2023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 3.1 投影同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·灞桥开学考）太阳发出的光照在物体上是 ，路灯发出的光照在物体上是 （ ）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
2．（2021九上·商河期末）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
3．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
4．（2021九上·长清期中）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·抚顺模拟）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子 的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度 等于（ ）
A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m
6．（2020九上·莱阳期末）一天下午，小明先参加了校运动会男子 比赛，过一段时间又参加了男生 比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄了他参加这两场比赛的照片，那么下列说法正确的是（ ）
A．乙照片是参加 的 B．甲照片是参加
C．乙照片是参加 的 D．无法判断甲、乙两张照片
7．（2020九上·沂水期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长 尺.同时立一根 尺的小标杆，它的影长是 尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺
A．50 B．45 C．5 D．4.5
8．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·石家庄模拟）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 ．
10．（2022九下·长沙开学考）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m.
11．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
12．（2021九上·福州月考）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为 ，并在同一时刻测得一根长为 的竹竿的影长是 .请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 m.
三、解答题
13．（2023九上·西安期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高.
14．（2022九上·碑林月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度.
四、综合题
15．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
16．（2020九上·无锡月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米.
（2）求出乙树的高度（画出示意图）.
（3）请选择丙树的高度为（ ）
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米 D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看.
17．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影.
故答案为：A.
【分析】中心投影：由一点发射投影线所产生的投影称中心投影，平行投影：当投影线互相平行时，所产生的投影称平行投影，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故答案为：B.
【分析】根据同一时刻两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线构成的两个直角三角形相似可得。
3．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
4．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．
故答案为：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在路灯下走的过程中影长随路程之间的变化：先变短后变长，在路灯下时影子为一个点，进而得出结论。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图， ， ，
∴ ，
∴ （两个角对应相等的两个三角形相似），
∴ ，
设 ，则 ，
同理，得 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
6．【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：下午，影子在身体的东边，时间越早影子越短，故乙是参加200m的图片，
故答案为：A．
【分析】根据影子的位置和大小，可判断，下午影子再身体的东边，随着时间的推移，影子会越来越长，因此乙的影子较短，故时间较早。
7．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺，
∵太阳光为平行光，
∴ ，
解得x＝45（尺）．．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出 ，再解即可。
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
9．【答案】6+
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】；【解答】解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=2．
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2，CE：DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+2．
在Rt△ABD中，ABBD（12+2）=6+．
故答案为（6+）米．
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．解Rt△CFE求出CE=2，EF=2；根据投影的性质求出DE，则BD=BF+EF+ED，在Rt△ABD中，根据ABBD可得答案。
10．【答案】9.6
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为 ，解得x＝9.6（m）.
故答案为：9.6.
【分析】设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例可得关于x的方程，求解即可.
11．【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
12．【答案】14.35
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：如图，设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
∴AB=14.35m.
故答案为：14.35.
【分析】设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，易证△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
13．【答案】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形，
所以，，，
由同一时刻物高与影长成比例可得：
∴，
∴，
∴.
答：旗杆的高是.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过点G作GH∥EF交DE于H， 则四边形EFGH是矩形，GH=EF=10m，EH=FG=1.5m，由同一时刻物高与影长成比例可得， 代入数据求出DH的值，然后根据DE=DH+EH进行计算.
14．【答案】解：如图，过C作CE⊥AB于E．
∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，∴四边形CDBE为矩形，
∴BD=CE=21 ，CD=BE=6 ，设AE=x ， 则=，解得：x=14．
故旗杆高AB=AE+BE=14+6=20 (米)．
答：旗杆的高度为20米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形， BD=CE=21 ，CD=BE=6 ，设AE=x ， 根据同一时刻物长与影长成比例可得关于x的方程，求出x的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
15．【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
16．【答案】（1）
（2）如图，
设AB为乙树的高度， ， ，
四边形AECD是平行四边形，
，
由题意得： ，即 ，
解得 ，
则乙树的高度 （米）；
（3）C
（4）如图，
设AB为丁树的高度， ， ，
由题意得： ， ，
解得 ， ，
四边形AECF是平行四边形，
，
则丁树的高度 （米）.
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）设甲树的高度为
米，
则
，
解得
（米），
故答案为：
；
（ 3 ）如图，设AB为丙树的高度，
，
，
，
由题意得：
，
，
解得
，
，
，
四边形AGCD是平行四边形，
，
则丙树的高度
（米），
故答案为：C；
【分析】（1）根据同一时刻物体的影长与实际高度的比值不变即可得；
（2）如图（见解析），先画出示意图，再根据平行四边形的性质得出AE的长，然后根据线段的和差即可得；
（3）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AG、BG的长，然后根据线段的和差即可得；
（4）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AE、BE的长，然后根据线段的和差即可得.
17．【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 3.1 投影同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九上·灞桥开学考）太阳发出的光照在物体上是 ，路灯发出的光照在物体上是 （ ）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影.
故答案为：A.
【分析】中心投影：由一点发射投影线所产生的投影称中心投影，平行投影：当投影线互相平行时，所产生的投影称平行投影，据此判断即可.
2．（2021九上·商河期末）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故答案为：B.
【分析】根据同一时刻两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线构成的两个直角三角形相似可得。
3．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
4．（2021九上·长清期中）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．
故答案为：C．
【分析】根据中心投影的性质得出小红在路灯下走的过程中影长随路程之间的变化：先变短后变长，在路灯下时影子为一个点，进而得出结论。
5．（2021·抚顺模拟）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子 的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度 等于（ ）
A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：如图， ， ，
∴ ，
∴ （两个角对应相等的两个三角形相似），
∴ ，
设 ，则 ，
同理，得 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
6．（2020九上·莱阳期末）一天下午，小明先参加了校运动会男子 比赛，过一段时间又参加了男生 比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄了他参加这两场比赛的照片，那么下列说法正确的是（ ）
A．乙照片是参加 的 B．甲照片是参加
C．乙照片是参加 的 D．无法判断甲、乙两张照片
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：下午，影子在身体的东边，时间越早影子越短，故乙是参加200m的图片，
故答案为：A．
【分析】根据影子的位置和大小，可判断，下午影子再身体的东边，随着时间的推移，影子会越来越长，因此乙的影子较短，故时间较早。
7．（2020九上·沂水期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长 尺.同时立一根 尺的小标杆，它的影长是 尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺
A．50 B．45 C．5 D．4.5
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺，
∵太阳光为平行光，
∴ ，
解得x＝45（尺）．．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出 ，再解即可。
8．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
二、填空题
9．（2022·石家庄模拟）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 ．
【答案】6+
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】；【解答】解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=2．
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2，CE：DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+2．
在Rt△ABD中，ABBD（12+2）=6+．
故答案为（6+）米．
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．解Rt△CFE求出CE=2，EF=2；根据投影的性质求出DE，则BD=BF+EF+ED，在Rt△ABD中，根据ABBD可得答案。
10．（2022九下·长沙开学考）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m.
【答案】9.6
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为 ，解得x＝9.6（m）.
故答案为：9.6.
【分析】设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例可得关于x的方程，求解即可.
11．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
12．（2021九上·福州月考）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为 ，并在同一时刻测得一根长为 的竹竿的影长是 .请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 m.
【答案】14.35
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：如图，设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
∴AB=14.35m.
故答案为：14.35.
【分析】设石雕妈祖像高为AB，影长为BE，同一时刻竹竿高度为CD，竹竿影长为DE，易证△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
三、解答题
13．（2023九上·西安期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高.
【答案】解：如图，过点G作交于H， 则四边形是矩形，
所以，，，
由同一时刻物高与影长成比例可得：
∴，
∴，
∴.
答：旗杆的高是.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过点G作GH∥EF交DE于H， 则四边形EFGH是矩形，GH=EF=10m，EH=FG=1.5m，由同一时刻物高与影长成比例可得， 代入数据求出DH的值，然后根据DE=DH+EH进行计算.
14．（2022九上·碑林月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，落在墙上的影高为6米，求旗杆的高度.
【答案】解：如图，过C作CE⊥AB于E．
∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，∴四边形CDBE为矩形，
∴BD=CE=21 ，CD=BE=6 ，设AE=x ， 则=，解得：x=14．
故旗杆高AB=AE+BE=14+6=20 (米)．
答：旗杆的高度为20米．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形， BD=CE=21 ，CD=BE=6 ，设AE=x ， 根据同一时刻物长与影长成比例可得关于x的方程，求出x的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
四、综合题
15．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
16．（2020九上·无锡月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）.
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m.
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米.
（2）求出乙树的高度（画出示意图）.
（3）请选择丙树的高度为（ ）
A．6.5米 B．5.75米 C．6.05米 D．7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看.
【答案】（1）
（2）如图，
设AB为乙树的高度， ， ，
四边形AECD是平行四边形，
，
由题意得： ，即 ，
解得 ，
则乙树的高度 （米）；
（3）C
（4）如图，
设AB为丁树的高度， ， ，
由题意得： ， ，
解得 ， ，
四边形AECF是平行四边形，
，
则丁树的高度 （米）.
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）设甲树的高度为
米，
则
，
解得
（米），
故答案为：
；
（ 3 ）如图，设AB为丙树的高度，
，
，
，
由题意得：
，
，
解得
，
，
，
四边形AGCD是平行四边形，
，
则丙树的高度
（米），
故答案为：C；
【分析】（1）根据同一时刻物体的影长与实际高度的比值不变即可得；
（2）如图（见解析），先画出示意图，再根据平行四边形的性质得出AE的长，然后根据线段的和差即可得；
（3）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AG、BG的长，然后根据线段的和差即可得；
（4）如图（见解析），先画出示意图，再分别求出AE、BE的长，然后根据线段的和差即可得.
17．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
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