分的面积为：.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设每个小长方形的长为x，宽为y，根据图形和，列出二元一次方程组，解此方程组即可求解；
（2）根据割补法求面积，则图中阴影部分的面积等于大长方形面积减去6个小长方形面积，据此即可求解.
22．【答案】（1）解：
（2）100；200
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：整理方程组，得：
①×3，得：9x+6y=2100 ③
②×2，得：8x+6y=2000 ④
③-④，得：x=100
把x=100代入①，得：y=200
则方程组的解是
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和解方程组。根据题目两种购买方式，列出关于A、B两种茶叶单价的方程组，求解即可。
23．【答案】（1）4；621
（2）解：设型的消费券张，型的消费券张，则型的消费券张，
由题意可得，解得．
型的消费券张．
答：型的消费券张，型的消费券张，则型的消费券张．
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
、型：，
．
，都是正整数，，，，
无解．
、型：，
．
，，都是正整数，，，
．
付款为元．
、型：，
．
，，都是正整数，，、，
或．
付款为：元或元．
综上所述，付款最少得方案为：使用张型券，张型券．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）用C型的消费券数量为：（390-5×15-3×25）÷60=4（张），
实际消费最少为（35-15）×5+（68-25）×3+（158-60）×4=621（元），故答案为：4：621；
【分析】（1）根据消费券的规则和消费金额减了390元计算得出用C型的消费券数量；实际消费最少为正好满减计算得出；
（2）根据题意列二元一次方程组计算解答；
（3）因为仅用两种不同类型的消费券消费，所以分三种情况讨论求出正整数解即可．
24．【答案】（1）2；
（2），
①－②，得，
即，
，得，
把代入③，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（3）3
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1） ，
由①+②得：
5x+5y=10，
解之：x+y=5；
由②-①得：
x-y=-2.
故答案为：2，-2.
（3）由题意得
∵，
∴
由①×2-②得
a+b+c=3，
∴1*1=a+b+c=3.
故答案为：3.
【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差1，由此由（①+②）÷5可求出x+y的值；由②-①可求出x-y的值.
（2）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x，y的系数都相差2，由此由（①-②）÷2可求出x+y的值；由①-③×2024消去x可求出y的值，再求出x的值，可得到方程组的解.
（3）利用定义新运算可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a+b+c的值，利用等于新运算可求出1*1的值.
25．【答案】（1）二
（2）解：
①-②得：
∴
把代入②得到：
∴原方程组解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法，
可知应将③代入②，
∴出现错误的为第二步，
故答案为：二.
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤逐步判断即可；
（2）利用加减消元法①-②得：据此求出x的值，进而即可求解.
26．【答案】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得 ，
解得 ，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，
若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；
若学校选套餐二购买计算器，则需支付元；
①若选择套餐一购买更划算，则
，
解得， ，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；
③若两种套餐一样划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B型号的计算器的销售价格分别是a元和b元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设学校购买A型号计算器x台，则购买B种型号计算器（420-x）台，根据题意表示出两种套餐的总价，分①选择套餐一购买更划算 ，②选择套餐二购买更划算 ，③两种套餐一样划算三种情况分别列出不等式和方程即可求解。
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