2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第2章 整式的乘法 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．4ab-ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1 D．（-a3）2＝a6
2．（2024八上·绿园期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）
A．(1+x)(x+1) B．(-a+b)(a-b)
C．(x2-y)(y2+x) D．
4．下列计算中，不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．若 恒成立，则m，n 的值分别为 （ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=-6 C．m=1，n=6 D．m=5，n= -6
6．（2024八上·广西期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
7．（2024八下·汕头开学）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a- b)2= a2-2ab+b2
C．a2- b2=(a+b) (a- b) D．(a+2b) (a+b)= a2+3ab+2b2
8．（2022七下·毕节月考）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·汉阳期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（ ）
A．377 B．420 C．465 D．512
10．（2024八上·永定期末）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
二、填空题
11．（2017七下·惠山期中）计算：（﹣2x2y）3= ．
12．（2023七下·滨海期中）已知，（m，n为正整数），则 .
13．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
14．下列算式①（22×32）3；②（2×62）×（3×63）；③63+63；④（22）3×（33）2 中，结果等于66的有 。
15．若加上一个单项式能成为一个完全平方式，则这个单项式为 .
16．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
三、计算题
17．（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
18．（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
四、解答题
19．已知a+2b=1，ab=-1．求：
（1）a2+4b2的值。
（2）(a-2b)2的值。
20．
（1）计算：
（2）已知a-b=10，b-c=5，利用(1)的结论，求：的值.
21．按要求计算.
（1）利用完全平方公式计算：5012.
（2）利用平方差公式计算：8892-8882.
五、实践探究题
22．小明把图1中L形的纸片进行如图2所示的剪拼，变成了一个长方形，请你结合图形验证平方差公式.
23．探究应用：
（1）计算：
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律(公式) 用含a，b的字母表示该公式为： .
（3）下列各式能用上述公式计算的是____.
A．(m+2)(m2+2m+4) B．(m+2n)(m2-2mn+2n2)
C．(3+n)(9-3n+n2) D．(m+n)(m2-2mn+n2)
24．公式的探究与应用：
（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是多少(写成两数平方差的形式)？
（2）若将图1的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2所示的长方形，求此长方形的面积(写成多项式乘法的形式)．
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式： .
（4）运用公式计算：(1-)(1-)(1-)……(1-)(1-)
六、综合题
25．
（1）已知求下列各式的值：①
②(a-b)2.
（2） 若求的值.
26．（2022七下·全椒期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： a3 a2＝a5 ，故A计算错误，不符合题意；
4ab-ab＝3ab，故B计算错误，不符合题意；
（a+1）2＝a2+2a+1，故C计算错误，不符合题意；
（-a3）2＝a6，故D计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则依次验证即可求解.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加的性质，进而即可求解.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，运用的完全平方公式，A错误；
B、，变形后利用完全平方式，B错误；
C、无法运用公式计算，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】平方差公式，对照比对即可选出答案.
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、(x-2)(2x+3)=2x2+3x-4x-6=2x2-x-6，故此选项计算正确，不符合题意；
B、(2x-1)(2x+1)=4x2-1，故此选项计算正确，不符合题意；
C、(a+2b)(2x-y)=2ax+4bx-ay-2by，故此选项计算正确，不符合题意；
D、(3x-2)(x+4)=3x2+12x-2x-8=3x2+10x-8，故此选项计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即逐项判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(y+3)(y-2)=y2-2y+3y-6=y2+y-6=y2+my+n，
∴m=1，n=-6.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式，等于用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将已知等式的左边进行计算后与右边进行比较即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】先利用同底数幂的乘法法则对原式进行变形，再用积的乘方法则，计算求解即可．
7．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
则平行四边形的面积：，
两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为 ：.
故答案为：C.
【分析】分别表示出甲和乙的阴影部分的面积，即可得解.
8．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，
第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A.
【分析】利用大正方形的面积-小正方形的面积表示第一个图形阴影部分的面积，根据矩形的面积计算方法表示出第二个图形阴影部分的面积，由两个图形阴影部分的面积相等即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：最大和最小的两个数是m+8和m-8，
∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，
即m2=64+n；
A、当n=377时， 64+377=441=212 ，结果是一个平方数，所以n可能是377，A不符合题意；
B、当n=420时，420+64=484=222，结果是一个平方数，所以n可能是420，B不符合题意；
C、当n=465时，465+64=529=232，结果是一个平方数，所以n可能是465，C不符合题意；
D、当n=512时，512+64=576=242，最小的数是24-8=16，最大的数是24+8=32，不符合实际，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的两个数，结合题意可得m2=64+n，逐项将n的值代入，判断是否是平方数，注意结合实际，即可判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．
故答案为：C．
【分析】先计算n=0，1，2，3，时，展开式中所有项的系数和，从中得出规律为展开式中所有项的系数和为，再把n=8代入计算即可。
11．【答案】﹣8x6y3
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：（﹣2x2y）3=﹣8x6y3．
故答案为：﹣8x6y3．
【分析】根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）与积的乘方（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）的性质求解即可求得答案．
12．【答案】24
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：24.
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方运算法则的逆用将待求式子变形后整体代入后按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
13．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
14．【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①（22×32）3＝[(2×3)2]3=（62）3＝66；
②（2×62）×（3×63）＝6×65＝66；
③63+63＝2×63；
④（22）3×（33）2＝26×36＝(2×3）6=66．
所以结果等于66的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据积的乘方法则的逆用及幂的乘方法则可计算①；根据单项式乘以单项式法则及同底数幂的乘法法则可计算②；根据合并同类项法则可计算③；根据幂的乘方及积的乘方运算法则的逆用可计算④.
15．【答案】10x或-10x或或-25x2或-1
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①为平方项时，
②为乘积二倍项时，，
③可添加-1或，
综上所述，可添加10x或-10x或或-25x2或-1，
故答案为：10x或-10x或或-25x2或-1.
【分析】分三种情况①为平方项时，②为乘积二倍项时，③可添加-1或，分别利用完全平方公式即可求解.
16．【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式的计算方法求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再求解即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法计算方法列出算式求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法及幂的乘方的计算方法化简，再求解即可.
19．【答案】（1）解： .
（2）解：.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将a+2b平方即可得到，把ab=-1代入即可求得的值；
（2）将原式展开，然后整体代入求值即可.
20．【答案】（1）解：原式=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac.
（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]
∵a-b=10，b-c=5，
∴a-c=15，
∴原式=（102+52+152）=×350=175.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）根据（1）的结论，可将所求代数式化为[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]，将已知的两个等式相加求出a-c的值，然后整体代换计算即可求解.
21．【答案】（1）解：5012=（500+1）2
=5002+2×500×1+1
=250000+1000+1
=251001.
（2）解：8892-8882=（889+888）（889-888）
=1777×1
=1777.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意先将501化为（500+1），然后根据平方差公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算即可求解；
（2）根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”计算即可求解.
22．【答案】解：由图1，L型纸片面积为：
由图3得，面积为：
∴
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】根据图1和图3分别用含a和b的式子表示其面积，然后根据面积相等即可得到等式，进而即可求解.
23．【答案】（1）x3+1；8x3+y3
（2）
（3）C
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）原式=
原式=
故答案为：，.
（2）由（1）得：，
故答案为：.
（3）∵，
∴能用上述公式计算的是C，
故答案为：C.
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的计算法则计算即可；
（2）根据（1）中的计算结果得到规律即可求解；
（3）由（2）中得到的公式，逐项判断即可.
24．【答案】（1）解： 阴影部分的面积是 a2-b2；
（2）解：长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，
∴长方形的面积为：(a+b)(a-b)；
（3）a2-b2=(a+b)(a-b)
（4）解： (1-)(1-)(1-)……(1-)(1-)
=
=
=
=
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，据此列式得出答案；
（2）拼接成的长方形的长为(a+b)宽为(a -b)，根据长方形面积的计算方法可得答案；
（3）利用两次计算的结果相等可得答案；
（4）利用平方差公式转换为分数相乘的形式可解此题.
25．【答案】（1）解：①
②
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）①根据完全平方差公式得到，进而将代入即可求解；
②根据完全平方差公式得到，进而代入即可求解；
（2）利用幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法进行变形，在整体代入即可.
26．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2或a2+2ab+b2=（a+b）2
（2）解：（2a+b）（a+2b）
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）解：由题意得，p2+q2=20，p+q=6．
∵（p+q）2=p2+q2+2pq=62，
∴2pq=62-20=16．
∴pq=8．
∴S阴＝pq×2＝pq＝8．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=各部分面积之和，即得等式；
（2）利用多项式乘多项式可得 （2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2， 据此即得需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）由正方形的面积及，可得p2+q2=20 ，结合 ，可求出pq=8， 根据S阴＝pq×2 即可求解．
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第2章 整式的乘法 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2024九下·深圳开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．4ab-ab＝4
C．（a+1）2＝a2+1 D．（-a3）2＝a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： a3 a2＝a5 ，故A计算错误，不符合题意；
4ab-ab＝3ab，故B计算错误，不符合题意；
（a+1）2＝a2+2a+1，故C计算错误，不符合题意；
（-a3）2＝a6，故D计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则依次验证即可求解.
2．（2024八上·绿园期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加的性质，进而即可求解.
3．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）
A．(1+x)(x+1) B．(-a+b)(a-b)
C．(x2-y)(y2+x) D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，运用的完全平方公式，A错误；
B、，变形后利用完全平方式，B错误；
C、无法运用公式计算，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】平方差公式，对照比对即可选出答案.
4．下列计算中，不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、(x-2)(2x+3)=2x2+3x-4x-6=2x2-x-6，故此选项计算正确，不符合题意；
B、(2x-1)(2x+1)=4x2-1，故此选项计算正确，不符合题意；
C、(a+2b)(2x-y)=2ax+4bx-ay-2by，故此选项计算正确，不符合题意；
D、(3x-2)(x+4)=3x2+12x-2x-8=3x2+10x-8，故此选项计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即逐项判断得出答案.
5．若 恒成立，则m，n 的值分别为 （ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=-6 C．m=1，n=6 D．m=5，n= -6
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(y+3)(y-2)=y2-2y+3y-6=y2+y-6=y2+my+n，
∴m=1，n=-6.
故答案为：B.
【分析】由多项式乘以多项式，等于用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，将已知等式的左边进行计算后与右边进行比较即可得出答案.
6．（2024八上·广西期末）计算的结果等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】先利用同底数幂的乘法法则对原式进行变形，再用积的乘方法则，计算求解即可．
7．（2024八下·汕头开学）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a- b)2= a2-2ab+b2
C．a2- b2=(a+b) (a- b) D．(a+2b) (a+b)= a2+3ab+2b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
则平行四边形的面积：，
两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为 ：.
故答案为：C.
【分析】分别表示出甲和乙的阴影部分的面积，即可得解.
8．（2022七下·毕节月考）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，
第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A.
【分析】利用大正方形的面积-小正方形的面积表示第一个图形阴影部分的面积，根据矩形的面积计算方法表示出第二个图形阴影部分的面积，由两个图形阴影部分的面积相等即可得出结论.
9．（2024八上·汉阳期末）如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（ ）
A．377 B．420 C．465 D．512
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：最大和最小的两个数是m+8和m-8，
∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，
即m2=64+n；
A、当n=377时， 64+377=441=212 ，结果是一个平方数，所以n可能是377，A不符合题意；
B、当n=420时，420+64=484=222，结果是一个平方数，所以n可能是420，B不符合题意；
C、当n=465时，465+64=529=232，结果是一个平方数，所以n可能是465，C不符合题意；
D、当n=512时，512+64=576=242，最小的数是24-8=16，最大的数是24+8=32，不符合实际，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的两个数，结合题意可得m2=64+n，逐项将n的值代入，判断是否是平方数，注意结合实际，即可判断得出答案.
10．（2024八上·永定期末）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，
展开式中所有项的系数和为1，
展开式中所有项的系数和为2，
展开式中所有项的系数和为4，
展开式中所有项的系数和为8，
……
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为．
故答案为：C．
【分析】先计算n=0，1，2，3，时，展开式中所有项的系数和，从中得出规律为展开式中所有项的系数和为，再把n=8代入计算即可。
二、填空题
11．（2017七下·惠山期中）计算：（﹣2x2y）3= ．
【答案】﹣8x6y3
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：（﹣2x2y）3=﹣8x6y3．
故答案为：﹣8x6y3．
【分析】根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）与积的乘方（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）的性质求解即可求得答案．
12．（2023七下·滨海期中）已知，（m，n为正整数），则 .
【答案】24
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：24.
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方运算法则的逆用将待求式子变形后整体代入后按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
13．（2022七下·沈北新期中）已知 ．
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴原式＝，
故答案为：49．
【分析】将代数式变形为，再将代入计算即可。
14．下列算式①（22×32）3；②（2×62）×（3×63）；③63+63；④（22）3×（33）2 中，结果等于66的有 。
【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①（22×32）3＝[(2×3)2]3=（62）3＝66；
②（2×62）×（3×63）＝6×65＝66；
③63+63＝2×63；
④（22）3×（33）2＝26×36＝(2×3）6=66．
所以结果等于66的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据积的乘方法则的逆用及幂的乘方法则可计算①；根据单项式乘以单项式法则及同底数幂的乘法法则可计算②；根据合并同类项法则可计算③；根据幂的乘方及积的乘方运算法则的逆用可计算④.
15．若加上一个单项式能成为一个完全平方式，则这个单项式为 .
【答案】10x或-10x或或-25x2或-1
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：①为平方项时，
②为乘积二倍项时，，
③可添加-1或，
综上所述，可添加10x或-10x或或-25x2或-1，
故答案为：10x或-10x或或-25x2或-1.
【分析】分三种情况①为平方项时，②为乘积二倍项时，③可添加-1或，分别利用完全平方公式即可求解.
16．两个相同的小长方形按如图1所示的方式摆放，重叠部分是边长为b的正方形，阴影部分的面积为S.四个相同的小长方形按如图2所示的方式摆放，左上角形成的是边长为b的正方形阴影，此阴影部分的面积为 S ，另一阴影部分的面积为S ，则S，S ，S 之间的数量关系为
【答案】S=S +S
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1中，阴影部分是边长为的正方形，
∴
图2中，两个阴影部分的面积之和等于边长为的正方形面积减去6个小长方形的面积，
∴
故答案为：S=S +S .
【分析】根据图1用含a、b的代数式表示出S，根据图2用含a、b的代数式表示出S1，S2，进而即可求解.
三、计算题
17．（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式的计算方法求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再求解即可.
18．（2023七下·长春月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法计算方法列出算式求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法及幂的乘方的计算方法化简，再求解即可.
四、解答题
19．已知a+2b=1，ab=-1．求：
（1）a2+4b2的值。
（2）(a-2b)2的值。
【答案】（1）解： .
（2）解：.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将a+2b平方即可得到，把ab=-1代入即可求得的值；
（2）将原式展开，然后整体代入求值即可.
20．
（1）计算：
（2）已知a-b=10，b-c=5，利用(1)的结论，求：的值.
【答案】（1）解：原式=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac.
（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]
∵a-b=10，b-c=5，
∴a-c=15，
∴原式=（102+52+152）=×350=175.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）根据（1）的结论，可将所求代数式化为[（a-b）2+（b-c）2+(a-c)2]，将已知的两个等式相加求出a-c的值，然后整体代换计算即可求解.
21．按要求计算.
（1）利用完全平方公式计算：5012.
（2）利用平方差公式计算：8892-8882.
【答案】（1）解：5012=（500+1）2
=5002+2×500×1+1
=250000+1000+1
=251001.
（2）解：8892-8882=（889+888）（889-888）
=1777×1
=1777.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意先将501化为（500+1），然后根据平方差公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算即可求解；
（2）根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”计算即可求解.
五、实践探究题
22．小明把图1中L形的纸片进行如图2所示的剪拼，变成了一个长方形，请你结合图形验证平方差公式.
【答案】解：由图1，L型纸片面积为：
由图3得，面积为：
∴
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】根据图1和图3分别用含a和b的式子表示其面积，然后根据面积相等即可得到等式，进而即可求解.
23．探究应用：
（1）计算：
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律(公式) 用含a，b的字母表示该公式为： .
（3）下列各式能用上述公式计算的是____.
A．(m+2)(m2+2m+4) B．(m+2n)(m2-2mn+2n2)
C．(3+n)(9-3n+n2) D．(m+n)(m2-2mn+n2)
【答案】（1）x3+1；8x3+y3
（2）
（3）C
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）原式=
原式=
故答案为：，.
（2）由（1）得：，
故答案为：.
（3）∵，
∴能用上述公式计算的是C，
故答案为：C.
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的计算法则计算即可；
（2）根据（1）中的计算结果得到规律即可求解；
（3）由（2）中得到的公式，逐项判断即可.
24．公式的探究与应用：
（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是多少(写成两数平方差的形式)？
（2）若将图1的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2所示的长方形，求此长方形的面积(写成多项式乘法的形式)．
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式： .
（4）运用公式计算：(1-)(1-)(1-)……(1-)(1-)
【答案】（1）解： 阴影部分的面积是 a2-b2；
（2）解：长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，
∴长方形的面积为：(a+b)(a-b)；
（3）a2-b2=(a+b)(a-b)
（4）解： (1-)(1-)(1-)……(1-)(1-)
=
=
=
=
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，据此列式得出答案；
（2）拼接成的长方形的长为(a+b)宽为(a -b)，根据长方形面积的计算方法可得答案；
（3）利用两次计算的结果相等可得答案；
（4）利用平方差公式转换为分数相乘的形式可解此题.
六、综合题
25．
（1）已知求下列各式的值：①
②(a-b)2.
（2） 若求的值.
【答案】（1）解：①
②
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）①根据完全平方差公式得到，进而将代入即可求解；
②根据完全平方差公式得到，进而代入即可求解；
（2）利用幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法进行变形，在整体代入即可.
26．（2022七下·全椒期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2或a2+2ab+b2=（a+b）2
（2）解：（2a+b）（a+2b）
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）解：由题意得，p2+q2=20，p+q=6．
∵（p+q）2=p2+q2+2pq=62，
∴2pq=62-20=16．
∴pq=8．
∴S阴＝pq×2＝pq＝8．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=各部分面积之和，即得等式；
（2）利用多项式乘多项式可得 （2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2， 据此即得需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）由正方形的面积及，可得p2+q2=20 ，结合 ，可求出pq=8， 根据S阴＝pq×2 即可求解．
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