2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第3章 因式分解 单元测试 A卷
一、选择题
1．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
2．（2024八上·从江月考） 下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．2x2-8=2(x2-4)
C．a2-a=a(a-1) D．a2+2a+1=a(a+2)+1
3．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
5．下面是四位同学将分解因式的结果，其中正确的是 （ ）
①2x(xa-3ab)；
②2xa(x-3b+1)；
③2x(xa-3ab+1)；
④2x(-xa+3ab-1).
A．① B．② C．③ D．④
6．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
8．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
9．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
二、填空题
11．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
12．如果多项式2x+m 可以分解为2(x+2)，那么m的值为 .
13．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
14． 多项式与 的公因式为 .
15．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
三、计算题
16．（2024八上·浏阳期末）因式分解：
（1）；
（2）．
17．（2024八上·望城期末）因式分解：
（1）；
（2）．
四、解答题
18．现有三个多项式： 请你选择两个进行加法运算，并把结果分解因式.
19．（2024八上·德惠期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
20．（2024八上·临洮月考） 已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
五、实践探究题
21．阅读材料：
因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0.
解决问题：
（1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值.
（2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值.
（3）在(2)的条件下，把多项式分解因式.
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
六、综合题
23．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
24．（2023七下·曲阳期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A：m2+n2=(m+n)(m-n)，不能分解，不符合题意；
B：2x2-8=2(x2-4)，没有分解彻底，不符合题意；
C：a2-a=a(a-1)，分解正确，符合题意；
D：a2+2a+1=a(a+2)+1，不属于因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用因式分解的定义与方法进行逐一判断即可求解.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
【分析】先将第一个多项式利用平方差公式进行因式分解，再将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，从而再找出相同因式即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =2x（ xa-3ab+1 ） .
故答案为：C.
【分析】逆用乘法分配律直接提各项的公因式2x，然后用多项式的各项分别除以2x，再把所得的商写在一起作为另一个因式即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
【分析】观察可得多项式各项的公因式为(a-b)，从而用多项式的各项分别除以公因式(a-b)，将各项剩下的商写在一起就得到另一个因式.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
9．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①16x2-8x=8x（2x-1）；
②(x-1)2-4(x-1)+4 =（x-1-2）2=（x-3）2；
③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 =[（x+1）2-2x]2=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x =-（ 4x2-4x +1）=-（2x-1）2，
将各个多项式分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④.
故答案为：C.
【分析】将①中的多项式利用提取公因式法分解因式，将②③④中的多项式分别利用完全平方公式分解因式，进而观察分解结果即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设“幸福数”为（2n+1）2-（2n-1）2，
则（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
故“幸福数”是8的倍数，
故答案为：D.
【分析】两个连续的奇数，我们可以设为（2n+1）和（2n-1），根据平方差公式列式计算可知幸福数是8的倍数，从而得出答案.
11．【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
12．【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2(x+2）=2x+4，
又∵多项式2x+m可以分解为2(x+2)，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将一个多项式分解为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此利用乘法分配律算出“2(x+2)”的积，即可比较得出m的值.
13．【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
14．【答案】x+2y
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），x2+4xy+4y2=（x+2y）2，
∴x2-4y2与x2+4xy+4y2的公因式为x+2y.
故答案为：x+2y.
【分析】利用平方差公式和完全平方公式把原式进行因式分解，即可得出答案.
15．【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
16．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接提公因式即可得出结果；
（2）首先提公因式a，再利用平方差公式，即可得出因式分解的最后结果。
17．【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
18．【答案】解：；
；
.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】分三种情况：①第一个个与第二个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用提取公因式法分解因式即可；
②第一个个与第三个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用平方差公式法分解因式即可；
③第二个个与第三个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用完全平方公式法分解因式即可.
19．【答案】（1）C
（2）解：
（3）解：设，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）不彻底，原式；
【分析】（1）根据完全平方公式结合题意即可求解；
（2）根据题意运用因式分解即可求解；
（3）设，进而结合题意进行因式分解即可求解。
20．【答案】（1）解：A＝＝8m3﹣4m+4m＝8m3．当m＝﹣1时原式＝8×（﹣1）3＝﹣8．
（2）解：①当A＝8m3，B＝8m时，C＝A﹣B＝8m3﹣8m＝8m（m+1）（m﹣1）．②能
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式法则对整式A进行化简，再将m的值代入计算即可求解；
（2） ① 根据A、B，先求出C，再利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可求解；
② 根据化简的结果为 C＝8m（m+1）（m﹣1），需讨论m的奇偶性，当m为奇数，即m=2n+1（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=8（2n+1）(2n+2)(2n)=32n(n+1)(2n+1),此时能被16整除；
当m为偶数，即m=2n（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=16n（2n+1）(2n-1),此时能被16整除；
综上所述，整式C能被16整除.
21．【答案】（1）解：∵x-3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴当x=3时，x2+kx+12=0，
∴9+3k+12=0，
解得k=-7，
∴k的值为-7；
（2）解：∵x-3与x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，
∴
解得
∴m的值为-7，n的值为0；
（3）解：∵m=-7，n=0，
∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x，
∴x3-7x2+12x
=x(x2-7x+12)
=x(x-3)(x-4).
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当x=3时，x2+kx+12=0，从而将x=3代入方程可求出k的值；
（2）由阅读材料可得，当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将x=3和x=4分别代入方程可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值；
（3）将（2）中求出的m、n的值代入x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法进行第二次分解可.
22．【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
23．【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
24．【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状.
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第3章 因式分解 单元测试 A卷
一、选择题
1．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
2．（2024八上·从江月考） 下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．2x2-8=2(x2-4)
C．a2-a=a(a-1) D．a2+2a+1=a(a+2)+1
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A：m2+n2=(m+n)(m-n)，不能分解，不符合题意；
B：2x2-8=2(x2-4)，没有分解彻底，不符合题意；
C：a2-a=a(a-1)，分解正确，符合题意；
D：a2+2a+1=a(a+2)+1，不属于因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用因式分解的定义与方法进行逐一判断即可求解.
3．（2024八上·汉阳期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：选项A，B，D中等号的右边都不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
选项C中等号的右边是几个整式积的形式，是因式分解，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解逐项分析即可得出答案.
4．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
【分析】先将第一个多项式利用平方差公式进行因式分解，再将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，从而再找出相同因式即可.
5．下面是四位同学将分解因式的结果，其中正确的是 （ ）
①2x(xa-3ab)；
②2xa(x-3b+1)；
③2x(xa-3ab+1)；
④2x(-xa+3ab-1).
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =2x（ xa-3ab+1 ） .
故答案为：C.
【分析】逆用乘法分配律直接提各项的公因式2x，然后用多项式的各项分别除以2x，再把所得的商写在一起作为另一个因式即可.
6．多项式提取公因式后，得到的另一个因式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： =
=(a-b)(x2+x+1).
故答案为：B.
【分析】观察可得多项式各项的公因式为(a-b)，从而用多项式的各项分别除以公因式(a-b)，将各项剩下的商写在一起就得到另一个因式.
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
9．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①16x2-8x=8x（2x-1）；
②(x-1)2-4(x-1)+4 =（x-1-2）2=（x-3）2；
③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 =[（x+1）2-2x]2=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x =-（ 4x2-4x +1）=-（2x-1）2，
将各个多项式分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④.
故答案为：C.
【分析】将①中的多项式利用提取公因式法分解因式，将②③④中的多项式分别利用完全平方公式分解因式，进而观察分解结果即可得出答案.
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设“幸福数”为（2n+1）2-（2n-1）2，
则（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
故“幸福数”是8的倍数，
故答案为：D.
【分析】两个连续的奇数，我们可以设为（2n+1）和（2n-1），根据平方差公式列式计算可知幸福数是8的倍数，从而得出答案.
二、填空题
11．（2024八下·汕头开学）因式分解2x2- 12x +18的结果是
【答案】2 (x- 3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式因式分解，即可得解．
12．如果多项式2x+m 可以分解为2(x+2)，那么m的值为 .
【答案】4
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2(x+2）=2x+4，
又∵多项式2x+m可以分解为2(x+2)，
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】将一个多项式分解为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此利用乘法分配律算出“2(x+2)”的积，即可比较得出m的值.
13．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
14． 多项式与 的公因式为 .
【答案】x+2y
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），x2+4xy+4y2=（x+2y）2，
∴x2-4y2与x2+4xy+4y2的公因式为x+2y.
故答案为：x+2y.
【分析】利用平方差公式和完全平方公式把原式进行因式分解，即可得出答案.
15．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
三、计算题
16．（2024八上·浏阳期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接提公因式即可得出结果；
（2）首先提公因式a，再利用平方差公式，即可得出因式分解的最后结果。
17．（2024八上·望城期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
四、解答题
18．现有三个多项式： 请你选择两个进行加法运算，并把结果分解因式.
【答案】解：；
；
.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】分三种情况：①第一个个与第二个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用提取公因式法分解因式即可；
②第一个个与第三个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用平方差公式法分解因式即可；
③第二个个与第三个相加，先根据整式加法法则算出两个多项式的和，再利用完全平方公式法分解因式即可.
19．（2024八上·德惠期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）解：
（3）解：设，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）不彻底，原式；
【分析】（1）根据完全平方公式结合题意即可求解；
（2）根据题意运用因式分解即可求解；
（3）设，进而结合题意进行因式分解即可求解。
20．（2024八上·临洮月考） 已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
【答案】（1）解：A＝＝8m3﹣4m+4m＝8m3．当m＝﹣1时原式＝8×（﹣1）3＝﹣8．
（2）解：①当A＝8m3，B＝8m时，C＝A﹣B＝8m3﹣8m＝8m（m+1）（m﹣1）．②能
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式法则对整式A进行化简，再将m的值代入计算即可求解；
（2） ① 根据A、B，先求出C，再利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可求解；
② 根据化简的结果为 C＝8m（m+1）（m﹣1），需讨论m的奇偶性，当m为奇数，即m=2n+1（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=8（2n+1）(2n+2)(2n)=32n(n+1)(2n+1),此时能被16整除；
当m为偶数，即m=2n（n为整数）时，
C＝8m（m+1）（m﹣1）=16n（2n+1）(2n-1),此时能被16整除；
综上所述，整式C能被16整除.
五、实践探究题
21．阅读材料：
因为，这说明多项式有一个因式为x1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式的值为0.
解决问题：
（1）若x3是多项式的一个因式，求 k 的值.
（2）x-3和x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值.
（3）在(2)的条件下，把多项式分解因式.
【答案】（1）解：∵x-3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴当x=3时，x2+kx+12=0，
∴9+3k+12=0，
解得k=-7，
∴k的值为-7；
（2）解：∵x-3与x-4时多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，
∴
解得
∴m的值为-7，n的值为0；
（3）解：∵m=-7，n=0，
∴x3+mx2+12x+n=x3-7x2+12x，
∴x3-7x2+12x
=x(x2-7x+12)
=x(x-3)(x-4).
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由阅读材料可得，当x=3时，x2+kx+12=0，从而将x=3代入方程可求出k的值；
（2）由阅读材料可得，当x=3和x=4时，x3+mx2+12x+n=0，从而将x=3和x=4分别代入方程可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值；
（3）将（2）中求出的m、n的值代入x3+mx2+12x+n后，先利用提取公因式法分解因式，再利用十字相乘法进行第二次分解可.
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
六、综合题
23．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
24．（2023七下·曲阳期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)通过观察将 9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn 进行分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将 2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0 的左侧进行因式分解得出 （a-b）2+（a-c）2=0 ，根据平方数的非负性，得到 a-b=0，a-c=0 ，从而得出 a=b=c ，判断出△ABC的形状.
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