2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.3 一次函数的图像同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·盐田期末）一次函数的图象是由的图象平移得到的，则移动方法为（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
2．（2024八上·朝阳期末）将直线y＝4x﹣1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ）
A．y＝4x﹣3 B．y＝4x﹣1 C．y＝4x+1 D．y＝4x+3
3．若直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一，第三象限，则k的值可为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．2
4．（2024九上·杭州月考）已知点，，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·深圳期末）直线y＝﹣ax+a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
7．（2023八上·鄞州月考）一次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023八上·蓝田期中）将函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的新图象的函数表达式为 。
9．（2021八上·莲湖期中）一次函数y＝﹣2x＋b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ ．
10．（2023八上·蚌山期中）在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为 ．
11．（2023八上·坪山期中）如图，正方形ABCD，CEFG边在x轴的正半轴上，定点A、E在直线上，如果正方形ABCD边长是1，那么点F的坐标是 ．
三、解答题
12．（2023八上·蓝田期中）已知正比例函数的图象经过点。
（1）求这个正比例函数关系式；
（2）若这个图象还经过点，求点的坐标。
13．（2021九上·兰州月考）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.当矩形OCPD的面积为1时，求此时P点的坐标.
四、综合题
14．（2023八下·番禺期末）如图，函数与的图象交于点．
（1）求出m，n的值；
（2）观察图象，写出的解集；
（3）设和的面积分别为、，求．
15．（2023八下·鹤山期末）如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．
（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】函数由y=2x到y=2x+4，向上平移了4个单位.
故答案为：C.
【分析】平移规律：左加右减，上加下减.
2．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为，
故答案为：C．
【分析】一次函数图象的平移的规律：“上加下减，左加右减”．据此求解即可．
3．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一，第三象限，
∴k＞0，
∵-2＜0，-1＜0，-＜0，2＞0，
∴k的值可为2.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数的图象经过第一，第三象限，得出k＞0，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点B和C的纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴函数关于y轴对称，B、C不符合题意；
∵由点A和B的坐标可知，随着x的值增大，-2＜-1，y的值也在增大，a-1＜a；
A中当x由-2到-1时，y的值在减小；
∴D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数上点的特征，判断函数的对称轴；根据点的坐标的变化趋势，判断函数在一定区间的增长趋势，即可解题.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数图象的性质：a>0时，直线y= -ax +a过一、二、四象限，直线y = ax过一、三象限，没有选项符合；
a<0时，直线y=-ax +a过一、三、四象限，直线y = ax过二、四象限
故选D.
【分析】根据一次函数图象的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：y=ax-a=a(x-1)，即一次函数图象过点（1，0），
观察ABCD中的图象，只有A中图象过点（1，0）.
故答案为：A.
【分析】通过对一次函数的解析式的变形可得一次函数图象过点（1，0），即可求得.
8．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，得.
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，即可求解．
9．【答案】1
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：平移后的函数解析式为y＝﹣2x＋b+3，将点（2，0）代入，得b-1=0，
得b=1.
故答案为：1.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规则可得平移后的解析式为y＝-2x＋b+3，然后将（2，0）代入进行计算可得b的值.
10．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；平移的性质
【解析】【解答】解：设平移后的函数表达式为y=3x+b，把N（m，n）代入表达式中
3m+b=n
又∵3m-n=2
∴b=-2
因此直线AB的函数表达式为：y=3x-2
故答案为：y=3x-2.
【分析】设平移后的函数表达式为y=3x+b，把N点坐标代入即可得m，n，b的等式，结合3m-n=2即可求出函数表达式。
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，CEFG边在x轴的正半轴上，
，，、、、轴，
∵顶点A，E在直线，
令，则，
∴点，
∴点E的横坐标为3，
将代入直线，得，
∴点E、F的纵坐标是，
即，
∴点F的横坐标为，
∴点.
故答案为：．
【分析】根据已知条件，令y=1可得x=2，即点A(2，1)，再根据正方形的性质可得点E的横坐标，代入解析式即可求得点E的纵坐标，最后再根据正方形的性质求得点F的坐标即可．
12．【答案】（1）解：设正比例函数关系式为，
因为正比例函数的图象经过点，
所以，解得，所以
（2）解：把代入，得，
解得，故点的坐标是
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，利用待定系数法，将（﹣3，6）代入，即可求得，即可得解；
（2）将代入，即可求得a的值，从而求得A点坐标．
13．【答案】解：∵点P在一次函数y=-2x+3的图象上，
∴可设P（a，-2a+3）（a＞0），
由题意得 a（-2a+3）=1，
整理得2a2-3a+1=0，
解得 a1=1，a2= ，
∴-2a+3=1或-2a+3=2.
∴P（1，1）或（ ，2）时，矩形OCPD的面积为1.
【知识点】一次函数的图象
【解析】【分析】由题意可设点P（a，-2a+3），根据点P在一次函数图象上，可将点P的坐标代入一次函数的解析式得关于a的方程，解方程可求解.
14．【答案】（1）解：将点代入函数得：，
解得，
，
将点代入函数得：，
解得．
（2）解：不等式表示的是函数的图象位于函数的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，的解集为．
．
（3）解：对于函数，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
对于函数，
当时，，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据点P在直线解析式 上，求出P点坐标，将P点坐标代入 即可求出m的值；
（2）利用第一问的结果可知两个直线解析式，解一元一次不等式即可求出x的取值范围；
（3）利用直线解析式，求出OB和OC长度，即可表示出三角形BOC的面积，利用直线解析式求出A点和P点坐标，从而求出AB长度和三角形ABP中以AB为底边的高，从而求出三角形ABP面积，即可求出 比值.
15．【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（3）解：点在矩形的对角线上，
设，
，
，
，
，；
（4）解：，
设点的纵坐标为，
，
，
点在直线或的直线上，
作关于直线的对称点，
则点的坐标为，
连接交直线于，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
同理，点在直线的直线上，
，，
点的坐标为，或，．
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先计算矩形的面积，再利用等量关系求得的面积.
(2)先利用矩形的性质得到点C坐标，再通过待定系数法求得直线OC的解析式.
(3)利用直线OC的解析式设，进而用m表示出的面积得到方程，再解出m得到点P坐标.
(4)本题考查的是将军饮马模型的应用.由的面积可得点P到x轴的距离为2，故点P在直线或上.作点关于直线的对称点，连接OE，故OE与直线的交点即为点P.通过点E坐标求得直线OE的函数解析式，再求得y=2时的点P坐标.同理可求得直线上的点P坐标.
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一、选择题
1．（2024八上·盐田期末）一次函数的图象是由的图象平移得到的，则移动方法为（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】函数由y=2x到y=2x+4，向上平移了4个单位.
故答案为：C.
【分析】平移规律：左加右减，上加下减.
2．（2024八上·朝阳期末）将直线y＝4x﹣1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ）
A．y＝4x﹣3 B．y＝4x﹣1 C．y＝4x+1 D．y＝4x+3
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为，
故答案为：C．
【分析】一次函数图象的平移的规律：“上加下减，左加右减”．据此求解即可．
3．若直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一，第三象限，则k的值可为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．2
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一，第三象限，
∴k＞0，
∵-2＜0，-1＜0，-＜0，2＞0，
∴k的值可为2.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数的图象经过第一，第三象限，得出k＞0，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2024九上·杭州月考）已知点，，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点B和C的纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴函数关于y轴对称，B、C不符合题意；
∵由点A和B的坐标可知，随着x的值增大，-2＜-1，y的值也在增大，a-1＜a；
A中当x由-2到-1时，y的值在减小；
∴D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数上点的特征，判断函数的对称轴；根据点的坐标的变化趋势，判断函数在一定区间的增长趋势，即可解题.
5．（2024八上·深圳期末）直线y＝﹣ax+a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数图象的性质：a>0时，直线y= -ax +a过一、二、四象限，直线y = ax过一、三象限，没有选项符合；
a<0时，直线y=-ax +a过一、三、四象限，直线y = ax过二、四象限
故选D.
【分析】根据一次函数图象的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论即可.
6．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
7．（2023八上·鄞州月考）一次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：y=ax-a=a(x-1)，即一次函数图象过点（1，0），
观察ABCD中的图象，只有A中图象过点（1，0）.
故答案为：A.
【分析】通过对一次函数的解析式的变形可得一次函数图象过点（1，0），即可求得.
二、填空题
8．（2023八上·蓝田期中）将函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的新图象的函数表达式为 。
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，得.
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，即可求解．
9．（2021八上·莲湖期中）一次函数y＝﹣2x＋b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝ ．
【答案】1
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：平移后的函数解析式为y＝﹣2x＋b+3，将点（2，0）代入，得b-1=0，
得b=1.
故答案为：1.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规则可得平移后的解析式为y＝-2x＋b+3，然后将（2，0）代入进行计算可得b的值.
10．（2023八上·蚌山期中）在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；平移的性质
【解析】【解答】解：设平移后的函数表达式为y=3x+b，把N（m，n）代入表达式中
3m+b=n
又∵3m-n=2
∴b=-2
因此直线AB的函数表达式为：y=3x-2
故答案为：y=3x-2.
【分析】设平移后的函数表达式为y=3x+b，把N点坐标代入即可得m，n，b的等式，结合3m-n=2即可求出函数表达式。
11．（2023八上·坪山期中）如图，正方形ABCD，CEFG边在x轴的正半轴上，定点A、E在直线上，如果正方形ABCD边长是1，那么点F的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，CEFG边在x轴的正半轴上，
，，、、、轴，
∵顶点A，E在直线，
令，则，
∴点，
∴点E的横坐标为3，
将代入直线，得，
∴点E、F的纵坐标是，
即，
∴点F的横坐标为，
∴点.
故答案为：．
【分析】根据已知条件，令y=1可得x=2，即点A(2，1)，再根据正方形的性质可得点E的横坐标，代入解析式即可求得点E的纵坐标，最后再根据正方形的性质求得点F的坐标即可．
三、解答题
12．（2023八上·蓝田期中）已知正比例函数的图象经过点。
（1）求这个正比例函数关系式；
（2）若这个图象还经过点，求点的坐标。
【答案】（1）解：设正比例函数关系式为，
因为正比例函数的图象经过点，
所以，解得，所以
（2）解：把代入，得，
解得，故点的坐标是
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，利用待定系数法，将（﹣3，6）代入，即可求得，即可得解；
（2）将代入，即可求得a的值，从而求得A点坐标．
13．（2021九上·兰州月考）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.当矩形OCPD的面积为1时，求此时P点的坐标.
【答案】解：∵点P在一次函数y=-2x+3的图象上，
∴可设P（a，-2a+3）（a＞0），
由题意得 a（-2a+3）=1，
整理得2a2-3a+1=0，
解得 a1=1，a2= ，
∴-2a+3=1或-2a+3=2.
∴P（1，1）或（ ，2）时，矩形OCPD的面积为1.
【知识点】一次函数的图象
【解析】【分析】由题意可设点P（a，-2a+3），根据点P在一次函数图象上，可将点P的坐标代入一次函数的解析式得关于a的方程，解方程可求解.
四、综合题
14．（2023八下·番禺期末）如图，函数与的图象交于点．
（1）求出m，n的值；
（2）观察图象，写出的解集；
（3）设和的面积分别为、，求．
【答案】（1）解：将点代入函数得：，
解得，
，
将点代入函数得：，
解得．
（2）解：不等式表示的是函数的图象位于函数的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，的解集为．
．
（3）解：对于函数，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
对于函数，
当时，，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据点P在直线解析式 上，求出P点坐标，将P点坐标代入 即可求出m的值；
（2）利用第一问的结果可知两个直线解析式，解一元一次不等式即可求出x的取值范围；
（3）利用直线解析式，求出OB和OC长度，即可表示出三角形BOC的面积，利用直线解析式求出A点和P点坐标，从而求出AB长度和三角形ABP中以AB为底边的高，从而求出三角形ABP面积，即可求出 比值.
15．（2023八下·鹤山期末）如图，矩形中，，，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足．
（1）求；
（2）求直线的解析式；
（3）当点P在矩形的对角线上，求点P的坐标；
（4）当点P到O，B两点的距离之和取最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：在矩形中，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（3）解：点在矩形的对角线上，
设，
，
，
，
，；
（4）解：，
设点的纵坐标为，
，
，
点在直线或的直线上，
作关于直线的对称点，
则点的坐标为，
连接交直线于，则此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
同理，点在直线的直线上，
，，
点的坐标为，或，．
【知识点】正比例函数的图象和性质；三角形的面积；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先计算矩形的面积，再利用等量关系求得的面积.
(2)先利用矩形的性质得到点C坐标，再通过待定系数法求得直线OC的解析式.
(3)利用直线OC的解析式设，进而用m表示出的面积得到方程，再解出m得到点P坐标.
(4)本题考查的是将军饮马模型的应用.由的面积可得点P到x轴的距离为2，故点P在直线或上.作点关于直线的对称点，连接OE，故OE与直线的交点即为点P.通过点E坐标求得直线OE的函数解析式，再求得y=2时的点P坐标.同理可求得直线上的点P坐标.
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