2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第4章 相交线与平行线 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2022七下·兴隆期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
2．（2021七下·哈尔滨开学考）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
3．（2024七上·长沙期末）如图，直线DE与BC相交于点O，与互余，，则的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（2024八上·青羊期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A． B． C． D．
5．（2024七上·黔西南期末）如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝（ ）
A．70° B．60° C．55° D．45°
6．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
8．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021八上·安庆开学考）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
10．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
二、填空题
11．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点 B，D重合，若固定三角形 AOB，改变三角尺ACD的位置（其中 A 点位置始终不变），当∠BAD= 时，CD∥AB。
12．如图，已知直线a⊥c，b⊥c.若∠1=110°，则∠2 的度数为 °.
13．如图，一块白色正方形台布，边长为1.8m，上面横、竖各有两道等宽的黑条，黑条的宽度为0.2m，则白色部分的面积为 m .
14．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为 .
15．（2023七下·云阳期中）如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E＝ ．
16．（2023七下·承德期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．
三、作图题
17．（2024七上·吴兴期末）如图，表示一条弯曲的小河，表示一条笔直的公路，点，表示两个村庄.
（1）在小河哪处架桥可以使村和村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点；
（2）为了方便村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点.
四、解答题
18．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
19．如图，已知∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
20．如图，已知点 A 在EF 上，点 P，Q在 BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ
（1）试说明：EF∥BC.
（2）若 FP⊥AC，∠2+∠C=90°，试说明：∠1=∠B.
（3）若∠3+∠4=180°，∠BAF=3∠F-20°，求∠B 的度数.
五、实践探究题
21．（2024七上·南关期末）
（1）【猜想】如图，，点在直线、之间，连结、若，，则的大小为 度
（2）【探究】如图，、、交于点，探究、、之间的数量关系．
（3）【拓展】如图，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度
22．（2024七上·深圳期末）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转．
（1）如图，若，则 ， ；
（2）若射线是的角平分线，且．
若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示
在旋转过程中，若，求此时的值．
六、综合题
23．（2024七上·黔西南期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，定义A，B，C，D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转：
（1）填空：如图2，A，O，B三点共线，且∠AOC＝∠BOC，则∠AOC＝ °；
（2）第三节腿部运动中，如图3，洋洋发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且∠AOD：∠BOC＝3：2．他经过计算发现，∠AOC﹣∠BOD的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
（3）第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且∠COD＝30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为50°/s，OB旋转速度为25°/s，当OB旋转到与OD重合时，运动停止，如图4．
①运动停止时，直接写出∠AOD＝ ▲ ；
②请帮助乐乐求解运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系．
24．（2023七下·雅安期末）已知直线，，分别是直线，上的一点，为平面上一点，为延长线上的一点，交于点F，和的角平分线，相交于点．
（1）如图1，
①若，，求的度数．
②试说明：．
（2）如图2，当点N位于点F的左侧时，若试求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
2．【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解答】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
3．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
∠COE=∠BOD=35°，（对顶角相等）
与互余，
∠COE+∠AOE=90°，
即：35°+∠AOE=90°，
∠AOE=55°.
故答案为：C.
【分析】由对顶角相等可得∠COE=∠BOD=35°，再根据余角的性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；内错角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠1=40°，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-40°=140°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2=∠BOC=70°，
故答案为：A.
【分析】先利用邻补角求出∠BOC的度数，再利用角平分线定义求出∠2=∠BOC=70°即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
9．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可。
10．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
11．【答案】150°或30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图①所示，
当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图②所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，150°.
故答案为150°或30°.
【分析】分两种情况，根据平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
12．【答案】110
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴a∥b，
又∵∠1=110°，
∴∠3=110°，
∴∠2=∠3=110°，
故答案为：110．
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得a∥b，再根据二直线平行，同位角相等得到∠3=∠1=110°，从而根据对顶角相等得到∠2．
13．【答案】1.96
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：台布条纹平移后为：
∴白色部分的面积为：，
故答案为：1.96.
【分析】将原图形通过平移变形，进而即可求解.
14．【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BC于点F，
∵AB∥DE，
∴∠DFB=∠B=70°，
∴∠DFC=180°-∠DFB=110°，
又 ∠FDC=180°-∠EDC=40°
∴∠BCD=180°-∠DFC-∠FDC=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长ED由两直线平行，内错角相等得∠BFD的度数，再根据邻补角互补得到∠DFC和∠FDC度数，最后根据三角形内角和180°求出处∠BCD度数.
15．【答案】20°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】如图，延长EB交CD于点G，
∵BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，
∴∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，
∵∠CGE是△DGE的一个外角，
∴∠CGE=∠E+∠CDE，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠AGE=∠ABF，
∴∠CDE=∠ABF-∠E，
∴∠EDF=∠ABF-∠E，
∵∠BME=180°-∠E-∠EBF=180°-∠E-∠ABF，
∴∠DMF=180°-∠E-∠ABF，
∵∠F+∠MDF+∠DMF=180°，
∴40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，
解得：∠E=20°，
故答案为：20°。
【分析】延长EB交CD于点G，根据角平分线的定义可得∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，再结合∠F+∠MDF+∠DMF=180°，可得40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，再求出∠E=20°即可。
16．【答案】60；45或105
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠MAB+∠BAN=180°， ，
∴∠BAN=180°×=60°，∠BAM=180°-∠BAN=120°，
当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动x秒时，两灯的光线AC∥BD，如图，
∵，
∴∠ABP=∠BAM=120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∴120°-2x=120°-（45+x），
解得：x=45，
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN前，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴2x-120°=45+x-120，解得x=45，不合题意，舍去；
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN后，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴60°-（2x-180°）=45+x-120°，解得：x=105，
综上可知：当灯A的光线转动45或105秒时， 两灯的光线互相平行．
故答案为：60，45或105.
【分析】由∠MAB+∠BAN=180°，且，可求出∠BAN=60°，∠BAM=120°，设灯A的光线转动x秒时AC∥BD，根据CA与BD相遇前和相遇后可能存在的平行情况，然后利用平行线的性质进行解答即可.
17．【答案】（1）解：如图，P'为小河上任意一点，则AP'+BP'≥AB.
∴在AB连线与小河交点处架桥，可以使路程最短.P点即桥的位置.
（2）解：如图，因为A点到该公交站的距离最短，所以过A作AQ⊥m，垂足为Q.则点Q即为公交站位置；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，当P'与P重合时得到最小值.
（2）垂线段最短.
18．【答案】（1）解：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，=35°.
（2）证明：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCF，
∴DE∥CF.
（3）解：由(2)知，DE∥CF，
∴∠ADB=∠ACF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠BCF，
∴∠ADB=2∠BCF，
由(1)知∠ABD=∠BCF，
∴∠ADB=2∠ABD，
∵∠ADB=k∠ABD，
∴k=2.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，最后根据角平分线的定义即可得解；
（2）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DBC=∠BCF，即可判定DE∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（3）结合（1）（2）求解即可．
19．【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠EFC+∠DFE=180°，∠EFC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，
∵∠BDC=3∠B，∠BDC+∠ADC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BDC=3∠B=108°，
∵ ∠EFC+∠BDC=180° ，
∴∠EFC=180°-∠BDC=72°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）DE∥BC，理由如下：由邻补角和已知，根据同角的补角相等得∠BDC=∠DFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥EF，再由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠ADE，结合∠DEF=∠B，推出∠B=∠ADE，进而根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠B，由角平分线的定义得∠ADC=2∠ADE=2∠B，进而根据已知及平角定义可求出∠B=36°，∠BDC=3∠B=108°，∠EFC=180°-∠BDC=72°.
20．【答案】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而根据两直线平行，同位角相等，可证明结论；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥FP，根据二直线平行，同旁内角互补并结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质及等量代换可得∠B＝∠F，即可求解．
21．【答案】（1）65
（2）解：过点作，如图所示：
，，
，
，，
，
，
即；
（3）38
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点作，如图所示：
，，
，
，，
，
即，
，，
，
故答案为：．
（3）过点作，如图所示：
设，，
平分，
，，
平分，
，
，，，
，
，，，，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
【分析】（1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解；
（3）过点作，设，，进而根据角平分线的性质得到，，再结合题意运用平行公理推论得到，从而根据平行线的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算即可求解。
22．【答案】（1）；
（2）解：因为，，
所以，
因为射线是的角平分线，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为，，
所以，
因为平分，
所以， ，
所以，，
因为，
所以，
解得，
综上所述，若，的值为或．
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得：OA=OB，∠BOA=90°，∠AOQ=∠MOB=α.
当∠MOB=α=26°，MN⊥PQ，
∴∠BOP=90° -α=64°.
∵∠AOM+∠MOB=∠AOB=90°， ∠MOB+∠BOP=∠MOP=90°，
∴∠AOM=∠BOP.
∴∠AOM+∠BOQ=∠BOP+∠BOQ=∠POQ= 180°.
故答案为：64°；180°.
【分析】（1）根据题意得到∠BOP=90° -∠MOB，∠AOM=∠BOP，即可解决问题；
（2）①∠BON=180°-∠BOM，所以根据OC平分∠BOM，∠POC=β，表示出∠BOM即可解决问题；
②旋转过程中，有两种情况都满足∠AOC=2∠AOM，要分别讨论. 当OA位于∠QOM内部时，∠AOC=2∠MOC=2∠BOC，得∠AOM=∠MOC=∠BOC；当OA位于∠POM内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC，∠BOC=∠MOC=90°-∠POC；∠AOM=∠BOM-∠AOB，结合角平分线的定义利用角的和差倍变换即可表示出两个角的度数.
23．【答案】（1）90
（2）解：如图3，
∵∠AOD：∠BOC＝3：2，
设∠AOD＝3α，则∠BOC＝2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2α，
∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣3α，
∴∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣2α﹣（180°﹣3α）＝60°，
∴小田的发现是正确的，这个定值是60°．
（3）解：如图4，∵∠COD＝30°，
∴∠COE＝∠EOD＝15°，∠BOD＝∠AOC＝75°，
设运动时间为t s，则t＝75°÷25°＝3，则0≤t≤3．
①运动停止时，即t＝3时，如图4，OA旋转的角度为50°×3＝150°，
∴∠AOD＝75°，
故答案为：75°．
②当点C，O，A三点共线时，t＝（180°﹣75°）÷50°＝2.1；
∴当0≤t≤2.1时，∠AOC＝75°+50°t，∠BOE＝90°﹣25°t，
∴∠AOC+2∠BOE＝255°；
当2.1＜t≤3时，∠AOC＝180°﹣50°（t﹣2.1）＝285°﹣50°t，
∠BOE＝90°﹣25°t，
∴∠AOC﹣2∠BOE＝105°．
综上，当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE＝255°；当2.1＜t≤3时，∠AOC﹣2∠BOE＝105°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角
【解析】【解答】（1）∵A、O、B三点共线，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=×180°=90°，
故答案为：90°.
【分析】（1）利用邻补角的定义及∠AOC=∠BOD，求出∠AOC=×180°=90°即可；
（2）设∠AOD＝3α，则∠BOC＝2α，再利用角的运算求出AOC﹣∠BOD＝180°﹣2α﹣（180°﹣3α）＝60°， 从而得解；
（3）①利用角的运算求出 ∠AOD＝75°即可；
②分类讨论：第一种情况： 当0≤t≤2.1时；第二种情况：当2.1＜t≤3时，再分别列出角的运算求解即可.
24．【答案】（1）解：①∵和的角平分线交于点，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
②过点作，如图：
∵，，
∴，
∴，，即，
∵平分，
∴，
∵，
∵，
∴，
在中，，
即．
（2）解：过作，如图：
∵，，
∴，
∴，，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①先利用角的运算求出，，再利用三角形的内角和求出即可；
②过点作，利用平行线的性质及等量代换可得，再结合，再求出，可得 ；
（2）过作，根据角平分线的定义可得，， 再利用角的运算可得，再结合，求出即可.
1 / 12023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第4章 相交线与平行线 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2022七下·兴隆期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】如图：
∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
2．（2021七下·哈尔滨开学考）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解答】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
3．（2024七上·长沙期末）如图，直线DE与BC相交于点O，与互余，，则的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
∠COE=∠BOD=35°，（对顶角相等）
与互余，
∠COE+∠AOE=90°，
即：35°+∠AOE=90°，
∠AOE=55°.
故答案为：C.
【分析】由对顶角相等可得∠COE=∠BOD=35°，再根据余角的性质求解即可.
4．（2024八上·青羊期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；内错角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求出答案.
5．（2024七上·黔西南期末）如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝（ ）
A．70° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠1=40°，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-40°=140°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠2=∠BOC=70°，
故答案为：A.
【分析】先利用邻补角求出∠BOC的度数，再利用角平分线定义求出∠2=∠BOC=70°即可.
6．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
7．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
8．如图，AB∥CD，将一副直角三角尺按如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。有下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】①由题意得∠G=∠MPN=90°，∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH=180°，FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故③正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠PMN=45°，
∴∠AEG=∠PMN，故④正确。综上所述，正确的有4个.
故答案为D.
【分析】①利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③利用平行公理可得FH∥CD，从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④∠AEG、∠GEF和∠BEF，加起来为平角，可求出∠AEG，从而可判断．
9．（2021八上·安庆开学考）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可。
10．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
二、填空题
11．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点 B，D重合，若固定三角形 AOB，改变三角尺ACD的位置（其中 A 点位置始终不变），当∠BAD= 时，CD∥AB。
【答案】150°或30°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图①所示，
当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图②所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，150°.
故答案为150°或30°.
【分析】分两种情况，根据平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
12．如图，已知直线a⊥c，b⊥c.若∠1=110°，则∠2 的度数为 °.
【答案】110
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴a∥b，
又∵∠1=110°，
∴∠3=110°，
∴∠2=∠3=110°，
故答案为：110．
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得a∥b，再根据二直线平行，同位角相等得到∠3=∠1=110°，从而根据对顶角相等得到∠2．
13．如图，一块白色正方形台布，边长为1.8m，上面横、竖各有两道等宽的黑条，黑条的宽度为0.2m，则白色部分的面积为 m .
【答案】1.96
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：台布条纹平移后为：
∴白色部分的面积为：，
故答案为：1.96.
【分析】将原图形通过平移变形，进而即可求解.
14．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为 .
【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长ED交BC于点F，
∵AB∥DE，
∴∠DFB=∠B=70°，
∴∠DFC=180°-∠DFB=110°，
又 ∠FDC=180°-∠EDC=40°
∴∠BCD=180°-∠DFC-∠FDC=30°.
故答案为：30°.
【分析】延长ED由两直线平行，内错角相等得∠BFD的度数，再根据邻补角互补得到∠DFC和∠FDC度数，最后根据三角形内角和180°求出处∠BCD度数.
15．（2023七下·云阳期中）如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E＝ ．
【答案】20°
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】如图，延长EB交CD于点G，
∵BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，
∴∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，
∵∠CGE是△DGE的一个外角，
∴∠CGE=∠E+∠CDE，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠AGE=∠ABF，
∴∠CDE=∠ABF-∠E，
∴∠EDF=∠ABF-∠E，
∵∠BME=180°-∠E-∠EBF=180°-∠E-∠ABF，
∴∠DMF=180°-∠E-∠ABF，
∵∠F+∠MDF+∠DMF=180°，
∴40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，
解得：∠E=20°，
故答案为：20°。
【分析】延长EB交CD于点G，根据角平分线的定义可得∠ABE=∠EBF=∠ABF，∠CDE=∠EDF=∠CDF，再结合∠F+∠MDF+∠DMF=180°，可得40°+∠ABF-∠E+180°-∠E-∠ABF=180°，再求出∠E=20°即可。
16．（2023七下·承德期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行．
【答案】60；45或105
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠MAB+∠BAN=180°， ，
∴∠BAN=180°×=60°，∠BAM=180°-∠BAN=120°，
当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动x秒时，两灯的光线AC∥BD，如图，
∵，
∴∠ABP=∠BAM=120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∴120°-2x=120°-（45+x），
解得：x=45，
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN前，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴2x-120°=45+x-120，解得x=45，不合题意，舍去；
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN后，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴60°-（2x-180°）=45+x-120°，解得：x=105，
综上可知：当灯A的光线转动45或105秒时， 两灯的光线互相平行．
故答案为：60，45或105.
【分析】由∠MAB+∠BAN=180°，且，可求出∠BAN=60°，∠BAM=120°，设灯A的光线转动x秒时AC∥BD，根据CA与BD相遇前和相遇后可能存在的平行情况，然后利用平行线的性质进行解答即可.
三、作图题
17．（2024七上·吴兴期末）如图，表示一条弯曲的小河，表示一条笔直的公路，点，表示两个村庄.
（1）在小河哪处架桥可以使村和村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点；
（2）为了方便村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点.
【答案】（1）解：如图，P'为小河上任意一点，则AP'+BP'≥AB.
∴在AB连线与小河交点处架桥，可以使路程最短.P点即桥的位置.
（2）解：如图，因为A点到该公交站的距离最短，所以过A作AQ⊥m，垂足为Q.则点Q即为公交站位置；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，当P'与P重合时得到最小值.
（2）垂线段最短.
四、解答题
18．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF=180°。
（1）若∠ABC=70°，求∠BCF的值.
（2）试说明：DE∥CF.
（3）若CB是∠ACF 的平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值。
【答案】（1）解：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，=35°.
（2）证明：∵∠ABE+∠ABD=180°，∠ABE+∠BCF=180°，
∴∠ABD=∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCF，
∴DE∥CF.
（3）解：由(2)知，DE∥CF，
∴∠ADB=∠ACF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠BCF，
∴∠ADB=2∠BCF，
由(1)知∠ABD=∠BCF，
∴∠ADB=2∠ABD，
∵∠ADB=k∠ABD，
∴k=2.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，最后根据角平分线的定义即可得解；
（2）由邻补角的定义得到∠ABE+∠ABD=180°，再通过角度之间的等量代换得到∠ABD=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DBC=∠BCF，即可判定DE∥CF（内错角相等，两直线平行）；
（3）结合（1）（2）求解即可．
19．如图，已知∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠EFC+∠DFE=180°，∠EFC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，
∵∠BDC=3∠B，∠BDC+∠ADC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BDC=3∠B=108°，
∵ ∠EFC+∠BDC=180° ，
∴∠EFC=180°-∠BDC=72°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）DE∥BC，理由如下：由邻补角和已知，根据同角的补角相等得∠BDC=∠DFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥EF，再由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠ADE，结合∠DEF=∠B，推出∠B=∠ADE，进而根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠B，由角平分线的定义得∠ADC=2∠ADE=2∠B，进而根据已知及平角定义可求出∠B=36°，∠BDC=3∠B=108°，∠EFC=180°-∠BDC=72°.
20．如图，已知点 A 在EF 上，点 P，Q在 BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ
（1）试说明：EF∥BC.
（2）若 FP⊥AC，∠2+∠C=90°，试说明：∠1=∠B.
（3）若∠3+∠4=180°，∠BAF=3∠F-20°，求∠B 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而根据两直线平行，同位角相等，可证明结论；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥FP，根据二直线平行，同旁内角互补并结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质及等量代换可得∠B＝∠F，即可求解．
五、实践探究题
21．（2024七上·南关期末）
（1）【猜想】如图，，点在直线、之间，连结、若，，则的大小为 度
（2）【探究】如图，、、交于点，探究、、之间的数量关系．
（3）【拓展】如图，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度
【答案】（1）65
（2）解：过点作，如图所示：
，，
，
，，
，
，
即；
（3）38
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点作，如图所示：
，，
，
，，
，
即，
，，
，
故答案为：．
（3）过点作，如图所示：
设，，
平分，
，，
平分，
，
，，，
，
，，，，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
【分析】（1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解；
（3）过点作，设，，进而根据角平分线的性质得到，，再结合题意运用平行公理推论得到，从而根据平行线的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算即可求解。
22．（2024七上·深圳期末）如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转．
（1）如图，若，则 ， ；
（2）若射线是的角平分线，且．
若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示
在旋转过程中，若，求此时的值．
【答案】（1）；
（2）解：因为，，
所以，
因为射线是的角平分线，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
当位于内部时，如图，
因为，，
所以，
因为平分，
所以， ，
所以，，
因为，
所以，
解得，
综上所述，若，的值为或．
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得：OA=OB，∠BOA=90°，∠AOQ=∠MOB=α.
当∠MOB=α=26°，MN⊥PQ，
∴∠BOP=90° -α=64°.
∵∠AOM+∠MOB=∠AOB=90°， ∠MOB+∠BOP=∠MOP=90°，
∴∠AOM=∠BOP.
∴∠AOM+∠BOQ=∠BOP+∠BOQ=∠POQ= 180°.
故答案为：64°；180°.
【分析】（1）根据题意得到∠BOP=90° -∠MOB，∠AOM=∠BOP，即可解决问题；
（2）①∠BON=180°-∠BOM，所以根据OC平分∠BOM，∠POC=β，表示出∠BOM即可解决问题；
②旋转过程中，有两种情况都满足∠AOC=2∠AOM，要分别讨论. 当OA位于∠QOM内部时，∠AOC=2∠MOC=2∠BOC，得∠AOM=∠MOC=∠BOC；当OA位于∠POM内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC，∠BOC=∠MOC=90°-∠POC；∠AOM=∠BOM-∠AOB，结合角平分线的定义利用角的和差倍变换即可表示出两个角的度数.
六、综合题
23．（2024七上·黔西南期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，定义A，B，C，D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转：
（1）填空：如图2，A，O，B三点共线，且∠AOC＝∠BOC，则∠AOC＝ °；
（2）第三节腿部运动中，如图3，洋洋发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且∠AOD：∠BOC＝3：2．他经过计算发现，∠AOC﹣∠BOD的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
（3）第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且∠COD＝30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为50°/s，OB旋转速度为25°/s，当OB旋转到与OD重合时，运动停止，如图4．
①运动停止时，直接写出∠AOD＝ ▲ ；
②请帮助乐乐求解运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系．
【答案】（1）90
（2）解：如图3，
∵∠AOD：∠BOC＝3：2，
设∠AOD＝3α，则∠BOC＝2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2α，
∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣3α，
∴∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣2α﹣（180°﹣3α）＝60°，
∴小田的发现是正确的，这个定值是60°．
（3）解：如图4，∵∠COD＝30°，
∴∠COE＝∠EOD＝15°，∠BOD＝∠AOC＝75°，
设运动时间为t s，则t＝75°÷25°＝3，则0≤t≤3．
①运动停止时，即t＝3时，如图4，OA旋转的角度为50°×3＝150°，
∴∠AOD＝75°，
故答案为：75°．
②当点C，O，A三点共线时，t＝（180°﹣75°）÷50°＝2.1；
∴当0≤t≤2.1时，∠AOC＝75°+50°t，∠BOE＝90°﹣25°t，
∴∠AOC+2∠BOE＝255°；
当2.1＜t≤3时，∠AOC＝180°﹣50°（t﹣2.1）＝285°﹣50°t，
∠BOE＝90°﹣25°t，
∴∠AOC﹣2∠BOE＝105°．
综上，当0≤t≤2.1时，∠AOC+2∠BOE＝255°；当2.1＜t≤3时，∠AOC﹣2∠BOE＝105°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角
【解析】【解答】（1）∵A、O、B三点共线，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=×180°=90°，
故答案为：90°.
【分析】（1）利用邻补角的定义及∠AOC=∠BOD，求出∠AOC=×180°=90°即可；
（2）设∠AOD＝3α，则∠BOC＝2α，再利用角的运算求出AOC﹣∠BOD＝180°﹣2α﹣（180°﹣3α）＝60°， 从而得解；
（3）①利用角的运算求出 ∠AOD＝75°即可；
②分类讨论：第一种情况： 当0≤t≤2.1时；第二种情况：当2.1＜t≤3时，再分别列出角的运算求解即可.
24．（2023七下·雅安期末）已知直线，，分别是直线，上的一点，为平面上一点，为延长线上的一点，交于点F，和的角平分线，相交于点．
（1）如图1，
①若，，求的度数．
②试说明：．
（2）如图2，当点N位于点F的左侧时，若试求的度数．
【答案】（1）解：①∵和的角平分线交于点，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，．
②过点作，如图：
∵，，
∴，
∴，，即，
∵平分，
∴，
∵，
∵，
∴，
在中，，
即．
（2）解：过作，如图：
∵，，
∴，
∴，，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①先利用角的运算求出，，再利用三角形的内角和求出即可；
②过点作，利用平行线的性质及等量代换可得，再结合，再求出，可得 ；
（2）过作，根据角平分线的定义可得，， 再利用角的运算可得，再结合，求出即可.
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