2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第1章 二元一次方程组 单元测试 B卷
一、选择题
1．二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：①+②，得x=0，
把x=0代入①，得y=-2.
∴方程组的解为
故答案为：B.
【分析】通过观察、分析可以看出解此方程组用加减法合适，所以①+②求出x的值，再把x的值代入①求出y的值即可.
2．已知二元一次方程组 用加减消元法解方程组，正确的是 （ ）
A．①×5-②×7 B．①×2+②×3 C．①×3-②×2 D．①×7-②×5
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程组，
用①×3-②×2可以消去x，
用①×3+②×（-2）可以消去x，
用①×7+②×5可以消去y，
用①×7-②×(-5)可以消去y，
选项A，B， D无法消去方程组中的未知数.
故答案为：C.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：用①×3-②×2可以消去x；用①×7-②×(-5)可以消去y；系数相反相加消元：用①×3+②×（-2）可以消去x；用①×7+②×5可以消去y．
3．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人.设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设课外小组的人数为x人，分成的组数为y组，则根据题意，可列方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据两种分法人数固定不变，组数固定不变，列两个方程组成方程组即可.
4．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为则关于 m，n 的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得
故答案为：C.
【分析】通过观察方程组可得m-n相当于x，m+n相当于y，从而列出关于字母m、n的方程组，利用加减消元法解方程组即可得出m、n的值.
5．小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量(个) 购买商品B的数量(个) 购买总费用(元)
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要在这家商店购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（ ）
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A商品x元/个，B商品y元/个，依题意得：
解得：
∴3x+2y=3×12+2×15=66.
∴小丽在这家商店购买3个商品A和2个商品B，共要花费66元.
故答案为：C.
【分析】根据小丽两次购物的数量和花费，分别设未知数设A商品x元/个，B商品y元/个，再根据购买这些物品的总费用列方程组得解借出来x、y的值。再代入3x+2y，求出3x+2y的值即可.
6．如图，将正方形 ABCD的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD比∠BAE 大 48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠BAD的度数为x°，∠BAE的度数为y°，
由题意得，．
故答案为：D．
【分析】设∠BAD的度数为 x° ，∠BAE的度数为y° ，根据等量关系：∠BAD比大∠BAE大48°，正方形的每个内角为90°及折叠的性质，据此列方程组即可解答．
7．已知关于x，y的方程组有以下两个结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解.②不论a取什么值，代数式2x+y的值始终不变.下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组中的第一个方程得x+y=0，
∴a=1时，方程组的解不是方程x+y=2的解，故结论①错误；
②，
由①+②得2x=2a+6，
由①-②得2y=-4a-4，
∴y=-2a-2，
∴2x+y=2a+6-2a-2=4，
∴ 不论a取什么值，代数式2x+y的值始终等于4，故②正确.
故答案为：C.
【分析】①把a=1代入方程组中的第一个方程即可得出结论；②将字母a作为常数，将方程组中的两个方程相加和相减即可表示出2x与y，再计算2x+y即可得出结论.
8．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
由①，得x=，③
把③代入②，得3×-5y=5，
去分母，得24-9y-10y=10，
解得：y=，
再把y=代入③，得x=
故答案为：C.
【分析】先把方程①变形，用含y的式子表示x，然后再代入方程②，在利用等式的性质2去分母的时候要注意不含分母的项也要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘.
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
10．（2021七下·桥西期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。
二、填空题
11．（2023七下·文成期中） 若是关于、的方程的解，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入2x+ay=6中可得2×2+a=6，
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的概念，将x=2、y=1代入方程中可得关于a的方程，求解可得a的值.
12．若方程组的解是则方程组中m，n的值分别为：m= ，n= .
【答案】6.5；-1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意可知m-5=1.5，n+3=2，
解得m=6.5，n=-1.
故答案为：6.5；-1.
【分析】将m-5，n+3看出是一个整体，可分别看出是x和y，则能得到m-5=1.5，n+3=2.
13．某果园现有桃树和杏树共500 棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为 x棵，y棵，则可列的方程组为
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．【分析】根据语句： 果园现有桃树和杏树共500 棵 ，一年后两种果树数量将增加 3.6% ，可得出两个等量关系式，然后就可得出关于x，y的二元一次方程组，即可解答．
14．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
15．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
16．（2020七下·诸暨期末）三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品.则先生C购买的商品数量是 .
【答案】7件
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品.
则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48.
∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，
又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，
∴ 或 或 .
解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.
符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件.
同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件.
∴C买了7件，c买了11件.
故答案为：7件.
【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答.
三、计算题
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+4×②，得7x=35，
解得x=5，
将x=5代入x-y=4，得y=1，
故方程组的解为：.
（2）①-2×②，得11x=22，
解得x=2，
将x=2，代入8y+5x=2，得y=-1，
故方程组的解为：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过加减消元法，用①+4×②，可消掉x，再将x代入其中一个式子可求出y；
（2）通过加减消元法，用①-2×②，可消掉x，再将x代入其中一个式子可求出y；
四、解答题
18．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：
车速y(km/h) 里程数s(km) 车费(元)
小明 60 8 12
小刚 50 10 16
（1）求p，q的值.
（2）如果小华也用该打车方式打车，车速为55km/h，行驶了11km，那么小华的打车总费用为多少
【答案】（1）解：∵60km/h=1km/min，50km/h=km/min，
∴小明打车的时间为8÷1=8（min），小刚打车的时间为10÷=12（min）.
由题意得
解得
（2）解：∵55km/h=km/min，
∴小华打车的时间为11÷=12（min），
则总费用是11×1+12×=17（元）.
答： 小华的打车总费用为 17元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先把车速单位统一成60km/h=1km/min，50km/h=km/min，然后分别求出小明和小刚的打车时间，小明打车的时间为8÷1=8（min），小刚打车的时间为10÷=12（min）.最后由小明和小刚的车费分别列方程组成方程组，求解即可.
（2）和（1）类似，先把小华的车速换算成55km/h=km/min，再算出小华打车的时间11÷=12（min），最后再计算出小华打车的总费用为11×1+12×=17（元）.
19．某地发生地震后，全国人民抗震救灾，众志成城，借地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资 120吨，并打算将这些物质运往灾区.现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送.
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗 此时的运费又是多少元？
【答案】（1）4
（2）解：设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：
，
解得，
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆；
（3）解：设需甲种车型a辆，需乙种车型b辆，则需丙种车型(14-a-b)辆，
由题意得5a+8b+10(14-a-b)=120，
即
∵a，b，14-a-b均为正整数，
∴b只能等于5，
∴a=2，14-a-b=7，
∴需甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，
则需运费400×2+500×5+600×7=7500(元)；
答：需甲种车型2辆，需乙种车型5辆，需丙种车型7辆，此时的运费是7500元.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
（120﹣5×8﹣5×8）÷10＝4（辆），
答：丙型车需4辆来运送；
故答案为：4；
【分析】（1）先求出丙车运输的吨数，然后用丙车的总吨数除以丙车的运载量，即可得出丙车的数量，即可解答；
（2）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120可得出两个等量关系式，然后根据等量关系式列出二元一次方程组，然后解方程组即可解答；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，根据总吨数科列出方程，然后再根据a、b、14﹣a﹣b均为正整数，求出a，b的值，即可解答．
20．陈师傅要给一块长6米、宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图1，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍.已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等.
（1）分别求出每款瓷砖的单价.
（2）陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价八折的价格进行促销，结果陈师傅共花费6600元购买了两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块
（3）陈师傅打算将长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，则A款瓷砖用了多少块
【答案】（1）解：设A款瓷砖价格为x元/块，B款瓷砖价格为y元/块，依题意列方程组得：
解得：
答：A款瓷砖价格为90元/块，B款瓷砖价格为60元/块.
（2）解：设A款瓷砖买了m块，B款瓷砖买了n块，依题意得：90×80％m+60n=6600，
化简得：6m+5n=550，
∵m、n都是正整数，且两张瓷砖的数量相差不超过20块，
∴或或
答：A款瓷砖买了45块，B款瓷砖买了56块；或A款瓷砖买了50块，B款瓷砖买了50块；或A款瓷砖买了55块，B款瓷砖买了44块.
（3）解：设B型瓷砖的长为a米，依题意得：
解得：a=，
∴=，
∴B型瓷砖长为米，宽为米。
∴（6-2×）（5-2×）÷（×）=36块，
∴A型瓷砖需要36块.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等.这两个等量关系可设两个未知数，列两个方程组成方程组解出即可.
（2）由两种瓷砖共花了660元，A款瓷砖打八折。可设两种瓷砖的数量进而得到一个等量关系。再由两种瓷砖的数量相差不差过20块，且A、B瓷砖的数量都是正整数分别讨论，找出两种瓷砖的数量.
（3）由长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，可设B型瓷砖的长为a米，依题意列方程得：解得：a=，∴=，也就是说B型瓷砖长为米，宽为米。第二步，要求A型瓷砖得数量，就要用剩余面积除以每块A型瓷砖的面积，所以用（6-2×）（5-2×）÷（×）=36块，就得出了所需A型瓷砖的数量.
五、实践探究题
21．（2023七下·吴江期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
【答案】（1）或
（2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
由，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由，得，
方程组②的解为，
与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为，
将代入，得，
．
（3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解方程组可得，与m为整数不符，不合题意；
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵，
∴，即
解得，
∵m为整数，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： （1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组有：和，解方程组，
得；
解方程组，
得；
故答案为：或；
【分析】（1）根据“交换系数方程”的意义，先写出两个方程组，再分别求解；
（2）先求出ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，再代入mx+ny=p， 得出m、n、p之间的关系式，利用这个关系式对待求代数式求值.
（3）根据“交换系数方程”的定义，分“当与的各系数相等时”与“当与的各系数相等时”两情况讨论.
22．（2023七下·衡阳期末）阅读探索：
小明在解方程组时发现若设 ， ，
则方程组可变为 ， 解此方程组得：，
即 ，所以．
（1）请你模仿运用上述方法解下列方程组
（2）若已知关于x、y的方程组的解是， 请直接写出关于m、n的方程组的解．
【答案】（1）解：设 ， ，
则方程组可变为，
解此方程组得：，
即 ，所以
（2）解：
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，
∴方程组化为，
∵方程组的解是，
∴5（m+3）=x=3，3（n-2）=y=4，
解得：m=，n=.
故答案为：.
【分析】（1）根据阅读材料中的换元法 设 ， ，把原方程组化为 ，解得x、y的值，即可得解.
（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，把关于m、n的方程组化为方程组的形式，根据其解是，得到5（m+3）=3，3（n-2）=4，解之即可得答案.
23．（2023七下·忻州期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
（1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得
（3）解：方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
①＋②×3，得：22x=66，
∴x=3，
把x=3代入②得：y=6×3-16=2，
∴方程组的解为.
故答案为：；.
【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值；
（2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值；
（3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解.
六、综合题
24．（2023七下·洛阳期末）某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1~50人 51~100人 100人以上(不含100人)
每人门票价 13元 11元 9元
某校初一(1)(2)两个班去游览公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，超过50人，但是不超过100人.如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.
（1）请列出方程组，求出两个班各有多少学生
（2）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上(不含100人)买票的钱数相等 如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等
【答案】（1）解：如果初一(1)(2)两个班的人数之和不大于100，
则结果不是整数，不符合题意，
∴初一(1)(2)两个班的人数之和一定大于100
设初一(1)班有x人，初一(2)班有y人，
依题意，得：
解得：
答：初一(1)班有48人，初一(2)班有56人；
（2）解：设m人与n人买票钱数相等且满足：51≤m≤100，n≥101，
依题意，得：11m=9n，
∴m为9的整数倍，n为11的整数倍，
或
答：90人和110人或99人和121人买票钱数相等
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）先判断初一(1)(2)两个班的人数之和一定大于100，设初一(1)班有x人，初一(2)班有y人，根据“ 如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.”列出方程组并解之即可；
（2）设m人与n人买票钱数相等且满足：51≤m≤100，n≥101，根据m人票价的总数=n人票价的总数，列出二元一次方程，求出其正整数解即可.
25．（2023七下·海曙期末）小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5.
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）找到题干中的数量关系，得到方程组，即可得到答案；
（2）①对折扣设未知数，利用题目的数量关系作等式，解出未知数；
②对商品数量设未知数，得到等式，郑州市逐一尝试，即可得解.
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第1章 二元一次方程组 单元测试 B卷
一、选择题
1．二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组 用加减消元法解方程组，正确的是 （ ）
A．①×5-②×7 B．①×2+②×3 C．①×3-②×2 D．①×7-②×5
3．某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人.设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于 x，y的二元一次方程组 的解为则关于 m，n 的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
5．小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量(个) 购买商品B的数量(个) 购买总费用(元)
第一次购物 4 3 93
第二次购物 6 6 162
若小丽需要在这家商店购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（ ）
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
6．如图，将正方形 ABCD的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD比∠BAE 大 48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于x，y的方程组有以下两个结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解.②不论a取什么值，代数式2x+y的值始终不变.下列说法正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
8．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
10．（2021七下·桥西期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
二、填空题
11．（2023七下·文成期中） 若是关于、的方程的解，则的值为 ．
12．若方程组的解是则方程组中m，n的值分别为：m= ，n= .
13．某果园现有桃树和杏树共500 棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为 x棵，y棵，则可列的方程组为
14．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
15．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
16．（2020七下·诸暨期末）三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品.则先生C购买的商品数量是 .
三、计算题
17．解下列方程组：
（1）
（2）
四、解答题
18．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：
车速y(km/h) 里程数s(km) 车费(元)
小明 60 8 12
小刚 50 10 16
（1）求p，q的值.
（2）如果小华也用该打车方式打车，车速为55km/h，行驶了11km，那么小华的打车总费用为多少
19．某地发生地震后，全国人民抗震救灾，众志成城，借地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资 120吨，并打算将这些物质运往灾区.现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）：
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送.
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗 此时的运费又是多少元？
20．陈师傅要给一块长6米、宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图1，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍.已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等.
（1）分别求出每款瓷砖的单价.
（2）陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价八折的价格进行促销，结果陈师傅共花费6600元购买了两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块
（3）陈师傅打算将长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，则A款瓷砖用了多少块
五、实践探究题
21．（2023七下·吴江期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
22．（2023七下·衡阳期末）阅读探索：
小明在解方程组时发现若设 ， ，
则方程组可变为 ， 解此方程组得：，
即 ，所以．
（1）请你模仿运用上述方法解下列方程组
（2）若已知关于x、y的方程组的解是， 请直接写出关于m、n的方程组的解．
23．（2023七下·忻州期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
（1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
六、综合题
24．（2023七下·洛阳期末）某公园的门票价格如下表所示：
购票人数 1~50人 51~100人 100人以上(不含100人)
每人门票价 13元 11元 9元
某校初一(1)(2)两个班去游览公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，超过50人，但是不超过100人.如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.
（1）请列出方程组，求出两个班各有多少学生
（2）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上(不含100人)买票的钱数相等 如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等
25．（2023七下·海曙期末）小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5.
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：①+②，得x=0，
把x=0代入①，得y=-2.
∴方程组的解为
故答案为：B.
【分析】通过观察、分析可以看出解此方程组用加减法合适，所以①+②求出x的值，再把x的值代入①求出y的值即可.
2．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解方程组，
用①×3-②×2可以消去x，
用①×3+②×（-2）可以消去x，
用①×7+②×5可以消去y，
用①×7-②×(-5)可以消去y，
选项A，B， D无法消去方程组中的未知数.
故答案为：C.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：用①×3-②×2可以消去x；用①×7-②×(-5)可以消去y；系数相反相加消元：用①×3+②×（-2）可以消去x；用①×7+②×5可以消去y．
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设课外小组的人数为x人，分成的组数为y组，则根据题意，可列方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据两种分法人数固定不变，组数固定不变，列两个方程组成方程组即可.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得
故答案为：C.
【分析】通过观察方程组可得m-n相当于x，m+n相当于y，从而列出关于字母m、n的方程组，利用加减消元法解方程组即可得出m、n的值.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A商品x元/个，B商品y元/个，依题意得：
解得：
∴3x+2y=3×12+2×15=66.
∴小丽在这家商店购买3个商品A和2个商品B，共要花费66元.
故答案为：C.
【分析】根据小丽两次购物的数量和花费，分别设未知数设A商品x元/个，B商品y元/个，再根据购买这些物品的总费用列方程组得解借出来x、y的值。再代入3x+2y，求出3x+2y的值即可.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠BAD的度数为x°，∠BAE的度数为y°，
由题意得，．
故答案为：D．
【分析】设∠BAD的度数为 x° ，∠BAE的度数为y° ，根据等量关系：∠BAD比大∠BAE大48°，正方形的每个内角为90°及折叠的性质，据此列方程组即可解答．
7．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把a=1代入方程组中的第一个方程得x+y=0，
∴a=1时，方程组的解不是方程x+y=2的解，故结论①错误；
②，
由①+②得2x=2a+6，
由①-②得2y=-4a-4，
∴y=-2a-2，
∴2x+y=2a+6-2a-2=4，
∴ 不论a取什么值，代数式2x+y的值始终等于4，故②正确.
故答案为：C.
【分析】①把a=1代入方程组中的第一个方程即可得出结论；②将字母a作为常数，将方程组中的两个方程相加和相减即可表示出2x与y，再计算2x+y即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
由①，得x=，③
把③代入②，得3×-5y=5，
去分母，得24-9y-10y=10，
解得：y=，
再把y=代入③，得x=
故答案为：C.
【分析】先把方程①变形，用含y的式子表示x，然后再代入方程②，在利用等式的性质2去分母的时候要注意不含分母的项也要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘.
9．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。
11．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入2x+ay=6中可得2×2+a=6，
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的概念，将x=2、y=1代入方程中可得关于a的方程，求解可得a的值.
12．【答案】6.5；-1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意可知m-5=1.5，n+3=2，
解得m=6.5，n=-1.
故答案为：6.5；-1.
【分析】将m-5，n+3看出是一个整体，可分别看出是x和y，则能得到m-5=1.5，n+3=2.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．【分析】根据语句： 果园现有桃树和杏树共500 棵 ，一年后两种果树数量将增加 3.6% ，可得出两个等量关系式，然后就可得出关于x，y的二元一次方程组，即可解答．
14．【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
15．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
16．【答案】7件
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品.
则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48.
∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，
又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，
∴ 或 或 .
解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1.
符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件.
同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件.
∴C买了7件，c买了11件.
故答案为：7件.
【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答.
17．【答案】（1）解：
①+4×②，得7x=35，
解得x=5，
将x=5代入x-y=4，得y=1，
故方程组的解为：.
（2）①-2×②，得11x=22，
解得x=2，
将x=2，代入8y+5x=2，得y=-1，
故方程组的解为：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过加减消元法，用①+4×②，可消掉x，再将x代入其中一个式子可求出y；
（2）通过加减消元法，用①-2×②，可消掉x，再将x代入其中一个式子可求出y；
18．【答案】（1）解：∵60km/h=1km/min，50km/h=km/min，
∴小明打车的时间为8÷1=8（min），小刚打车的时间为10÷=12（min）.
由题意得
解得
（2）解：∵55km/h=km/min，
∴小华打车的时间为11÷=12（min），
则总费用是11×1+12×=17（元）.
答： 小华的打车总费用为 17元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先把车速单位统一成60km/h=1km/min，50km/h=km/min，然后分别求出小明和小刚的打车时间，小明打车的时间为8÷1=8（min），小刚打车的时间为10÷=12（min）.最后由小明和小刚的车费分别列方程组成方程组，求解即可.
（2）和（1）类似，先把小华的车速换算成55km/h=km/min，再算出小华打车的时间11÷=12（min），最后再计算出小华打车的总费用为11×1+12×=17（元）.
19．【答案】（1）4
（2）解：设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：
，
解得，
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆；
（3）解：设需甲种车型a辆，需乙种车型b辆，则需丙种车型(14-a-b)辆，
由题意得5a+8b+10(14-a-b)=120，
即
∵a，b，14-a-b均为正整数，
∴b只能等于5，
∴a=2，14-a-b=7，
∴需甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，
则需运费400×2+500×5+600×7=7500(元)；
答：需甲种车型2辆，需乙种车型5辆，需丙种车型7辆，此时的运费是7500元.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
（120﹣5×8﹣5×8）÷10＝4（辆），
答：丙型车需4辆来运送；
故答案为：4；
【分析】（1）先求出丙车运输的吨数，然后用丙车的总吨数除以丙车的运载量，即可得出丙车的数量，即可解答；
（2）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120可得出两个等量关系式，然后根据等量关系式列出二元一次方程组，然后解方程组即可解答；
（3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，根据总吨数科列出方程，然后再根据a、b、14﹣a﹣b均为正整数，求出a，b的值，即可解答．
20．【答案】（1）解：设A款瓷砖价格为x元/块，B款瓷砖价格为y元/块，依题意列方程组得：
解得：
答：A款瓷砖价格为90元/块，B款瓷砖价格为60元/块.
（2）解：设A款瓷砖买了m块，B款瓷砖买了n块，依题意得：90×80％m+60n=6600，
化简得：6m+5n=550，
∵m、n都是正整数，且两张瓷砖的数量相差不超过20块，
∴或或
答：A款瓷砖买了45块，B款瓷砖买了56块；或A款瓷砖买了50块，B款瓷砖买了50块；或A款瓷砖买了55块，B款瓷砖买了44块.
（3）解：设B型瓷砖的长为a米，依题意得：
解得：a=，
∴=，
∴B型瓷砖长为米，宽为米。
∴（6-2×）（5-2×）÷（×）=36块，
∴A型瓷砖需要36块.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等.这两个等量关系可设两个未知数，列两个方程组成方程组解出即可.
（2）由两种瓷砖共花了660元，A款瓷砖打八折。可设两种瓷砖的数量进而得到一个等量关系。再由两种瓷砖的数量相差不差过20块，且A、B瓷砖的数量都是正整数分别讨论，找出两种瓷砖的数量.
（3）由长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，可设B型瓷砖的长为a米，依题意列方程得：解得：a=，∴=，也就是说B型瓷砖长为米，宽为米。第二步，要求A型瓷砖得数量，就要用剩余面积除以每块A型瓷砖的面积，所以用（6-2×）（5-2×）÷（×）=36块，就得出了所需A型瓷砖的数量.
21．【答案】（1）或
（2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
由，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由，得，
方程组②的解为，
与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为，
将代入，得，
．
（3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解方程组可得，与m为整数不符，不合题意；
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵，
∴，即
解得，
∵m为整数，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： （1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组有：和，解方程组，
得；
解方程组，
得；
故答案为：或；
【分析】（1）根据“交换系数方程”的意义，先写出两个方程组，再分别求解；
（2）先求出ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，再代入mx+ny=p， 得出m、n、p之间的关系式，利用这个关系式对待求代数式求值.
（3）根据“交换系数方程”的定义，分“当与的各系数相等时”与“当与的各系数相等时”两情况讨论.
22．【答案】（1）解：设 ， ，
则方程组可变为，
解此方程组得：，
即 ，所以
（2）解：
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，
∴方程组化为，
∵方程组的解是，
∴5（m+3）=x=3，3（n-2）=y=4，
解得：m=，n=.
故答案为：.
【分析】（1）根据阅读材料中的换元法 设 ， ，把原方程组化为 ，解得x、y的值，即可得解.
（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，把关于m、n的方程组化为方程组的形式，根据其解是，得到5（m+3）=3，3（n-2）=4，解之即可得答案.
23．【答案】（1）；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得
（3）解：方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
①＋②×3，得：22x=66，
∴x=3，
把x=3代入②得：y=6×3-16=2，
∴方程组的解为.
故答案为：；.
【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值；
（2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值；
（3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解.
24．【答案】（1）解：如果初一(1)(2)两个班的人数之和不大于100，
则结果不是整数，不符合题意，
∴初一(1)(2)两个班的人数之和一定大于100
设初一(1)班有x人，初一(2)班有y人，
依题意，得：
解得：
答：初一(1)班有48人，初一(2)班有56人；
（2）解：设m人与n人买票钱数相等且满足：51≤m≤100，n≥101，
依题意，得：11m=9n，
∴m为9的整数倍，n为11的整数倍，
或
答：90人和110人或99人和121人买票钱数相等
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）先判断初一(1)(2)两个班的人数之和一定大于100，设初一(1)班有x人，初一(2)班有y人，根据“ 如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.”列出方程组并解之即可；
（2）设m人与n人买票钱数相等且满足：51≤m≤100，n≥101，根据m人票价的总数=n人票价的总数，列出二元一次方程，求出其正整数解即可.
25．【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）找到题干中的数量关系，得到方程组，即可得到答案；
（2）①对折扣设未知数，利用题目的数量关系作等式，解出未知数；
②对商品数量设未知数，得到等式，郑州市逐一尝试，即可得解.
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