2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.3 一次函数的图像同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·南山月考）把直线y＝－5x沿着y轴平移后得到直线AB，直线AB经过点（a，b），且5a＋b＝－2．则直线AB的函数表达式是（ ）
A．y＝－5x＋2 B．y＝－5x－2 C．y＝5x＋2 D．y＝5x－2
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： ∵直线y＝－5x沿着y轴平移后得到直线AB，
∴可设平移后的解析式为y＝－5x+m，
把点（a，b） 代入y＝－5x+m中，得b＝－5a+m，
即m=5a+b，
∵ 5a＋b＝－2 ，
∴m=-2，
∴直线AB的函数表达式是 y＝－5x－2 .
故答案为：B.
【分析】先设出平移后的解析式为y＝－5x+m，将点（a，b）代入得m=5a+b，结合已知可求出m值，继而得解.
2．（2023九上·南明期中）已知点A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函数y＝3x+b的图象上，则（ ）
A．m＝n B．m＞n
C．m＜n D．m，n的大小关系不确定
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴n＞m，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
3．（2023八上·西安月考）如图所示，能表示二元一次方程的直线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：
当x=0时，y=-1；当y=0时，x=2；
∴直线过点（0，-1）和（2，0）
故答案为：C.
【分析】根据直线与坐标轴交点的性质，可得与x轴和y轴的交点，对比选项即可.
4．（2023八上·松江期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：点C的横坐标为a，则点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴k=.
故答案为：D。
【分析】首先根据函数解析式，可设出点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，然后根据正方形的性质，即可得出等式，解方程即可求得k=.
5．（2023八上·城阳期中）下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】A、∵当x=2时，y=3×2-2=4≠3，∴点（2，3）不在函数图象上，∴A不符合题意；
B、∵当x=3时，y=3×3-2=7，∴点（3，7）在函数图象上，∴B符合题意；
C、∵当x=-2时，y=3×(-2)-2=-8≠0，∴点（-2，0）不在函数图象上，∴C不符合题意；
D、∵当x=0时，y=3×0-2=-2≠2，∴点（0，2）不在函数 图象上，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各顶点坐标分别代入解析式 求解并判断即可.
6．（2023八下·青山期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线l1：y=x的对称点P′，如图，过点P′作y轴的垂线，与直线l1：y=x交于点B，
在正方形OABC 中，OC=CB=BA=AO=6，
∵直线l1：y=x经过点O（0，0），B（6，6），
∴直线l1：y=x是正方形OABC的对称轴，
∵点P（6，2）在BC上，
∴可得点P关于l1：y=x的对称点P′（2，6），
当x=6时，，
即直线l2：经过点H（6，3），
过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y=x于点M，
∵P（6，2）和P′（2，6）关于l1：y=x对称，
∴PM=P′M，
∴PM+MN=P′M+MN=P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，
∴OH=
∵，
S△POH=S正方形OABC-S△POA-S△PBH-S△COH=6×6-
解得
即PM+MN的最小值
故答案为：B.
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形OABC，可得得点P关于l1的对称点P′的坐标，连接P′M，P′N，可说明PM+MN≥P′N，当P′，M，N三点在同一直线上时，PM+MN=P′N，也就是此时PM+MN的最小值为P′N，根据点到直线，垂线段最短，过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1于点M，此时P′N最小，利用△POH的面积的不同算法，列出关于P′N方程求解.
7．（2023八下·广安期末）如图，正方形、正方形、正方形的顶点、、和、、、分别在一次函数的图像和轴上，若正比例函数则过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： 在中， 当x=0时，y=1，则A（0，1），
∴OC=OA=1，
∴C（0，1），D（1，1），
把x=1代入中，y=2，
∴A1C=2，则CC1=A1C=2，
则D1（1+2，1×2），即（3，2），
同理：D2（1+2+4，2×2），即（7，4），
D3（1+2+4+8，2×2×2），即（15，8），
D4（1+2+4+8+16，2×2×2×2），即（31，16），
D5（1+2+4+8+16+32，2×2×2×2×2），即（63，32），
把D5（63，32）代入中，得k= ，
故答案为： .
【分析】先求出A（0，1），从而求出C（0，1），D（1，1），然后将D的横坐标代入中求出A1的纵坐标，即得A1的坐标，求出D1的坐标，同理求出D2、D3、D4、D5的坐标，再把D5的坐标代入中求出k值即可.
8．（2023·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵、…都是等边三角形，
∴，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的性质可得，由于直线与轴的成角，，可得出，=1，同理，…，，从而得出，，…，，易得，…，，可求出，，…，，根据三角形面积公式求解即可.
二、填空题
9．（2023八上·萧山月考）已知一次函数，当自变量时，函数y的值是 ．
【答案】3
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵x=2，
∴y=2×2-1=3.
故答案为：3.
【分析】由题意把x=2代入解析式计算即可求解.
10．（2023八下·台江期末）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是 ．
【答案】6
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC的面积为，
∴ab=，
∴ab=9；
∵点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
整理得-2a+2b=c，
两边同时平分得4a2+4b2-8ab=2c2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，
∴4c2-8×9=2c2，
解得c=6（负值已舍）.
故答案为：6.
【分析】根据直角三角形的面积计算公式可得ab=9，由一次函数图象上点的坐标特点得，整理并两边平方得4a2+4b2-8ab=2c2，在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，从而整体代入，求解可得c的值.
11．（2023八下·耿马期末）将一次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的解析式为y=3（x+3）+2-1，即y=3x+10，
故答案为：.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．（2023八上·深圳期中）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
【答案】（5，4）
【知识点】一次函数的图象；平行线的性质；三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4，
∴y=-x+4，
∴B（0，4），即OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵OB：OC＝4：1 ，
∴OC=1，即C（-1，0），
∴AC=5，
由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，
∴D（5，4），
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴直线y=x垂直平分AB，
则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），
∴△ABD'≌△ABD，
∴△ABC≌△ABD'，
∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）；
故答案为：（5，4）或（4，5）.
【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解.
13．（2023八上·合肥期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数，．
（1）若，则、的图象与轴围成的区域内包括边界有 个整点；
（2）若、的图象与轴围成的区域内恰有个整点，则的的取值范围是 ．
【答案】（1）4
（2）或
【知识点】一次函数的图象；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当k=1时，，则函数y1和y2的图象如图所示：
∴函数y1和y2的图象交于点（1，1），
∴根据函数图象可得， 一次函数、与x轴围成的区域内（包括边界）有（0，0），（1，0），（2，0），（1，1）4个整点，
故答案为：4；
（2）①当k>0时，两函数图象如图所示：
∴函数y1和y2的图象交于点（1，1），
∴根据图象可知，直线与x轴的交点在（-2，0）和（-3，0）之间时，y1和y2的图象与x轴围成的区域内恰好由6个整点，包括（-2，0），不包括（-3，0），
将（-2，0）代入可得：0=-2k-k+1，解得：；
将（-3，0）代入可得：0=-3k-k+1，解得：，
∴；
②当k<0时，
同理可得：直线与x轴的交点在（6，0）和（7，0），
解得：，
综上，k的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）先求出函数，借助图象分析求解即可；
（2）分类讨论：①当k>0时，②当k<0时，借助图象分析求解即可.
三、解答题
14．（2023九上·自流井开学考）如图，边长为4的正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，AB⊥y轴，AD⊥x轴，点A在直线y=2x-3上移动．
（1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标；
（2）在正方形ABCD移动过程中，直线l始终平分正方形ABCD的面积，求直线l的解析式；
（3）当正方形ABCD有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标．
【答案】（1）解：当点A的横坐标为1，则y＝2x-3＝-1，
∴点A（1，-1）∵AB⊥y轴，AB=BC=4，
∴点B（-3，-1），C（-3、3）；
（2）解：设点A（m，2m-3），则点C（m-4，2m+1），
由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：（m-2，2m-1），
即x＝m-2，y＝2m-1，
则y＝2x+3
（3）解：点A的坐标为：（，-4）或（5，5）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，则点A的纵坐标为0或-4，
当y=0时，y＝2x-3，得x=；当y=-4时，y＝2x-3，得x=，
∴A（，0）或（，-4）；
当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，
当x=0时，y＝2x-3=-3；当x=4时，y＝2x-3=5；
∴A（0，-3）或（0，5）；
综上：点A的坐标为（，0）或（，-4）或（0，-3）或（0，5）；
【分析】（1） 当点A的横坐标为1时，则y＝2x-3＝-1，即可求解；
（2）设点A（m，2m-3），则点C（m-4，2m+1），由中点坐标公式求出正方形的中心坐标，继而得解；
（3）分两种情况：当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，可得则点A的纵坐标为0或-4；当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，根据一次函数图象上点的坐标特征分别求解即可.
15．（2023九上·大兴期中）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：当时，；当时，k叫做点P的“斜值”．
（1）直接写出点的“斜值”k的值 ；
（2）若点的“斜值”，且，求点P的坐标；
（3）如图，正方形中，，，，若正方形的边上存在两个点的“斜值”为，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：
．
．
．
．
或．
解得：，．
当时，；
时，．
所以点的坐标为或；
（3）解：-≤m≤-2或 -< m≤2
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；正方形的性质；定义新运算
【解析】【解答】 (1)解：
∴k=
∴点P的“斜值"k的值为，
故答案为：.
(3) 当a≥b时，k=||=
当a>0时，b=a或b=-a；
当a<0时，b=a(当b=-1时，a=-2<-1=b，不合题意，舍去)，
即点P(a，b)在b=a或b=-a(a>0)上；
当a当a>0时，b=2a，
当a<0时，b=2a或b=-2a，
即点P(a，b)在b=2a(a>0)、b=2a或b=-2a(a<0)上，
∵：正方形ABCD中，A(m，1)， B(m，-1)， C(m+2，-1)，
∴D(m+2，1)， CD= AB=1-(-1)=2， AD= BC=1-(-1)=2，
①若a<0，
当b=1时，-2a=1， 解得 a=-， 如图，点D恰好在b=-2a上，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -≤m≤-2，
②若a>0，
当b=1时，a=1，解得： a=2，如图，点A恰好在b=a.上，
当b=1时，2a=1，解得： a=，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -< m≤2，
综上可得，m的取值范围是-≤m≤-2或 -< m≤2.
【分析】 (1)根据“斜值"的定义求解即可；
(2)根据“斜值"的定义得到结合b-a=2求解即可；
(3)本题运用了分类讨论的思想，难度较大，分a>0和a<0两种情况，结合题意画出图形是解题的关键．
四、综合题
16．（2023八下·市南区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
17．（2020八上·射阳月考）已知：如图，一次函数y＝ x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E.
（1）直线CD的函数表达式为 ；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ.
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y＝3x﹣6
（2）解：①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，
∴S△BEQ＝ S△BDE或S△BEQ＝ S△BDE.
在y＝ x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6.
∴B（0，3），D（4，6）.
在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6.
∴E（0，﹣6）.
∴BE＝9.
如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4.
∴S△BDE＝ BE DH＝ ×9×4＝18.
∴S△BEQ＝ ×18＝6或S△BEQ＝ ×18＝12.
设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0.
过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t.
∴ ×9×t＝6或 ×9×t＝12.
解得t＝ 或 .
当t＝ 时，3t﹣6＝﹣2；当t＝ 时3t﹣6＝2.
∴Q的坐标为（ ，﹣2）或（ ，2）.
②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中.
由（2）知B（0，3），D（4，6），
∴BH＝BO＝3.
由翻折得BD＝BD1.
在Rt△DHB和Rt△D1OB中，
，
∴Rt△DHB≌Rt△D1OB.
∴∠DBH＝∠D1BO.
由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ.
∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°.
∴BQ∥x轴.
∴点Q的纵坐标为3.
在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3.
∴Q（3，3），
当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中.
过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N.
由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ.
∴QM＝QN.
由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18.
∴ BD QM+ BE QN＝18.
在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝5.
∴ ×5 QN+ ×9 QN＝18.
解得QN＝ .
∴点Q的横坐标为 .
在y＝3x﹣6中，当x＝ 时，y＝ .
∴Q（ ， ）.
综合知，点Q的坐标为（3，3）或（ ， ）.
【知识点】一次函数图象与几何变换；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由题意：D（4，6），C（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣6.
故答案为：y＝3x﹣6.
【分析】（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）①分两种情形S△BEQ＝ S△BDE或S△BEQ＝ S△BDE分别构建方程即可；②分两种情形当：点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中.当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中.分别求解即可
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.3 一次函数的图像同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·南山月考）把直线y＝－5x沿着y轴平移后得到直线AB，直线AB经过点（a，b），且5a＋b＝－2．则直线AB的函数表达式是（ ）
A．y＝－5x＋2 B．y＝－5x－2 C．y＝5x＋2 D．y＝5x－2
2．（2023九上·南明期中）已知点A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函数y＝3x+b的图象上，则（ ）
A．m＝n B．m＞n
C．m＜n D．m，n的大小关系不确定
3．（2023八上·西安月考）如图所示，能表示二元一次方程的直线是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·松江期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
5．（2023八上·城阳期中）下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·青山期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023八下·广安期末）如图，正方形、正方形、正方形的顶点、、和、、、分别在一次函数的图像和轴上，若正比例函数则过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·萧山月考）已知一次函数，当自变量时，函数y的值是 ．
10．（2023八下·台江期末）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是 ．
11．（2023八下·耿马期末）将一次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数解析式为 ．
12．（2023八上·深圳期中）如图，直线AB的解析式为y＝-x+b，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（4，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．
13．（2023八上·合肥期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数，．
（1）若，则、的图象与轴围成的区域内包括边界有 个整点；
（2）若、的图象与轴围成的区域内恰有个整点，则的的取值范围是 ．
三、解答题
14．（2023九上·自流井开学考）如图，边长为4的正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，AB⊥y轴，AD⊥x轴，点A在直线y=2x-3上移动．
（1）当点A的横坐标为1时，求B，C两点的坐标；
（2）在正方形ABCD移动过程中，直线l始终平分正方形ABCD的面积，求直线l的解析式；
（3）当正方形ABCD有一条边与x轴或y轴重合时，请直接写出所有符合条件的点A的坐标．
15．（2023九上·大兴期中）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：当时，；当时，k叫做点P的“斜值”．
（1）直接写出点的“斜值”k的值 ；
（2）若点的“斜值”，且，求点P的坐标；
（3）如图，正方形中，，，，若正方形的边上存在两个点的“斜值”为，直接写出m的取值范围．
四、综合题
16．（2023八下·市南区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2020八上·射阳月考）已知：如图，一次函数y＝ x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E.
（1）直线CD的函数表达式为 ；（直接写出结果）
（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ.
①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： ∵直线y＝－5x沿着y轴平移后得到直线AB，
∴可设平移后的解析式为y＝－5x+m，
把点（a，b） 代入y＝－5x+m中，得b＝－5a+m，
即m=5a+b，
∵ 5a＋b＝－2 ，
∴m=-2，
∴直线AB的函数表达式是 y＝－5x－2 .
故答案为：B.
【分析】先设出平移后的解析式为y＝－5x+m，将点（a，b）代入得m=5a+b，结合已知可求出m值，继而得解.
2．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴n＞m，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：
当x=0时，y=-1；当y=0时，x=2；
∴直线过点（0，-1）和（2，0）
故答案为：C.
【分析】根据直线与坐标轴交点的性质，可得与x轴和y轴的交点，对比选项即可.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正比例函数的图象和性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：点C的横坐标为a，则点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴k=.
故答案为：D。
【分析】首先根据函数解析式，可设出点C的坐标为（a，-6a），点B的坐标为：，然后根据正方形的性质，即可得出等式，解方程即可求得k=.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】A、∵当x=2时，y=3×2-2=4≠3，∴点（2，3）不在函数图象上，∴A不符合题意；
B、∵当x=3时，y=3×3-2=7，∴点（3，7）在函数图象上，∴B符合题意；
C、∵当x=-2时，y=3×(-2)-2=-8≠0，∴点（-2，0）不在函数图象上，∴C不符合题意；
D、∵当x=0时，y=3×0-2=-2≠2，∴点（0，2）不在函数 图象上，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各顶点坐标分别代入解析式 求解并判断即可.
6．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点P关于直线l1：y=x的对称点P′，如图，过点P′作y轴的垂线，与直线l1：y=x交于点B，
在正方形OABC 中，OC=CB=BA=AO=6，
∵直线l1：y=x经过点O（0，0），B（6，6），
∴直线l1：y=x是正方形OABC的对称轴，
∵点P（6，2）在BC上，
∴可得点P关于l1：y=x的对称点P′（2，6），
当x=6时，，
即直线l2：经过点H（6，3），
过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y=x于点M，
∵P（6，2）和P′（2，6）关于l1：y=x对称，
∴PM=P′M，
∴PM+MN=P′M+MN=P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，
∴OH=
∵，
S△POH=S正方形OABC-S△POA-S△PBH-S△COH=6×6-
解得
即PM+MN的最小值
故答案为：B.
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形OABC，可得得点P关于l1的对称点P′的坐标，连接P′M，P′N，可说明PM+MN≥P′N，当P′，M，N三点在同一直线上时，PM+MN=P′N，也就是此时PM+MN的最小值为P′N，根据点到直线，垂线段最短，过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1于点M，此时P′N最小，利用△POH的面积的不同算法，列出关于P′N方程求解.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： 在中， 当x=0时，y=1，则A（0，1），
∴OC=OA=1，
∴C（0，1），D（1，1），
把x=1代入中，y=2，
∴A1C=2，则CC1=A1C=2，
则D1（1+2，1×2），即（3，2），
同理：D2（1+2+4，2×2），即（7，4），
D3（1+2+4+8，2×2×2），即（15，8），
D4（1+2+4+8+16，2×2×2×2），即（31，16），
D5（1+2+4+8+16+32，2×2×2×2×2），即（63，32），
把D5（63，32）代入中，得k= ，
故答案为： .
【分析】先求出A（0，1），从而求出C（0，1），D（1，1），然后将D的横坐标代入中求出A1的纵坐标，即得A1的坐标，求出D1的坐标，同理求出D2、D3、D4、D5的坐标，再把D5的坐标代入中求出k值即可.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵、…都是等边三角形，
∴，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的性质可得，由于直线与轴的成角，，可得出，=1，同理，…，，从而得出，，…，，易得，…，，可求出，，…，，根据三角形面积公式求解即可.
9．【答案】3
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵x=2，
∴y=2×2-1=3.
故答案为：3.
【分析】由题意把x=2代入解析式计算即可求解.
10．【答案】6
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC的面积为，
∴ab=，
∴ab=9；
∵点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
整理得-2a+2b=c，
两边同时平分得4a2+4b2-8ab=2c2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，
∴4c2-8×9=2c2，
解得c=6（负值已舍）.
故答案为：6.
【分析】根据直角三角形的面积计算公式可得ab=9，由一次函数图象上点的坐标特点得，整理并两边平方得4a2+4b2-8ab=2c2，在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，从而整体代入，求解可得c的值.
11．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的解析式为y=3（x+3）+2-1，即y=3x+10，
故答案为：.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．【答案】（5，4）
【知识点】一次函数的图象；平行线的性质；三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：把A（4，0）代入y＝-x+b中，得b=4，
∴y=-x+4，
∴B（0，4），即OB=4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵OB：OC＝4：1 ，
∴OC=1，即C（-1，0），
∴AC=5，
由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，
∴D（5，4），
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴直线y=x垂直平分AB，
则点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），
∴△ABD'≌△ABD，
∴△ABC≌△ABD'，
∴ 以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为（5，4）或（4，5）；
故答案为：（5，4）或（4，5）.
【分析】求出OB、OC的长，易得△AOB为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB为公共边，当BD∥AC且BD=AC=5时，△ABC≌△ABD，由△AOB为等腰直角三角形，可得直线y=x垂直平分AB，求出点D（5，4）关于直线y=x的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解.
13．【答案】（1）4
（2）或
【知识点】一次函数的图象；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当k=1时，，则函数y1和y2的图象如图所示：
∴函数y1和y2的图象交于点（1，1），
∴根据函数图象可得， 一次函数、与x轴围成的区域内（包括边界）有（0，0），（1，0），（2，0），（1，1）4个整点，
故答案为：4；
（2）①当k>0时，两函数图象如图所示：
∴函数y1和y2的图象交于点（1，1），
∴根据图象可知，直线与x轴的交点在（-2，0）和（-3，0）之间时，y1和y2的图象与x轴围成的区域内恰好由6个整点，包括（-2，0），不包括（-3，0），
将（-2，0）代入可得：0=-2k-k+1，解得：；
将（-3，0）代入可得：0=-3k-k+1，解得：，
∴；
②当k<0时，
同理可得：直线与x轴的交点在（6，0）和（7，0），
解得：，
综上，k的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）先求出函数，借助图象分析求解即可；
（2）分类讨论：①当k>0时，②当k<0时，借助图象分析求解即可.
14．【答案】（1）解：当点A的横坐标为1，则y＝2x-3＝-1，
∴点A（1，-1）∵AB⊥y轴，AB=BC=4，
∴点B（-3，-1），C（-3、3）；
（2）解：设点A（m，2m-3），则点C（m-4，2m+1），
由中点坐标公式得：正方形的中心坐标为：（m-2，2m-1），
即x＝m-2，y＝2m-1，
则y＝2x+3
（3）解：点A的坐标为：（，-4）或（5，5）．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；正方形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（3）当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，则点A的纵坐标为0或-4，
当y=0时，y＝2x-3，得x=；当y=-4时，y＝2x-3，得x=，
∴A（，0）或（，-4）；
当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，
当x=0时，y＝2x-3=-3；当x=4时，y＝2x-3=5；
∴A（0，-3）或（0，5）；
综上：点A的坐标为（，0）或（，-4）或（0，-3）或（0，5）；
【分析】（1） 当点A的横坐标为1时，则y＝2x-3＝-1，即可求解；
（2）设点A（m，2m-3），则点C（m-4，2m+1），由中点坐标公式求出正方形的中心坐标，继而得解；
（3）分两种情况：当正方形ABCD有一条边与x轴重合时，可得则点A的纵坐标为0或-4；当正方形ABCD有一条边与y轴重合时，则点A的横坐标为0或4，根据一次函数图象上点的坐标特征分别求解即可.
15．【答案】（1）
（2）解：
．
．
．
．
或．
解得：，．
当时，；
时，．
所以点的坐标为或；
（3）解：-≤m≤-2或 -< m≤2
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；正方形的性质；定义新运算
【解析】【解答】 (1)解：
∴k=
∴点P的“斜值"k的值为，
故答案为：.
(3) 当a≥b时，k=||=
当a>0时，b=a或b=-a；
当a<0时，b=a(当b=-1时，a=-2<-1=b，不合题意，舍去)，
即点P(a，b)在b=a或b=-a(a>0)上；
当a当a>0时，b=2a，
当a<0时，b=2a或b=-2a，
即点P(a，b)在b=2a(a>0)、b=2a或b=-2a(a<0)上，
∵：正方形ABCD中，A(m，1)， B(m，-1)， C(m+2，-1)，
∴D(m+2，1)， CD= AB=1-(-1)=2， AD= BC=1-(-1)=2，
①若a<0，
当b=1时，-2a=1， 解得 a=-， 如图，点D恰好在b=-2a上，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -≤m≤-2，
②若a>0，
当b=1时，a=1，解得： a=2，如图，点A恰好在b=a.上，
当b=1时，2a=1，解得： a=，
∵正方形ABCD的边上存在两个点的“斜值”为，
∴
解得： -< m≤2，
综上可得，m的取值范围是-≤m≤-2或 -< m≤2.
【分析】 (1)根据“斜值"的定义求解即可；
(2)根据“斜值"的定义得到结合b-a=2求解即可；
(3)本题运用了分类讨论的思想，难度较大，分a>0和a<0两种情况，结合题意画出图形是解题的关键．
16．【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）点Q的坐标为或或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】（1）由旋转的性质及余角的性质推出∠BCO≌△CDE，根据AAS证明△BOC≌△CED；
（2）先求A、B的坐标，可得OA=6，OB=3，由（1）知△BOC≌△CED，可得，设，则点D的坐标为，将点D坐标代入直线中求出m值即可；
（3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.
17．【答案】（1）y＝3x﹣6
（2）解：①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，
∴S△BEQ＝ S△BDE或S△BEQ＝ S△BDE.
在y＝ x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6.
∴B（0，3），D（4，6）.
在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6.
∴E（0，﹣6）.
∴BE＝9.
如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4.
∴S△BDE＝ BE DH＝ ×9×4＝18.
∴S△BEQ＝ ×18＝6或S△BEQ＝ ×18＝12.
设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0.
过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t.
∴ ×9×t＝6或 ×9×t＝12.
解得t＝ 或 .
当t＝ 时，3t﹣6＝﹣2；当t＝ 时3t﹣6＝2.
∴Q的坐标为（ ，﹣2）或（ ，2）.
②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中.
由（2）知B（0，3），D（4，6），
∴BH＝BO＝3.
由翻折得BD＝BD1.
在Rt△DHB和Rt△D1OB中，
，
∴Rt△DHB≌Rt△D1OB.
∴∠DBH＝∠D1BO.
由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ.
∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°.
∴BQ∥x轴.
∴点Q的纵坐标为3.
在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3.
∴Q（3，3），
当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中.
过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N.
由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ.
∴QM＝QN.
由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18.
∴ BD QM+ BE QN＝18.
在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝5.
∴ ×5 QN+ ×9 QN＝18.
解得QN＝ .
∴点Q的横坐标为 .
在y＝3x﹣6中，当x＝ 时，y＝ .
∴Q（ ， ）.
综合知，点Q的坐标为（3，3）或（ ， ）.
【知识点】一次函数图象与几何变换；三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由题意：D（4，6），C（2，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣6.
故答案为：y＝3x﹣6.
【分析】（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）①分两种情形S△BEQ＝ S△BDE或S△BEQ＝ S△BDE分别构建方程即可；②分两种情形当：点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中.当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中.分别求解即可
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