2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第2章 整式的乘法 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·黄石港期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，A选项运算错误，A不符合题意；
B、3a3·2a2=6a5，B选项运算错误，B不符合题意；
C、2x4·（-3x4）=-6x8，C选项运算错误，C不符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D选项运算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘逐项判断即可得出答案.
2．（2024八上·蔡甸期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（a2）3·a5
=a6·a5
=a11；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行运算即可.
3．（2024八上·盘龙期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可得：阴影部分的面积=，
故答案为：D.
【分析】利用图形求出阴影部分的边长，再利用正方形的面积公式及完全平方公式的计算方法分析求解即可.
4．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
5．（2021八上·遂宁期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
6．（2024八上·望城期末）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
【分析】根据“好数”定义，结合平方差公式可得两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，再逐项计算即可求出答案.
7．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
8．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
9．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
10．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
二、填空题
11．（2020八上·通辽期末）计算： ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由平方差公式得：原式 .
【分析】利用平方差公式即可得.
12．（2020七下·顺德月考）已知a+b=7，ab=2，则a2+b2= ．
【答案】45
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=7，ab=2，
∴a2+2ab+b2=49，
即a2+2×2+b2=49，
解得a2+b2=49﹣4=45．
故答案为：45．
【分析】将代数式a+b=7左右平方，再展开，将ab=2代入计算求解即可。
13．（2016八上·大同期末）若4x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25= ，
∴k=±20．
【分析】根据4x2+kx+25是一个完全平方式，及完全平方式的特点：①是三项式，②三项式中有两项是一个整式的平方，③第三项式是完全平方项底数积的2倍，但积的2倍即可以是加也可以是减 ，从而得出答案。
14．（2022七下·萧山期中）一个多项式与的积为，则 .
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵积中x的三次项的系数为1，
∴另一个多项式的一次项系数也是1，
∵积中有常数项为2，
∴另一个多项式为，
∴
∴，，
∴，
故答案为：0.
【分析】根据多项式的乘法法则由“积中x的三次项的系数为1”得另一个多项式的一次项系数也是1，由“积中有常数项为2”得另一个因式的常数项是-2，据此可得另一个多项式为（x-2），然后根据多项式的乘法法则算出三个多项式的乘积，最后根据多项式中每项的系数相同，可得结果.
15．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
三、计算题
16．计算：
（1）(2x-3y-1)(2x+3y-1)
（2）(2a+b)2(2a-b)2
【答案】（1）解：原式=(2x-1-3y)(2x-1+3y)=(2x-1)2-(3y)2=-4x2-4x+1-9y2.
（2）解：原式= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）把2x-1看成一个整体，原式就可以看成平方差的形式，利用平方差公式计算即可；
（2）先利用积的乘方变形得到，再利用平方差公式先算底数，再用完全平方式展开即可.
17． 用简便方法计算：
（1）
（2）198 -396×202+202 .
【答案】（1）解：
=
=(99+1)2
=10000.
（2）解：1982-396×202+2022
=1982-2×198×202+2022
=（198-202）2
=16.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将原式变形为992+2×99×1+1，再根据a22ab+b2=(ab)2进行计算即可；
（2）将原式变形为1982-2×198×202+2022，再根据a22ab+b2=(ab)2进行计算即可.
四、解答题
18．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
19．（2023八上·长春月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
【答案】（1）；
（2）
（3），，
，
；
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）小正方形的面积=边长×边长=（m-n）×（m-n）=（m-n）2；小正方形的面积=大正方形的面积-4×小长方形的面积=；
故答案为：；；
（2）根据小正方形的面积相等可得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示出小正方形的面积即可；
（2）根据小正方形的面积相等列出等式即可；
（3）①将代数式变形为，再将数据代入求解即可；
②将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
五、实践探究题
20．（2024八上·德惠期末）探究应用：
（1）计算：；
= ；
（2）（1）中的整式乘法计算结果很简洁，由（1）发现一个新的乘法公式：
（a—b）（ ）=（ ）（用含a、b的字母表示）；
（3）下列各项能用（2）中你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
（4）求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）C
（4）解：原式
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
（2）根据题（1）得。
故答案为：；。
（3）A、不符合乘法公式计算，不符合题意；
B、，式子中a=2m，所以a2=(2m)2，不符合题意；
C、符合乘法公式计算，符合题意；
D、式子中a=m，b=n，所以ab=mn，不符合题意；
故答案为：C。
（4）。
故答案为：。
【分析】（1）根据题意依据上方给的公式进行计算即可；
（2）依据题（1）乘法公式进行对应填空即可；
（3）根据每个选项中的式子进行比较即可得出答案；
（4）根据公式进行计算即可得出答案。
21．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到数学等式：。请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： 。
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则 。
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（3a+2b）（2a+b）的长方形，请参照上述拼接的方法，求x+y+z的值。
【答案】（1）
（2）30
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
拼图是面积为(3a+2b)(2a+b)的长方形，
∵(3a+2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2，
∴x=6，y=2，z=7，
∴x+y+z=6+2+7=15.
答：x+y+z的值为15.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据正方形面积计算方法可得图2的面积为（a+b+c）2；
根据各部分面积之和等于整个图形的面积可得图2的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴；
故答案为：；
（2）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝102﹣2（ab+ac+bc）
＝100﹣2×35
＝30；
故答案为：30；
【分析】（1）根据大正方形的面积等于3个正方形和6个长方形的面积即可解答；
（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可解答；
（3）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，利用整式的乘法计算（3a+2b）（2a+b），然后再比较系数则可求出x、y、z的值，最后再代入式子中，即可解答．
22．阅读材料：
类比是常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法.
①
∴（2x+3）+（3x-5）=5x-2.
③x+3
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：（2x+3）（x-5）.
（2）已知两个多项式的和为其中一个多项式为x -2，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为（x+2）、宽为（x-2）的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B（如图），若长方形B的周长是A 的周长的3倍，求长方形 B的面积（用含x的代数式表示）.
【答案】（1）解：
（2x+3）（x-5）=2x2-7x-15.
（2）解：
另一个多项为：.
（3）解：∵矩形B的周长是A周长的3倍，
∴2×（x+2+x-2）×3=2×（x+10+x-2+a），
整理可得：a=4x-8，
所以矩形B的面积为：（x+2+8）（x-2+4x-8）=5x2+40x-10.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可.
六、综合题
23．（2023八下·保定期末）【观察】观察下列各式，并回答下面的问题
；；
（1）【猜想】第个等式为 ；
（2）【验证】请验证以上结论；
（3）【运用】运用以上规律解方程：
．
【答案】（1）
（2）解：，
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
综上所述，成立．
（3）解：
等式左边：，
，
，
，
，
∴
∴，整理得，，
∴，，
当时，原方程有意义；当时，原方程无意义；
∴原方程的解为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵；；，
∴猜想第n个等式为： ，
故答案为：.
【分析】（1）观察所给的式子猜想求解即可；
（2）利用取值法，结合平方差公式等验证求解即可；
（3）根据（2）所求的规律先化简左边等式，再求出 ， 最后解方程求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第2章 整式的乘法 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·黄石港期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·蔡甸期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·盘龙期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019七下·合浦期中）已知： ，则p，q的值分别为（ ）
A．5，3 B．5， 3 C． 5，3 D． 5， 3
5．（2021八上·遂宁期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·望城期末）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
7．（2021七下·靖西期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如，，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．430 B．440 C．450 D．460
8．（2021八上·东坡期末）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
10．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题
11．（2020八上·通辽期末）计算： ．
12．（2020七下·顺德月考）已知a+b=7，ab=2，则a2+b2= ．
13．（2016八上·大同期末）若4x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
14．（2022七下·萧山期中）一个多项式与的积为，则 .
15．（2021七下·淳安期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2= ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3= .
三、计算题
16．计算：
（1）(2x-3y-1)(2x+3y-1)
（2）(2a+b)2(2a-b)2
17． 用简便方法计算：
（1）
（2）198 -396×202+202 .
四、解答题
18．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
19．（2023八上·长春月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
五、实践探究题
20．（2024八上·德惠期末）探究应用：
（1）计算：；
= ；
（2）（1）中的整式乘法计算结果很简洁，由（1）发现一个新的乘法公式：
（a—b）（ ）=（ ）（用含a、b的字母表示）；
（3）下列各项能用（2）中你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
（4）求的值.
21．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到数学等式：。请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： 。
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则 。
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（3a+2b）（2a+b）的长方形，请参照上述拼接的方法，求x+y+z的值。
22．阅读材料：
类比是常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法.
①
∴（2x+3）+（3x-5）=5x-2.
③x+3
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：（2x+3）（x-5）.
（2）已知两个多项式的和为其中一个多项式为x -2，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为（x+2）、宽为（x-2）的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B（如图），若长方形B的周长是A 的周长的3倍，求长方形 B的面积（用含x的代数式表示）.
六、综合题
23．（2023八下·保定期末）【观察】观察下列各式，并回答下面的问题
；；
（1）【猜想】第个等式为 ；
（2）【验证】请验证以上结论；
（3）【运用】运用以上规律解方程：
．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x2=2x2，A选项运算错误，A不符合题意；
B、3a3·2a2=6a5，B选项运算错误，B不符合题意；
C、2x4·（-3x4）=-6x8，C选项运算错误，C不符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D选项运算正确，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘逐项判断即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（a2）3·a5
=a6·a5
=a11；
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘、同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行运算即可.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据图形可得：阴影部分的面积=，
故答案为：D.
【分析】利用图形求出阴影部分的边长，再利用正方形的面积公式及完全平方公式的计算方法分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】由于 =2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3= ，
则p=-5，q=-3，
故答案为：D.
【分析】根据多项式乘以多项式法则，可得 =2 x2-5x-3，利用等式性质可得出p、q的值.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
【分析】根据“好数”定义，结合平方差公式可得两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数，再逐项计算即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵212 192＝（21＋19）（21 19）＝80，
∴在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（ 12＋32）＋（ 32＋52）＋（ 52＋72）＋……＋（ 192＋212）
＝212 12
＝（21＋1）（21 1）
＝22×20
＝440，
故答案为：B.
【分析】找出不超过80的正整数中所有的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
10．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】由平方差公式得：原式 .
【分析】利用平方差公式即可得.
12．【答案】45
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=7，ab=2，
∴a2+2ab+b2=49，
即a2+2×2+b2=49，
解得a2+b2=49﹣4=45．
故答案为：45．
【分析】将代数式a+b=7左右平方，再展开，将ab=2代入计算求解即可。
13．【答案】±20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25= ，
∴k=±20．
【分析】根据4x2+kx+25是一个完全平方式，及完全平方式的特点：①是三项式，②三项式中有两项是一个整式的平方，③第三项式是完全平方项底数积的2倍，但积的2倍即可以是加也可以是减 ，从而得出答案。
14．【答案】0
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵积中x的三次项的系数为1，
∴另一个多项式的一次项系数也是1，
∵积中有常数项为2，
∴另一个多项式为，
∴
∴，，
∴，
故答案为：0.
【分析】根据多项式的乘法法则由“积中x的三次项的系数为1”得另一个多项式的一次项系数也是1，由“积中有常数项为2”得另一个因式的常数项是-2，据此可得另一个多项式为（x-2），然后根据多项式的乘法法则算出三个多项式的乘积，最后根据多项式中每项的系数相同，可得结果.
15．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式=(2x-1-3y)(2x-1+3y)=(2x-1)2-(3y)2=-4x2-4x+1-9y2.
（2）解：原式= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）把2x-1看成一个整体，原式就可以看成平方差的形式，利用平方差公式计算即可；
（2）先利用积的乘方变形得到，再利用平方差公式先算底数，再用完全平方式展开即可.
17．【答案】（1）解：
=
=(99+1)2
=10000.
（2）解：1982-396×202+2022
=1982-2×198×202+2022
=（198-202）2
=16.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）将原式变形为992+2×99×1+1，再根据a22ab+b2=(ab)2进行计算即可；
（2）将原式变形为1982-2×198×202+2022，再根据a22ab+b2=(ab)2进行计算即可.
18．【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
19．【答案】（1）；
（2）
（3），，
，
；
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）小正方形的面积=边长×边长=（m-n）×（m-n）=（m-n）2；小正方形的面积=大正方形的面积-4×小长方形的面积=；
故答案为：；；
（2）根据小正方形的面积相等可得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示出小正方形的面积即可；
（2）根据小正方形的面积相等列出等式即可；
（3）①将代数式变形为，再将数据代入求解即可；
②将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
20．【答案】（1）；
（2）；
（3）C
（4）解：原式
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
（2）根据题（1）得。
故答案为：；。
（3）A、不符合乘法公式计算，不符合题意；
B、，式子中a=2m，所以a2=(2m)2，不符合题意；
C、符合乘法公式计算，符合题意；
D、式子中a=m，b=n，所以ab=mn，不符合题意；
故答案为：C。
（4）。
故答案为：。
【分析】（1）根据题意依据上方给的公式进行计算即可；
（2）依据题（1）乘法公式进行对应填空即可；
（3）根据每个选项中的式子进行比较即可得出答案；
（4）根据公式进行计算即可得出答案。
21．【答案】（1）
（2）30
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
拼图是面积为(3a+2b)(2a+b)的长方形，
∵(3a+2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2，
∴x=6，y=2，z=7，
∴x+y+z=6+2+7=15.
答：x+y+z的值为15.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据正方形面积计算方法可得图2的面积为（a+b+c）2；
根据各部分面积之和等于整个图形的面积可得图2的面积为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴；
故答案为：；
（2）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝102﹣2（ab+ac+bc）
＝100﹣2×35
＝30；
故答案为：30；
【分析】（1）根据大正方形的面积等于3个正方形和6个长方形的面积即可解答；
（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可解答；
（3）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，利用整式的乘法计算（3a+2b）（2a+b），然后再比较系数则可求出x、y、z的值，最后再代入式子中，即可解答．
22．【答案】（1）解：
（2x+3）（x-5）=2x2-7x-15.
（2）解：
另一个多项为：.
（3）解：∵矩形B的周长是A周长的3倍，
∴2×（x+2+x-2）×3=2×（x+10+x-2+a），
整理可得：a=4x-8，
所以矩形B的面积为：（x+2+8）（x-2+4x-8）=5x2+40x-10.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可.
23．【答案】（1）
（2）解：，
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
当时，等式左边：，等式右边：，
∴左边等于右边，符合题意；
综上所述，成立．
（3）解：
等式左边：，
，
，
，
，
∴
∴，整理得，，
∴，，
当时，原方程有意义；当时，原方程无意义；
∴原方程的解为．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵；；，
∴猜想第n个等式为： ，
故答案为：.
【分析】（1）观察所给的式子猜想求解即可；
（2）利用取值法，结合平方差公式等验证求解即可；
（3）根据（2）所求的规律先化简左边等式，再求出 ， 最后解方程求解即可。
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