湘教版数学八年级下学期 3.1 平面直角坐标系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册4.1探索确定位置的方法 同步训练）小张和小陈都在电影院看电影，小张的位置用（a，b）表示，小陈的位置用(x，y)表示，我们约定“排数在前，列数在后”，若小张恰在小陈的正前方，则（ ）
A．a＝x B．b=y C．a＝y D．b=x
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：小张恰在小陈的正前方，说明小张和小陈在同一列，所以b=y.
故答案为：B
【分析】由小张恰在小陈的正前方，可得出小张和小陈在同一列，就可得出答案。
2．（2023九上·景县期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示：连接AA'，CC'，分别作线段AA'，CC'的垂直平分线交于点P，
所以点P即为所求，点P的坐标为（-1，1），
故答案为：C.
【分析】根据所给图先连接AA'，CC'，分别作线段AA'，CC'的垂直平分线交于点P，再求点P的坐标即可。
3．（2023八上·槐荫期中） 已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是（ ）
A．(2023，) B．(2022，0) C．(2024，0) D．(2026，－)
【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，......A2023分别作x轴的垂线
∵A1A2O是边长为2的等边三角形
∴
∴点A1的横坐标为1
由题意可得，点A2横坐标为3，点A3横坐标为3，点A3横坐标为4，......
则A2023横坐标为2023
∵2023÷3=674......1，
∴点A2023在第一象限
∴点A2023的纵坐标为
即点A2023坐标为
故答案为：A
【分析】过点A1，A4，A7，A10，A13，......A2023分别作x轴的垂线，根据等边三角形的性质及三角形的排列规律求出A1，A2，A3......的横坐标，可求出点A2023的横坐标，再根据A2023在第一象限求出纵坐标即可求出答案.
4．（2023八上·宝鸡期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意可知：
a-5=0，解得a=5；
b+3=0，解得b=-3；
∴点C的坐标为（5，-3）
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上点的特征，x轴上的点，纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，列一元一次方程，即可求出a和b的值.
5．（2023八上·金乡县月考）如图，在正方形中，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠AEO=∠ODC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠COD，∠AEO=∠ODC，AO=OC，
∴，
∴AE=OD=1，OE=CD=3，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为：（-3，1）。
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS可证明，从而得出AE=OD=1，OE=CD=3，进一步根据点A所在的象限，求得点A的坐标即可。
6．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
……
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452-=2025，45是奇数，
∴第2020个点的横坐标为45.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.
7．（2023八上·惠州开学考）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据新定义，得，解得， ∴Q的坐标为（-2，-1）．
故答案为：C.
【分析】根据新定义，列出关于待求字母的方程组求解，再写出点的坐标.
8．（2023七下·迪庆期末）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解： A1（-1，-1），
A2（-1，1），
A3（1，1），
A4（1，-1），
A5（-2，-2），
A6（-2，2），
A7（2，2），
A8（2，-2），
A9（-3，-3），
A10（-3，3），
A11（3，3），
A12（3，-3），
..．
根据上述各点的坐标，可得坐标的符号规律为：（-，-），（-，+），（+，+），（+，-）四个为一次循环，
∵2023÷4=505 3，
∴A2023的坐标为（506，506）.
故答案为：D.
【分析】依次写出A1，A2，A3，…从中找出规律，再按规律求解.
二、填空题
9．（2020八上·北京市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．若△ABC是以∠BAC为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ．
【答案】（4，0）或（﹣16，0）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△ABO中，AB=，
以点A为圆心，Ab长为半径作出弧与x轴交于点C1，C2，
∴AC2=AC1=AB=10，
∴OC2=OA+AC2=6+10=16，OC1=AC1-OA=10-6=4，
∴点C2的坐标为（-16，0），点C1的坐标为（4，0），
故答案为： （4，0）或（﹣16，0）.
【分析】先以点A为圆心，AB长为半径作出弧与x轴交于点C1，C2，可得AC2=AC1=AB=10，再求出OC2和OC1的长，可得点C的坐标.
10．（2023九上·平遥月考）如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标 ．
【答案】（9，0）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=180°-60°-90°=30°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=2×6=12，BO=AB=×6=3，
∴OD=BD-BO=12-3=9，
∴点D的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）.
【分析】先利用角的运算求出∠ADB=∠BAO=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD和BO的长，利用线段的和差求出OD的长，可得点D的坐标即可.
11．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵ 点，，， ，
它们的横坐标依次为1，2，3，4，纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…
∴2023÷4=505…3，
∴点A2023（2023，-2）
故答案为：（2023，-2）.
【分析】 观察图形，利用已知点的坐标可知它们的横坐标依次为1，2，3，4…（序号），纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…再用2023÷4，根据其余数可得到点点A2023的坐标.
12．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
13．（2024八上·蔡甸期末）如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为
【答案】
【知识点】解分式方程；点的坐标；翻折变换（折叠问题）；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A1⊥x轴交于点B，点A2⊥x轴交于点C，如图：
∵点A的坐标是（-1，0），△OAP是等边三角形，
故OA1=1，，
则，
∴，OA2=2，
∴，，
根据折叠可得，
∴，，
，，
，，
，，
······，
，，
∴，
故原分式方程为，
即：，
解得：，
经检验是原方程的解；
故答案为：.
【分析】结合题意和等边三角形三个角都是60°，可得OA1=1，，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得A1的坐标，结合折叠可推得A2023和A2024的坐标，求得a的值，代入求出分式方程的解，即可得出答案.
三、解答题
14．小明家和学校所在地的简单地图如图所示，已知，点为OP的中点，回答下列问题.
（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方
（2）写出学校、商场、公园、停车场相对于小明家的方位角，哪两个地方的方位角是相同的
（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米
【答案】（1）解：∵C为OP的中点，
.
.
∴图中距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）解：学校在小明家的北偏东45°方向，商场在小明家的北偏西30°方向，公园在小明家的南偏东60°方向，停车场在小明家的南偏东60°方向；公园和停车扬的方位角相同.
（3）解：图上1cm表示，
商场距离小明家.
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】（1）先根据中点的定义，得出OC=2cm，再根据图中得出与小明家距离相同的是学校和公园；
（2）根据方向的定义，得出学校、商场、公园、停车场分别在小明家的方位，并得出公园和停车场的方向是相同的；
（3）根据题意得出图中1cm表示的实际距离，然后根据商场和停车场分别距离小明家的图中距离，得出实际距离.
15．（2023八上·惠州开学考）如图，在以点为原点的平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，点在轴上，且轴，，满足点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动回到为止．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当点运动秒时，连接，，求出点的坐标，并直接写出，，之间满足的数量关系；
（3）点运动秒后，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，，；
（2）解：如图，当运动秒时，点运动了个单位长度，
，
点运动秒时，点在线段上，且，
点的坐标是；
如图，作．
，，
，
，，
；
（3）解：存在．
，
点可能运动到或或上．
当点运动到上时，，
，，
，解得：，
，
点的坐标为；
当点运动到上时，，即，
点到轴的距离为，
，解得，
，
此种情况不符合题意；
当点运动到上时，，即，
，
，解得：，
，
点的坐标为
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；点到直线的距离；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）且，，
，，
，，
，，；
【分析】 （1）利用非负数的性质列出方程求解，再写出A、B、C三点坐标；
（2）作PE∥AO．利用平行线的性质证明；
（3）根据P点运动的位置分三种情况讨论：当点运动到上时 ； 当点运动到上时 ； 当点运动到上时 .
四、综合题
16．（2023七下·浏阳期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．
（1）已知点，，，求三点的“矩面积”S．
（2）若点，，三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
【答案】（1）解：三点的“水平底”，“铅锤高”．
∴“矩面积”；
（2）解：三点的“水平底”，“矩面积”S为12．
当时，，
则“矩面积”，不合题意；
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
综上：点P的坐标为或．
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【分析】本题考查新定义的面积计算和点的坐标，理解新定义是解题关键。
（1）根据“矩面积”的定义，可知三点的“水平底”a和“铅锤高“h及“矩面积”；
（2）根据三点坐标，可知“水平底”，结合三点的纵坐标，分类讨论t的取值范围；当时，，则“矩面积”，不合题意；当时，，得，则点P的坐标为；当时，，则得，点P的坐标为，则点P的坐标为或．
17．（2023八下·石景山期末）在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．
（1）当点的坐标为时，
①如果点的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是 ；
如果点的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是 ；
②如果点是点的k倍关联点，且满足，那么k的最大值为 ；
（2）如果点的坐标为，且在函数 的图象上存在的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）或；或；5
（2）
【知识点】点的坐标；勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）当点的坐标为时，
①点的2倍关联点在轴上，设，根据题意可得，
解得或，
或，
点的2倍关联点在轴上，设，根据题意可得，
解得或，
或，
故答案为：或；或；
②的坐标为且的纵坐标为，
根据题意，可知当时，的值最大，
，
解得，
故答案为：5；
（2）设在函数的图象上的点是的2倍关联点，
根据题意，得，
化简得，
，
解得．
的取值范围是：．
【分析】（1）根据关联点的定义结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用一元二次方程根的判别式即可得到b的取值范围。
1 / 1湘教版数学八年级下学期 3.1 平面直角坐标系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册4.1探索确定位置的方法 同步训练）小张和小陈都在电影院看电影，小张的位置用（a，b）表示，小陈的位置用(x，y)表示，我们约定“排数在前，列数在后”，若小张恰在小陈的正前方，则（ ）
A．a＝x B．b=y C．a＝y D．b=x
2．（2023九上·景县期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·槐荫期中） 已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是（ ）
A．(2023，) B．(2022，0) C．(2024，0) D．(2026，－)
4．（2023八上·宝鸡期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·金乡县月考）如图，在正方形中，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
7．（2023八上·惠州开学考）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·迪庆期末）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2020八上·北京市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．若△ABC是以∠BAC为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为 ．
10．（2023九上·平遥月考）如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标 ．
11．（2023八上·福州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是 ．
12．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
13．（2024八上·蔡甸期末）如图，等边在坐标系中如图放置，其顶点的坐标为，将沿轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点依次落在点，，，，…，的位置上，设点的横坐标为，则方程的解为
三、解答题
14．小明家和学校所在地的简单地图如图所示，已知，点为OP的中点，回答下列问题.
（1）图中距小明家距离相同的是哪些地方
（2）写出学校、商场、公园、停车场相对于小明家的方位角，哪两个地方的方位角是相同的
（3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米
15．（2023八上·惠州开学考）如图，在以点为原点的平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，点在轴上，且轴，，满足点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动回到为止．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当点运动秒时，连接，，求出点的坐标，并直接写出，，之间满足的数量关系；
（3）点运动秒后，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2023七下·浏阳期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．
（1）已知点，，，求三点的“矩面积”S．
（2）若点，，三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．
17．（2023八下·石景山期末）在平面直角坐标系中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．
（1）当点的坐标为时，
①如果点的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是 ；
如果点的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是 ；
②如果点是点的k倍关联点，且满足，那么k的最大值为 ；
（2）如果点的坐标为，且在函数 的图象上存在的2倍关联点，直接写出b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：小张恰在小陈的正前方，说明小张和小陈在同一列，所以b=y.
故答案为：B
【分析】由小张恰在小陈的正前方，可得出小张和小陈在同一列，就可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示：连接AA'，CC'，分别作线段AA'，CC'的垂直平分线交于点P，
所以点P即为所求，点P的坐标为（-1，1），
故答案为：C.
【分析】根据所给图先连接AA'，CC'，分别作线段AA'，CC'的垂直平分线交于点P，再求点P的坐标即可。
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，......A2023分别作x轴的垂线
∵A1A2O是边长为2的等边三角形
∴
∴点A1的横坐标为1
由题意可得，点A2横坐标为3，点A3横坐标为3，点A3横坐标为4，......
则A2023横坐标为2023
∵2023÷3=674......1，
∴点A2023在第一象限
∴点A2023的纵坐标为
即点A2023坐标为
故答案为：A
【分析】过点A1，A4，A7，A10，A13，......A2023分别作x轴的垂线，根据等边三角形的性质及三角形的排列规律求出A1，A2，A3......的横坐标，可求出点A2023的横坐标，再根据A2023在第一象限求出纵坐标即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意可知：
a-5=0，解得a=5；
b+3=0，解得b=-3；
∴点C的坐标为（5，-3）
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上点的特征，x轴上的点，纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，列一元一次方程，即可求出a和b的值.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠AEO=∠ODC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠COD，∠AEO=∠ODC，AO=OC，
∴，
∴AE=OD=1，OE=CD=3，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为：（-3，1）。
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS可证明，从而得出AE=OD=1，OE=CD=3，进一步根据点A所在的象限，求得点A的坐标即可。
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
……
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452-=2025，45是奇数，
∴第2020个点的横坐标为45.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据新定义，得，解得， ∴Q的坐标为（-2，-1）．
故答案为：C.
【分析】根据新定义，列出关于待求字母的方程组求解，再写出点的坐标.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解： A1（-1，-1），
A2（-1，1），
A3（1，1），
A4（1，-1），
A5（-2，-2），
A6（-2，2），
A7（2，2），
A8（2，-2），
A9（-3，-3），
A10（-3，3），
A11（3，3），
A12（3，-3），
..．
根据上述各点的坐标，可得坐标的符号规律为：（-，-），（-，+），（+，+），（+，-）四个为一次循环，
∵2023÷4=505 3，
∴A2023的坐标为（506，506）.
故答案为：D.
【分析】依次写出A1，A2，A3，…从中找出规律，再按规律求解.
9．【答案】（4，0）或（﹣16，0）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△ABO中，AB=，
以点A为圆心，Ab长为半径作出弧与x轴交于点C1，C2，
∴AC2=AC1=AB=10，
∴OC2=OA+AC2=6+10=16，OC1=AC1-OA=10-6=4，
∴点C2的坐标为（-16，0），点C1的坐标为（4，0），
故答案为： （4，0）或（﹣16，0）.
【分析】先以点A为圆心，AB长为半径作出弧与x轴交于点C1，C2，可得AC2=AC1=AB=10，再求出OC2和OC1的长，可得点C的坐标.
10．【答案】（9，0）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-60°=30°，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=180°-60°-90°=30°，
∵AB=6，
∴BD=2AB=2×6=12，BO=AB=×6=3，
∴OD=BD-BO=12-3=9，
∴点D的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）.
【分析】先利用角的运算求出∠ADB=∠BAO=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD和BO的长，利用线段的和差求出OD的长，可得点D的坐标即可.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵ 点，，， ，
它们的横坐标依次为1，2，3，4，纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…
∴2023÷4=505…3，
∴点A2023（2023，-2）
故答案为：（2023，-2）.
【分析】 观察图形，利用已知点的坐标可知它们的横坐标依次为1，2，3，4…（序号），纵坐标依次为2，0，-2，0，2，0，-2，0…再用2023÷4，根据其余数可得到点点A2023的坐标.
12．【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
13．【答案】
【知识点】解分式方程；点的坐标；翻折变换（折叠问题）；探索图形规律
【解析】【解答】解：过点A1⊥x轴交于点B，点A2⊥x轴交于点C，如图：
∵点A的坐标是（-1，0），△OAP是等边三角形，
故OA1=1，，
则，
∴，OA2=2，
∴，，
根据折叠可得，
∴，，
，，
，，
，，
······，
，，
∴，
故原分式方程为，
即：，
解得：，
经检验是原方程的解；
故答案为：.
【分析】结合题意和等边三角形三个角都是60°，可得OA1=1，，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得A1的坐标，结合折叠可推得A2023和A2024的坐标，求得a的值，代入求出分式方程的解，即可得出答案.
14．【答案】（1）解：∵C为OP的中点，
.
.
∴图中距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）解：学校在小明家的北偏东45°方向，商场在小明家的北偏西30°方向，公园在小明家的南偏东60°方向，停车场在小明家的南偏东60°方向；公园和停车扬的方位角相同.
（3）解：图上1cm表示，
商场距离小明家.
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】（1）先根据中点的定义，得出OC=2cm，再根据图中得出与小明家距离相同的是学校和公园；
（2）根据方向的定义，得出学校、商场、公园、停车场分别在小明家的方位，并得出公园和停车场的方向是相同的；
（3）根据题意得出图中1cm表示的实际距离，然后根据商场和停车场分别距离小明家的图中距离，得出实际距离.
15．【答案】（1）
，，；
（2）解：如图，当运动秒时，点运动了个单位长度，
，
点运动秒时，点在线段上，且，
点的坐标是；
如图，作．
，，
，
，，
；
（3）解：存在．
，
点可能运动到或或上．
当点运动到上时，，
，，
，解得：，
，
点的坐标为；
当点运动到上时，，即，
点到轴的距离为，
，解得，
，
此种情况不符合题意；
当点运动到上时，，即，
，
，解得：，
，
点的坐标为
综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，点的坐标为：或
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；点到直线的距离；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）且，，
，，
，，
，，；
【分析】 （1）利用非负数的性质列出方程求解，再写出A、B、C三点坐标；
（2）作PE∥AO．利用平行线的性质证明；
（3）根据P点运动的位置分三种情况讨论：当点运动到上时 ； 当点运动到上时 ； 当点运动到上时 .
16．【答案】（1）解：三点的“水平底”，“铅锤高”．
∴“矩面积”；
（2）解：三点的“水平底”，“矩面积”S为12．
当时，，
则“矩面积”，不合题意；
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
当时，，
则，解得，
∴点P的坐标为．
综上：点P的坐标为或．
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【分析】本题考查新定义的面积计算和点的坐标，理解新定义是解题关键。
（1）根据“矩面积”的定义，可知三点的“水平底”a和“铅锤高“h及“矩面积”；
（2）根据三点坐标，可知“水平底”，结合三点的纵坐标，分类讨论t的取值范围；当时，，则“矩面积”，不合题意；当时，，得，则点P的坐标为；当时，，则得，点P的坐标为，则点P的坐标为或．
17．【答案】（1）或；或；5
（2）
【知识点】点的坐标；勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）当点的坐标为时，
①点的2倍关联点在轴上，设，根据题意可得，
解得或，
或，
点的2倍关联点在轴上，设，根据题意可得，
解得或，
或，
故答案为：或；或；
②的坐标为且的纵坐标为，
根据题意，可知当时，的值最大，
，
解得，
故答案为：5；
（2）设在函数的图象上的点是的2倍关联点，
根据题意，得，
化简得，
，
解得．
的取值范围是：．
【分析】（1）根据关联点的定义结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用一元二次方程根的判别式即可得到b的取值范围。
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