2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第3章 因式分解 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
3．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
6．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·鼓楼期末）计算3×（ ﹣2018×（ ）+1的结果等于（ ）
A．﹣2017 B．﹣2018 C．﹣2019 D．2019
二、填空题
9．（2022八上·右玉期末）因式分解： ．
10．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
11．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
12．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
14．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
三、计算题
15．（2024八上·芙蓉期末）分解因式：
（1）；
（2）
16．分解因式：
（1）
（2）(a+b) -6(a+b)+9.
（3）
四、解答题
17．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
19．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
五、实践探究题
20．（2024八上·博罗期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
（3）图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子因式分解：
① ；
② ．
21．阅读材料：
分解因式
解：设 a+b=x，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.
“换元法”是一种重要的数学方法，不少问题能用“换元法”解决.
请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
22．（2023七上·奉贤期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式，必定有f（ ▲ ）＝0；
（3）请你用“试根法”分解因式：．
六、综合题
23．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
24．（2023七下·柯桥期末）给出三个多项式：①，②，③．
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解：
（2）当，时，求第（1）问所得的代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、 正确，故不符合题意；
C、 正确，故不符合题意；
D、∵-a2-12a-9不是一个完全平方式，∴， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式可判断A、B选项；先利用提取公因式法分解，再利用完全平方公式进而第二次分解因式后可判断C选项；由于-a2-12a-9不是一个完全平方式，所以不能使用完全平方公式分解，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就可以利用完全平方公式分解因式，据此逐项判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3× ﹣2018×（ ）+1
＝ ×（3× ﹣2018）+1
＝﹣ × +1
＝﹣ +1
＝﹣2019+1
＝﹣2018
故答案为：B．
【分析】先利用提公因式法把前两项提取公因式，再利用平方差公式计算，即可求出原式的值为-2018.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
10．【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
12．【答案】3(x-3)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3(x-1)(x-9)=3(x2-10x+9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4) =3(x2-6x+8)=3x2-18x+24，
∴原多项式为3x2-18x+27，
∴3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
故答案为：3(x-3)2.
【分析】将3(x-1)(x-9)按多项式的乘法法则展开可得二次项及常数项；将3(x-2)(x-4)按多项式的乘法法则展开可得二次项及一次项，从而得出原多项式，进而将原多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解可得答案.
13．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
14．【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）平方差公式，据此求解；
（2）先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解．
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=3y(x2-2x+1)=3y(x-1)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
17．【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
18．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
19．【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
20．【答案】（1）解：∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，
∴
（2）解：∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，
∴，
∵、面积分别为19、68，
∴，，
由②-①×2，得2ab=30，
∴ab=15；
（3）解：；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(3)∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，
∴，
∴①，
②，
故答案为：①；.
【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去阴影部分的面积即可.
（2）根据图形，先求出图1，图2中空白部分面积、，联立列出关于a，b的方程组并求解即可.
（3）根据图形，将及写成含a、b的整式乘积的形式，再进行因式分解即可.
21．【答案】（1）解：原式=（m+n）2-18（m+n）+92
=（m+n-9）2.
（2）解：原式=（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+16
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+42
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）把m+n 看作是一个整体，可以看出该式符合完全平方公式，然后用完全平方公式分解因式即可得.
（2）先把x2-4x看作一个整体，先展开，得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4，进而合并同类项得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+16，16=42，（x2-4x）看做整体 符合完全平方公式即可得到：（x2-4x+4）2，再观察括号里面的x2-4x+4也符合完全平方公式为（x-2）2，综合起来最终为：（x-2）4.
22．【答案】（1）-4；-4
（2）
（3）解：由（2）可知因式分解后必有因式，
设，
等式右边，
，
=．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
(1)
∴p-1=-5， -q=4， q-p=0
∴p=-4， q=-4
故答案为：-4，-4
（2） 对于一元多项式 ，m=1+3=4， n=-5+9=4
∵m=n，∴
故答案为：-1
【分析】
（1）展开 ，根据对应项相等可求出p，q的值。
（2）考查多项式中m，n的值，根据m和n间的关系判断 还是（1） 。
（3）根据（2）中结果得出一个因式为x+1，然后求出另一因式 。特别要注意，因式 是否还可以再分解，需要进一步判断。
23．【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
24．【答案】（1）解：得：；
得：；
得：．
（2）解：当，时，
；
；
．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则以及平方差公式、完全平方公式、提取公因式法进行分解即可；
（2）将a=2、b=-3代入（1）的结果中进行计算即可.
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第3章 因式分解 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024八上·盘龙期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵属于因式分解，∴A正确，符合题意；
B、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴B不正确，不符合题意；
C、∵属于整式的乘法，不属于因式分解，∴C不正确，不符合题意；
D、∵不属于因式分解，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
2．若多项式因式分解后有一个因式为x-2y，则另一个因式为（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y-1 C．x-2y+1 D．x-2y-1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】将原式重新分组，进而理由完全平方公式和提公因式法因式分解，即可求解.
3．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、正确，故不符合题意；
B、 正确，故不符合题意；
C、 正确，故不符合题意；
D、∵-a2-12a-9不是一个完全平方式，∴， 故符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式可判断A、B选项；先利用提取公因式法分解，再利用完全平方公式进而第二次分解因式后可判断C选项；由于-a2-12a-9不是一个完全平方式，所以不能使用完全平方公式分解，据此可判断D选项.
4．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就可以利用完全平方公式分解因式，据此逐项判断得出答案.
7．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
8．（2019八下·鼓楼期末）计算3×（ ﹣2018×（ ）+1的结果等于（ ）
A．﹣2017 B．﹣2018 C．﹣2019 D．2019
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3× ﹣2018×（ ）+1
＝ ×（3× ﹣2018）+1
＝﹣ × +1
＝﹣ +1
＝﹣2019+1
＝﹣2018
故答案为：B．
【分析】先利用提公因式法把前两项提取公因式，再利用平方差公式计算，即可求出原式的值为-2018.
二、填空题
9．（2022八上·右玉期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
10．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
11．已知关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解，则m的值为
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵关于a的多项式a2+a+m(m为常数)可以用完全平方公式直接进行因式分解 ，
∴a2+a+m是一个完全平方式，
∵，
∴m=.
故答案为：.
【分析】根据乘积2倍项和已知平方项确定出这两个数为a与，再根据完全平方式求解即可.
12．夏老师发现，两位同学将一个二次三项式分解因式时，聪聪同学因看错了一次项而分解成3(x-1)·(x-9)，江江同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)．那么，聪明的你，通过以上信息可以知道，原多项式应该是被因式分解为 .
【答案】3(x-3)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3(x-1)(x-9)=3(x2-10x+9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4) =3(x2-6x+8)=3x2-18x+24，
∴原多项式为3x2-18x+27，
∴3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
故答案为：3(x-3)2.
【分析】将3(x-1)(x-9)按多项式的乘法法则展开可得二次项及常数项；将3(x-2)(x-4)按多项式的乘法法则展开可得二次项及一次项，从而得出原多项式，进而将原多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解可得答案.
13．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
14．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
三、计算题
15．（2024八上·芙蓉期末）分解因式：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）平方差公式，据此求解；
（2）先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解．
16．分解因式：
（1）
（2）(a+b) -6(a+b)+9.
（3）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=3y(x2-2x+1)=3y(x-1)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
四、解答题
17．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
18．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
19．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
五、实践探究题
20．（2024八上·博罗期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
（3）图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子因式分解：
① ；
② ．
【答案】（1）解：∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，
∴
（2）解：∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，
∴，
∵、面积分别为19、68，
∴，，
由②-①×2，得2ab=30，
∴ab=15；
（3）解：；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(3)∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，
∴，
∴①，
②，
故答案为：①；.
【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去阴影部分的面积即可.
（2）根据图形，先求出图1，图2中空白部分面积、，联立列出关于a，b的方程组并求解即可.
（3）根据图形，将及写成含a、b的整式乘积的形式，再进行因式分解即可.
21．阅读材料：
分解因式
解：设 a+b=x，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.
“换元法”是一种重要的数学方法，不少问题能用“换元法”解决.
请用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=（m+n）2-18（m+n）+92
=（m+n-9）2.
（2）解：原式=（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+16
=（x2-4x）2+8（x2-4x）+42
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）把m+n 看作是一个整体，可以看出该式符合完全平方公式，然后用完全平方公式分解因式即可得.
（2）先把x2-4x看作一个整体，先展开，得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+12+4，进而合并同类项得到（x2-4x）2+8（x2-4x）+16，16=42，（x2-4x）看做整体 符合完全平方公式即可得到：（x2-4x+4）2，再观察括号里面的x2-4x+4也符合完全平方公式为（x-2）2，综合起来最终为：（x-2）4.
22．（2023七上·奉贤期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式，必定有f（ ▲ ）＝0；
（3）请你用“试根法”分解因式：．
【答案】（1）-4；-4
（2）
（3）解：由（2）可知因式分解后必有因式，
设，
等式右边，
，
=．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
(1)
∴p-1=-5， -q=4， q-p=0
∴p=-4， q=-4
故答案为：-4，-4
（2） 对于一元多项式 ，m=1+3=4， n=-5+9=4
∵m=n，∴
故答案为：-1
【分析】
（1）展开 ，根据对应项相等可求出p，q的值。
（2）考查多项式中m，n的值，根据m和n间的关系判断 还是（1） 。
（3）根据（2）中结果得出一个因式为x+1，然后求出另一因式 。特别要注意，因式 是否还可以再分解，需要进一步判断。
六、综合题
23．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
24．（2023七下·柯桥期末）给出三个多项式：①，②，③．
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解：
（2）当，时，求第（1）问所得的代数式的值．
【答案】（1）解：得：；
得：；
得：．
（2）解：当，时，
；
；
．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据合并同类项法则以及平方差公式、完全平方公式、提取公因式法进行分解即可；
（2）将a=2、b=-3代入（1）的结果中进行计算即可.
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