2023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 4.2 概率及其计算同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·淄博）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图分析：
由树状图知：所有机会均等的结果共有9种，其中小刚、小强恰好选到同一处的结果有3种，
∴ 小刚、小强两人恰好选到同一处的概率是 ：.
故答案为：B。
【分析】首先画树状图分析，得出所有机会均等的结果有9种，其中小刚、小强恰好选到同一处的结果有3种，从而利用概率公式，即可求得小刚、小强两人恰好选到同一处的概率是 ：.
2．（2020九上·潮南期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是 ，设红球有x个，
∴ ＝ ，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是： ＝ ．
故答案为：A．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
3．（2020九上·大理期末）下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 附近
【答案】C
【知识点】随机事件；概率的意义
【解析】【解答】解：A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确；
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 ，正确；
D. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 附近 ，说法正确。
故答案为：C.
【分析】根据随机事件的定义结合概率的意义分析得到答案即可。
4．（2023九上·花溪月考）如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，
∴则小灯泡发光的有6种情况：AD，BD，CD，DA，DB，DC，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得出所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，即可求得答案.
5．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
6．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
7．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
8．（2016·呼和浩特）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心；几何概率
【解析】【解答】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =3，∴S△ABC= AC BC= ×12×9=54，
S圆=9π，
∴小鸟落在花圃上的概率= = ，
故选B．
【分析】由AB=15，BC=12，AC=9，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =3，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
二、填空题
9．（2019九上·北京月考）在－1，0，1这三个数中任取两个数 ， ，则二次函数 图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意顶点坐标m，n共有(-1，0)(-1，1)(0，-1)(0，1)(1，-1)(1，0)6种情况，其中在坐标轴的由4种，
概率为： .
故答案为： .
【分析】将所有的可能的情况枚举出来，再根据频率计算概率即可.
10．（2023·舟山）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有3张卡片，卡片图案是琮琮的有1张，
∴卡片图案是琮琮的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：共有3张卡片，卡片图案是琮琮的有1张，然后利用概率公式进行计算.
11．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
12．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
三、解答题
13．设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2．
（1）当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值．
（2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率．
【答案】（1）解：y=x2-x+1，最小值为 ；y=x2+x +1，最小值为；y=x2+2x+1，最小值为0．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
可得到9个不同的函数解析式，
∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是y=-x2-x+1，y=-x+1，
∴概率为.
【知识点】二次函数的最值；列表法与树状图法；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当a＞0时，所得函数有最小值，即满足条件的a、b值分别有：a=1，b=-1；a=1，b=1；a=1，b=2，
分别代入y=ax2+bx+1，可得，
y=x2-x+1，最小值为 ；
y=x2+x +1，最小值为；
y=x2+2x+1，最小值为．
【分析】（1）根据二次函数的性质，a＞0时，二次函数有最小值，所以，确定a为1，然后根据b的值的不同分别写出解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可；
（2）先画出树状图，再求出所有情况数与符合条件的情况数，利用根据函数的增减性以及概率公式列式计算．
14．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
四、综合题
15．（2022·路南模拟）今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；其它沟通方式所占的百分比为 ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
【答案】（1）2000；144°；13%
（2）解：如图：
（3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：20%电话参与调查的人中，喜欢用电话沟通的有400人，占20%，
∴这次参与调查的总人数共有（人）；
∵喜欢用短信沟通的有（人），
∴喜欢用微信沟通的有（人），
故表示“微信”的扇形圆心角的度数为，
喜欢用其他沟通方式所占的百分比为：．
故答案为：2000；144°；13%.
【分析】（1）利用“电话”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“微信”的人数并求出扇形圆心角的度数，再求出“其他”的百分比即可；
（2）先求出“短信”和“微信”的人数并作出条形统计图即可；
（3）①先求出“微信”的百分比，再乘以13亿可得答案；
②利用概率公式求解即可。
16．（2022·运城模拟）自2019年12月以来新型冠状病毒导致的肺炎疫情在全球蔓延流行，进入2022年，新一轮的疫情爆发又波及校园，严重危及师生的身心健康，为此某校师生举行了“疫情防控大演练”活动，并学习了当前疫情防控的主要措施，包括：（①远离感染源区；②加强自我防控；③增强身体体质；④合理健康饮食；⑤加强防控意识）五个要点，为了了解学生对“五要点”的掌握情况，从全校随机抽取了一部分学生作出调查，并根据学生的回答情况（A．仅能答出一点；B．仅能答出两点；C．能回答其中三点；D．能回答其中四点；E．能回答全部五点），绘制出下面两幅不完整的统计图，请根据统计图上的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中抽取的总人数为 人．
（2）在扇形统计图中“C”部分m的值为 ．
（3）该学校共有学生1200人，估计能回答全部五个要点的人数约有多少人？
（4）针对本次学习，学校准备组织一次疫情防控知识竞赛，要求每个班级选取两名同学参赛，小明和小颖所在的九年级某班共选出4名候选人，除小明和小颖之外还有另外2名同学，从这四人中随机选取两个人参加比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中小明和小颖两人的概率（这4名学生分别用A，B，C，D表示，其中A，B分别代表小明和小颖）
【答案】（1）80
（2）40
（3）解：估计能回答全部五个要点的人数约有：（人）；
答：估计能回答全部五个要点的人数约有240人．
（4）解：所有可能出现的结果列表如下：
1 2 A B C D
A ——
B ——
C ——
D ——
总共有12种等可能的结果，其中刚好选中A，B的结果有2种，所以恰好选中小明和小颖两人的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)解：本次调查的总人数=8÷10%=80；
故答案为：80．
(2)解：∵“C”部分人数所占的百分比= ，
∴在扇形统计图中“C”部分m的值为40；
故答案为：40．
【分析】（1）由B类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用C类人数除以总人数可得m%的值，进而得出答案；
（3）用总人数乘以样本中E类人数所占比例即可；
（4）利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 4.2 概率及其计算同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·淄博）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·潮南期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·大理期末）下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 附近
4．（2023九上·花溪月考）如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2016·呼和浩特）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019九上·北京月考）在－1，0，1这三个数中任取两个数 ， ，则二次函数 图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
10．（2023·舟山）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 。
11．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
12．（2023九上·青羊月考）有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 ．
三、解答题
13．设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2．
（1）当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值．
（2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率．
14．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
四、综合题
15．（2022·路南模拟）今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；其它沟通方式所占的百分比为 ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
16．（2022·运城模拟）自2019年12月以来新型冠状病毒导致的肺炎疫情在全球蔓延流行，进入2022年，新一轮的疫情爆发又波及校园，严重危及师生的身心健康，为此某校师生举行了“疫情防控大演练”活动，并学习了当前疫情防控的主要措施，包括：（①远离感染源区；②加强自我防控；③增强身体体质；④合理健康饮食；⑤加强防控意识）五个要点，为了了解学生对“五要点”的掌握情况，从全校随机抽取了一部分学生作出调查，并根据学生的回答情况（A．仅能答出一点；B．仅能答出两点；C．能回答其中三点；D．能回答其中四点；E．能回答全部五点），绘制出下面两幅不完整的统计图，请根据统计图上的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中抽取的总人数为 人．
（2）在扇形统计图中“C”部分m的值为 ．
（3）该学校共有学生1200人，估计能回答全部五个要点的人数约有多少人？
（4）针对本次学习，学校准备组织一次疫情防控知识竞赛，要求每个班级选取两名同学参赛，小明和小颖所在的九年级某班共选出4名候选人，除小明和小颖之外还有另外2名同学，从这四人中随机选取两个人参加比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中小明和小颖两人的概率（这4名学生分别用A，B，C，D表示，其中A，B分别代表小明和小颖）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图分析：
由树状图知：所有机会均等的结果共有9种，其中小刚、小强恰好选到同一处的结果有3种，
∴ 小刚、小强两人恰好选到同一处的概率是 ：.
故答案为：B。
【分析】首先画树状图分析，得出所有机会均等的结果有9种，其中小刚、小强恰好选到同一处的结果有3种，从而利用概率公式，即可求得小刚、小强两人恰好选到同一处的概率是 ：.
2．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是 ，设红球有x个，
∴ ＝ ，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是： ＝ ．
故答案为：A．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
3．【答案】C
【知识点】随机事件；概率的意义
【解析】【解答】解：A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确；
B. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 ，正确；
D. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 附近 ，说法正确。
故答案为：C.
【分析】根据随机事件的定义结合概率的意义分析得到答案即可。
4．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，
∴则小灯泡发光的有6种情况：AD，BD，CD，DA，DB，DC，
∴小灯泡发光的概率为：.
故答案为：A.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得出所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，即可求得答案.
5．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
6．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a，过A作AG⊥BF，垂足为G，如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心；几何概率
【解析】【解答】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =3，∴S△ABC= AC BC= ×12×9=54，
S圆=9π，
∴小鸟落在花圃上的概率= = ，
故选B．
【分析】由AB=15，BC=12，AC=9，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =3，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意顶点坐标m，n共有(-1，0)(-1，1)(0，-1)(0，1)(1，-1)(1，0)6种情况，其中在坐标轴的由4种，
概率为： .
故答案为： .
【分析】将所有的可能的情况枚举出来，再根据频率计算概率即可.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有3张卡片，卡片图案是琮琮的有1张，
∴卡片图案是琮琮的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：共有3张卡片，卡片图案是琮琮的有1张，然后利用概率公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；列表法与树状图法
【解析】【解答】
列表法表示所有情况：
则的值可以是-1，-2，-1，2，，
∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数
∴＜x＜5
∴的值是2
∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为.
【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法.
13．【答案】（1）解：y=x2-x+1，最小值为 ；y=x2+x +1，最小值为；y=x2+2x+1，最小值为0．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
可得到9个不同的函数解析式，
∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是y=-x2-x+1，y=-x+1，
∴概率为.
【知识点】二次函数的最值；列表法与树状图法；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当a＞0时，所得函数有最小值，即满足条件的a、b值分别有：a=1，b=-1；a=1，b=1；a=1，b=2，
分别代入y=ax2+bx+1，可得，
y=x2-x+1，最小值为 ；
y=x2+x +1，最小值为；
y=x2+2x+1，最小值为．
【分析】（1）根据二次函数的性质，a＞0时，二次函数有最小值，所以，确定a为1，然后根据b的值的不同分别写出解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可；
（2）先画出树状图，再求出所有情况数与符合条件的情况数，利用根据函数的增减性以及概率公式列式计算．
14．【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
15．【答案】（1）2000；144°；13%
（2）解：如图：
（3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：20%电话参与调查的人中，喜欢用电话沟通的有400人，占20%，
∴这次参与调查的总人数共有（人）；
∵喜欢用短信沟通的有（人），
∴喜欢用微信沟通的有（人），
故表示“微信”的扇形圆心角的度数为，
喜欢用其他沟通方式所占的百分比为：．
故答案为：2000；144°；13%.
【分析】（1）利用“电话”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“微信”的人数并求出扇形圆心角的度数，再求出“其他”的百分比即可；
（2）先求出“短信”和“微信”的人数并作出条形统计图即可；
（3）①先求出“微信”的百分比，再乘以13亿可得答案；
②利用概率公式求解即可。
16．【答案】（1）80
（2）40
（3）解：估计能回答全部五个要点的人数约有：（人）；
答：估计能回答全部五个要点的人数约有240人．
（4）解：所有可能出现的结果列表如下：
1 2 A B C D
A ——
B ——
C ——
D ——
总共有12种等可能的结果，其中刚好选中A，B的结果有2种，所以恰好选中小明和小颖两人的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)解：本次调查的总人数=8÷10%=80；
故答案为：80．
(2)解：∵“C”部分人数所占的百分比= ，
∴在扇形统计图中“C”部分m的值为40；
故答案为：40．
【分析】（1）由B类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用C类人数除以总人数可得m%的值，进而得出答案；
（3）用总人数乘以样本中E类人数所占比例即可；
（4）利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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