2023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·吉林月考）如图是几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
2．（2021九下·北京开学考）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
3．如图，是某种几何体表面展开图的图形．这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱
4．如图是一个正方体的包装盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次是（ ）
A．﹣1，﹣2，1 B．﹣1，1，﹣2 C．﹣2，﹣1，1 D．1，﹣1，﹣2
5．一个正方体的6个面分別标有“E”、“F”、“G”、“H”、“M”、“N”中的一个字母，如图表示的是该正
方体3种不同的摆法，当“E”在右面时，左面的字母是（ ）
A．G B．H C．M D．N
6．如图1，是一个正方体的展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻滚到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上面的字是（ ）
A．真 B．精 C．彩 D．届
7．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
二、填空题
9．（2023九上·南明期中）如图，该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是 ．
10．（2023七上·历下期中）杭州亚运会于2023年10月顺利落幕，中国队获金牌和奖牌榜双第一，如图是一个正方体的表面展开图，与“亚”字相对面上的汉字是 ．
11．（2023七上·南山期中）下列图形中是正方体的平面展开图的有 （填序号）．
12．（2023七上·顺德期中）如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ．
13．（2023七上·吉安月考）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么4所在面的对面是 .
三、解答题
14．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
15．（2022七上·郫都期中）如图是某长方体包装盒的展开图．设长方体的高为x cm.根据图中具体的数据，解答下列问题：
（1）用含x的式子表示这个长方体的长和宽；
（2）若长方体盒子的长比宽多3cm，求这种长方体包装盒的体积；
（3）满足（2）中条件的长方体的表面展开图还有不少，你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．
四、综合题
16．（2021七上·郑州期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子.
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒.如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为 cm，底面积为 cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm3；
（2）如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的 边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 500 384 252 128 36 0
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 cm3.
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
17．（2019八上·陕西月考）仔细阅读，解答下列问题
（1）有一长方体的食物包装纸盒如图(1)，已知长方体的底面长为12，宽为9，高为5，一只蚂蚁想从底面A处爬到B处去吃食物，请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少
（2）如图(2)，圆柱形容器的高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁高容器底部0.3米的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁高容器上沿0.3米与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉到蚊子的最短路程是多少 (容器厚度忽略不计)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为展开图是三个矩形，两个三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故答案为：D．
【分析】根据三棱柱展开图的特征求解即可。
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：D．
【分析】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．
3．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选A．
【分析】由圆锥的展开图特点作答．
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由分析可知，A的相对面对应1，B的相对面对应2，C的相对面对应﹣1
∵1的相反数为﹣1，2的相反数为﹣2，﹣1的相反数为1，
∴填在A、B、C内的三个数依次是﹣1，﹣2，1．
故选：A．
【分析】根据图形可知A的相对面对应1，B的相对面对应2，C的相对面对应﹣1．相对面上的两个数互为相反数，由此可知填在A、B、C内的三个数．
5．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵根据正方体的摆放可知F的邻面分别是N、M、H、E，由一、二两种摆放方式可知当F为正面时，N为底面，
∴N与H是对面，E与M是对面．
故选：C．
【分析】根据三种摆放可知F的邻面分别是N、M、H、E，由一、二两种摆放方式可知N与H、M与E分别是对面．
6．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：经过三次翻滚底面的文字为界，由展开图可知界字对面的文字为真．
故选：A．
【分析】先根据所给图形确定出翻滚后小正方体底面的文字，然后找出底面的对面即可．
7．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
9．【答案】考
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是“考”，
故答案为：考
【分析】根据题意还原正方体即可求解。
10．【答案】真
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】根据正方体展开图的特征可得：“亚”的相对面是“真”，
故答案为：真.
【分析】利用正方体展开图的特征分析求解即可.
11．【答案】①③
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的11种展开图可知，符合题意的有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据正方体的11种展开图逐一判断即可.
12．【答案】9
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可知，m与3是对面，n与-2是对面.
∵相对面的两数互为相反数，
∴m=-3，n=2.
∴mn=（-3)2=9.
故答案为：9.
【分析】根据正方体表面展开图得出相对的面，再根据相反数的定义求出m、n的值，代入计算即可.-
13．【答案】5
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意可得：“1”和“3”是对面，“2”和“6”是对面，“4”和“5”是对面，
∴4所在面的对面是5，
故答案为：5.
【分析】利用正方体展开图的特征及分析方法求解即可.
14．【答案】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．
15．【答案】（1）解：长方体的长为：（13-2x）cm，
宽为：（14-2x）÷2＝（7-x）cm；
（2）解：由题意得：13-2x-（7-x）＝3，
解得：x＝3，
∴（13-2x）（7-x）x＝84（cm2），
答：这种长方体包装盒的体积为84cm3；
（3）解：外围周长最大的表面展开图如下：
其外围周长为：11×2+22×2＝66（cm）．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）根据展开图找到长和宽与x的关系式；
（2）根据长比宽多3cm找到等量关系解出x，进而求出长和宽，再用体积公式求得这种长方体包装盒的体积；
（3）长方体的长宽高已经确定，就是3，4，7这一组数，尽量沿着大数7和4展开，外围周长最大。
16．【答案】（1）b；（a-2b）2；b（a-2b）2
（2）588；576
（3）C
（4）3；588
（5）解：根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3，5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3，
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3.
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位.
【知识点】代数式求值；几何体的展开图；用字母表示数
【解析】【解答】（1）解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，底面面积为（a-2b）2cm2， 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2.
（2）解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20，8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，
故答案为：588；576.
（3）解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小.
故答案为：C.
（4）根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3.
故答案为：3，588.
【分析】（1）由题意可得：无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，结合长方体的体积公式可得无盖长方体纸盒的容积；
（2）根据（1）的结果将b、a-2b的值代入计算即可；
（3）（4）根据（2）中的表格进行判断即可；
（5） 求出b=3、5、3.25、3.375时对应的容积，结合数据的精确度进行解答.
17．【答案】（1）解：（展开图如下，连接AB，
当展成的长为
由题意得AC=12，BD=CD+BD=5+9=14
在Rt△ABC中，
，
由题意可知：
AE=AC+CE=12+9=21，BE=5，
在Rt△ABC中，
，
∵AH=9，BH=BE+HE=12+5=17
∴
∴蚂蚁爬行的最短距离为
（2）解：如图，作点A关于EF的对称点A＇，连接A＇B，
∴A＇E=AE=DC=BH=0.3，MH=1
∴BD=CD+CB=BH+CB=CH=1.2，
2A＇D=MH即A＇D=0.5，
在Rt△A＇DB中，
，
∵两点之间线段最短，
∴壁虎捕捉到蚊子的最短路程就是线段AB的长为1.3.
【知识点】几何体的展开图；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，将长方体分三种情况展开，再利用勾股定理分别求出AB的长，然后比较大小，即可得出结果。
（2）利用两点之间线段最短，将圆柱体展开，作点A关于EF的对称点A＇，连接A＇B，由已知条件求出BD，A＇D的长，利用勾股定理求出A＇B的长，即可得到壁虎捕捉到蚊子的最短路程就是线段AB的长。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·吉林月考）如图是几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为展开图是三个矩形，两个三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故答案为：D．
【分析】根据三棱柱展开图的特征求解即可。
2．（2021九下·北京开学考）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：D．
【分析】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．
3．如图，是某种几何体表面展开图的图形．这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥．
故选A．
【分析】由圆锥的展开图特点作答．
4．如图是一个正方体的包装盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次是（ ）
A．﹣1，﹣2，1 B．﹣1，1，﹣2 C．﹣2，﹣1，1 D．1，﹣1，﹣2
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由分析可知，A的相对面对应1，B的相对面对应2，C的相对面对应﹣1
∵1的相反数为﹣1，2的相反数为﹣2，﹣1的相反数为1，
∴填在A、B、C内的三个数依次是﹣1，﹣2，1．
故选：A．
【分析】根据图形可知A的相对面对应1，B的相对面对应2，C的相对面对应﹣1．相对面上的两个数互为相反数，由此可知填在A、B、C内的三个数．
5．一个正方体的6个面分別标有“E”、“F”、“G”、“H”、“M”、“N”中的一个字母，如图表示的是该正
方体3种不同的摆法，当“E”在右面时，左面的字母是（ ）
A．G B．H C．M D．N
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵根据正方体的摆放可知F的邻面分别是N、M、H、E，由一、二两种摆放方式可知当F为正面时，N为底面，
∴N与H是对面，E与M是对面．
故选：C．
【分析】根据三种摆放可知F的邻面分别是N、M、H、E，由一、二两种摆放方式可知N与H、M与E分别是对面．
6．如图1，是一个正方体的展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻滚到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上面的字是（ ）
A．真 B．精 C．彩 D．届
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：经过三次翻滚底面的文字为界，由展开图可知界字对面的文字为真．
故选：A．
【分析】先根据所给图形确定出翻滚后小正方体底面的文字，然后找出底面的对面即可．
7．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
8．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
二、填空题
9．（2023九上·南明期中）如图，该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是 ．
【答案】考
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意得该图形折叠成正方体后，与“沉”字相对的字是“考”，
故答案为：考
【分析】根据题意还原正方体即可求解。
10．（2023七上·历下期中）杭州亚运会于2023年10月顺利落幕，中国队获金牌和奖牌榜双第一，如图是一个正方体的表面展开图，与“亚”字相对面上的汉字是 ．
【答案】真
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】根据正方体展开图的特征可得：“亚”的相对面是“真”，
故答案为：真.
【分析】利用正方体展开图的特征分析求解即可.
11．（2023七上·南山期中）下列图形中是正方体的平面展开图的有 （填序号）．
【答案】①③
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的11种展开图可知，符合题意的有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据正方体的11种展开图逐一判断即可.
12．（2023七上·顺德期中）如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ．
【答案】9
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可知，m与3是对面，n与-2是对面.
∵相对面的两数互为相反数，
∴m=-3，n=2.
∴mn=（-3)2=9.
故答案为：9.
【分析】根据正方体表面展开图得出相对的面，再根据相反数的定义求出m、n的值，代入计算即可.-
13．（2023七上·吉安月考）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么4所在面的对面是 .
【答案】5
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意可得：“1”和“3”是对面，“2”和“6”是对面，“4”和“5”是对面，
∴4所在面的对面是5，
故答案为：5.
【分析】利用正方体展开图的特征及分析方法求解即可.
三、解答题
14．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】解（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，
（2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况，
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．
15．（2022七上·郫都期中）如图是某长方体包装盒的展开图．设长方体的高为x cm.根据图中具体的数据，解答下列问题：
（1）用含x的式子表示这个长方体的长和宽；
（2）若长方体盒子的长比宽多3cm，求这种长方体包装盒的体积；
（3）满足（2）中条件的长方体的表面展开图还有不少，你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．
【答案】（1）解：长方体的长为：（13-2x）cm，
宽为：（14-2x）÷2＝（7-x）cm；
（2）解：由题意得：13-2x-（7-x）＝3，
解得：x＝3，
∴（13-2x）（7-x）x＝84（cm2），
答：这种长方体包装盒的体积为84cm3；
（3）解：外围周长最大的表面展开图如下：
其外围周长为：11×2+22×2＝66（cm）．
【知识点】列式表示数量关系；代数式求值；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）根据展开图找到长和宽与x的关系式；
（2）根据长比宽多3cm找到等量关系解出x，进而求出长和宽，再用体积公式求得这种长方体包装盒的体积；
（3）长方体的长宽高已经确定，就是3，4，7这一组数，尽量沿着大数7和4展开，外围周长最大。
四、综合题
16．（2021七上·郑州期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子.
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒.如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为 cm，底面积为 cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm3；
（2）如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的 边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 500 384 252 128 36 0
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 cm3.
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】（1）b；（a-2b）2；b（a-2b）2
（2）588；576
（3）C
（4）3；588
（5）解：根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3，5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3，
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3.
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位.
【知识点】代数式求值；几何体的展开图；用字母表示数
【解析】【解答】（1）解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，底面面积为（a-2b）2cm2， 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2.
（2）解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20，8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，
故答案为：588；576.
（3）解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小.
故答案为：C.
（4）根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3.
故答案为：3，588.
【分析】（1）由题意可得：无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，结合长方体的体积公式可得无盖长方体纸盒的容积；
（2）根据（1）的结果将b、a-2b的值代入计算即可；
（3）（4）根据（2）中的表格进行判断即可；
（5） 求出b=3、5、3.25、3.375时对应的容积，结合数据的精确度进行解答.
17．（2019八上·陕西月考）仔细阅读，解答下列问题
（1）有一长方体的食物包装纸盒如图(1)，已知长方体的底面长为12，宽为9，高为5，一只蚂蚁想从底面A处爬到B处去吃食物，请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少
（2）如图(2)，圆柱形容器的高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁高容器底部0.3米的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁高容器上沿0.3米与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉到蚊子的最短路程是多少 (容器厚度忽略不计)
【答案】（1）解：（展开图如下，连接AB，
当展成的长为
由题意得AC=12，BD=CD+BD=5+9=14
在Rt△ABC中，
，
由题意可知：
AE=AC+CE=12+9=21，BE=5，
在Rt△ABC中，
，
∵AH=9，BH=BE+HE=12+5=17
∴
∴蚂蚁爬行的最短距离为
（2）解：如图，作点A关于EF的对称点A＇，连接A＇B，
∴A＇E=AE=DC=BH=0.3，MH=1
∴BD=CD+CB=BH+CB=CH=1.2，
2A＇D=MH即A＇D=0.5，
在Rt△A＇DB中，
，
∵两点之间线段最短，
∴壁虎捕捉到蚊子的最短路程就是线段AB的长为1.3.
【知识点】几何体的展开图；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，将长方体分三种情况展开，再利用勾股定理分别求出AB的长，然后比较大小，即可得出结果。
（2）利用两点之间线段最短，将圆柱体展开，作点A关于EF的对称点A＇，连接A＇B，由已知条件求出BD，A＇D的长，利用勾股定理求出A＇B的长，即可得到壁虎捕捉到蚊子的最短路程就是线段AB的长。
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