2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·泸水期末）点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数的图象上，
∴3k=-5，
解得：，
故答案为：D.
【分析】将点的坐标代入函数解析式求出3k=-5，再计算求解即可。
2．（2024八上·坪山期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得：，，
故答案为：B．
【分析】依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大，即可得解.
3．（2020八上·慈溪期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 中的k=
则y随x的增大而减小
故答案为：A.
【分析】由自变量的系数小于0可知y随x的增大而减小，故只要比较三个点的横坐标的大小即可得出答案.
4．（2024八上·榆阳期末）在平面直角坐标系中，若，，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，，
一次函数的图象经过一、二、三象限，.选项B图象经过一、二、三象限，
故答案为B.
【分析】根据一次函数图象得性质：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、二、三象限，据此逐项判断即可得解．
5．（2020九上·新建期中）若一次函数 的图像过第一、三、四象限，则函数 （ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数 有最大值，
∴最大值为 ，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象经过第一、三、四象限，可求得-1＜m＜0，再求最大值即可。
6．（2024八上·南明期末）一次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
函数值y随x的增大而减小，
又，
图像与y轴交在正半轴，
图像经过一二四象限，
结合图像可知C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的k、b符号确定一次函数所经过的象限即可判断大致图像.
7．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的定义；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
8．（2024八上·靖边期末）一次函数 和正比例函数 在同一直角坐标系中的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知，正比例函数图象经过第一、三象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，A正确；
B、由图象可知，正比例函数图象经过第一、三象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，B中一次函数经过第一、二、四象限，B错误；
C、由图象可知，正比例函数图象经过第二、四象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，C中经过第一、三、四象限，C错误；
D、由图象可知，正比例函数图象经过第二、四象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，D中经过第二、三、四象限，D错误；
故答案为：A.
【分析】先根据正比例函数图象的特点分析k的符号，再根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限逐一判断即可.
二、填空题
9．（2022八上·青岛期中）若点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”）
【答案】>
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在一次函数的图象上，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质求解即可。
10．（2019七下·凤县期末）一个水库的水位在最近5h内持续上涨.下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度.
x/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
根据表格中水位的变化规律，则y与x的函数表达式为 .
【答案】y=0.3x+3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设y与x的函数表达式为y=kx+b，
把x=0，y=3和x=1，y=3.3代入得，
，
解得： .
故y与x的函数表达式为y=0.3x+3.
故答案为：y=0.3x+3.
【分析】根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式.
11．（2023八上·杭州月考）已知x﹣2y＝2，且x＞1，y＜0，令m＝x+2y，则m的取值范围是 ．
【答案】0＜m＜2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵x-2y=2，
∴2y=x-2，
∴m=x+x-2=2x-2，
∵y＜0，
∴x-2＜0，
解得x＜2，
又∵x＞1，
∴1＜x＜2，
当x=1时，m=2x-2=0；
当x=2时，m=2x-2=2，
∴m的取值范围为0＜m＜2.
故答案为：0＜m＜2.
【分析】先用含x的式子表示出y，再用含x的式子表示出m得m=2x-2，根据y＜0，并结合已知可求出x的取值范围为1＜x＜2，然后将x两个界点的值代入m=2x-2，即可求出m的取值范围.
12．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中.若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，
过A作AB⊥y轴于B，过A作AC⊥x轴于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴△ABO面积是5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴A（，3），
设直线l的解析式为y=kx，
则3=k，
∴k=，
∴直线l解析式为y=x，
故答案为：y=x.
【分析】 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥y轴于B，过A作AC⊥x轴于C，得出OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，设直线l的解析式为y=kx，把点A的坐标代入求出k的值，即可得出答案.
13．（2023八上·亳州月考）已知一次函数（为常数且）．
（1）若该一次函数图象经过点，则 ；
（2）当时，函数有最大值11，则的值为 ．
【答案】（1）2
（2）1或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）把点代入一次函数的表达式中，
得：，
解得：；
故答案为：2.
（2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值，
，解得；
当时，随增大而减小，则当时，有最大值，
，解得．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的特征求解。把点代入一次函数的表达式中求解；
（2）根据一次函数的性质求解。分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解．
三、解答题
14．（2024八上·桐乡市期末）如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点，分别代入直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）求出点C的坐标，然后根据三角形面积计算公式计算即可.
15．（2024八下·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交轴于点（4，0），交轴于点（0，3）．
（1）求直线的解析式；
（2）是轴上一点，当的面积为5时，求点的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为，
将，代入得：，
解得：．
∴直线AB的解析式为；
（2）解：如图：
的面积为5，
，
即，解得，
，
的坐标为，或，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的面积计算公式结合△ABM的面积为5建立方程可求出AM的长，进而根据数轴上两点间的距离公式可求出点M的坐标.
四、综合题
16．（2017八上·江都期末）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标.
【答案】（1）解：由y=2x+3可知，A ( ，B(0，3) ，
∴OA= ，OB=3 .
∴△AOB的面积：
（2）解：∵△ABP的面积是 ， OB=3
∴AP=3 ∴P(1.5，0) 或 （-4.5，0）
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，得到A、B两点的坐标，求出△AOB的面积；（2）由△ABP的面积和OB的值，求出AP的值，得到点P的坐标.
17．（2024八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
（1）求直线的表达式．
（2）如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
（3）如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）
解：设直线的表达式为，把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
(2) 、解：∵，，∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
(3)解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【分析】见解题过程
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·泸水期末）点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·坪山期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
3．（2020八上·慈溪期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·榆阳期末）在平面直角坐标系中，若，，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·新建期中）若一次函数 的图像过第一、三、四象限，则函数 （ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
6．（2024八上·南明期末）一次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
8．（2024八上·靖边期末）一次函数 和正比例函数 在同一直角坐标系中的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022八上·青岛期中）若点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”）
10．（2019七下·凤县期末）一个水库的水位在最近5h内持续上涨.下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度.
x/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
根据表格中水位的变化规律，则y与x的函数表达式为 .
11．（2023八上·杭州月考）已知x﹣2y＝2，且x＞1，y＜0，令m＝x+2y，则m的取值范围是 ．
12．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中.若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为 .
13．（2023八上·亳州月考）已知一次函数（为常数且）．
（1）若该一次函数图象经过点，则 ；
（2）当时，函数有最大值11，则的值为 ．
三、解答题
14．（2024八上·桐乡市期末）如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
15．（2024八下·宝安开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交轴于点（4，0），交轴于点（0，3）．
（1）求直线的解析式；
（2）是轴上一点，当的面积为5时，求点的坐标．
四、综合题
16．（2017八上·江都期末）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标.
17．（2024八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
（1）求直线的表达式．
（2）如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
（3）如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数的图象上，
∴3k=-5，
解得：，
故答案为：D.
【分析】将点的坐标代入函数解析式求出3k=-5，再计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得：，，
故答案为：B．
【分析】依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大，即可得解.
3．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 中的k=
则y随x的增大而减小
故答案为：A.
【分析】由自变量的系数小于0可知y随x的增大而减小，故只要比较三个点的横坐标的大小即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，，
一次函数的图象经过一、二、三象限，.选项B图象经过一、二、三象限，
故答案为B.
【分析】根据一次函数图象得性质：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、二、三象限，据此逐项判断即可得解．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数 有最大值，
∴最大值为 ，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象经过第一、三、四象限，可求得-1＜m＜0，再求最大值即可。
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
函数值y随x的增大而减小，
又，
图像与y轴交在正半轴，
图像经过一二四象限，
结合图像可知C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的k、b符号确定一次函数所经过的象限即可判断大致图像.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的定义；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
8．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象可知，正比例函数图象经过第一、三象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，A正确；
B、由图象可知，正比例函数图象经过第一、三象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，B中一次函数经过第一、二、四象限，B错误；
C、由图象可知，正比例函数图象经过第二、四象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，C中经过第一、三、四象限，C错误；
D、由图象可知，正比例函数图象经过第二、四象限，可得，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，D中经过第二、三、四象限，D错误；
故答案为：A.
【分析】先根据正比例函数图象的特点分析k的符号，再根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限逐一判断即可.
9．【答案】>
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在一次函数的图象上，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质求解即可。
10．【答案】y=0.3x+3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设y与x的函数表达式为y=kx+b，
把x=0，y=3和x=1，y=3.3代入得，
，
解得： .
故y与x的函数表达式为y=0.3x+3.
故答案为：y=0.3x+3.
【分析】根据记录表由待定系数法就可以求出y与x的函数表达式.
11．【答案】0＜m＜2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵x-2y=2，
∴2y=x-2，
∴m=x+x-2=2x-2，
∵y＜0，
∴x-2＜0，
解得x＜2，
又∵x＞1，
∴1＜x＜2，
当x=1时，m=2x-2=0；
当x=2时，m=2x-2=2，
∴m的取值范围为0＜m＜2.
故答案为：0＜m＜2.
【分析】先用含x的式子表示出y，再用含x的式子表示出m得m=2x-2，根据y＜0，并结合已知可求出x的取值范围为1＜x＜2，然后将x两个界点的值代入m=2x-2，即可求出m的取值范围.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，
过A作AB⊥y轴于B，过A作AC⊥x轴于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴△ABO面积是5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴A（，3），
设直线l的解析式为y=kx，
则3=k，
∴k=，
∴直线l解析式为y=x，
故答案为：y=x.
【分析】 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥y轴于B，过A作AC⊥x轴于C，得出OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，设直线l的解析式为y=kx，把点A的坐标代入求出k的值，即可得出答案.
13．【答案】（1）2
（2）1或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）把点代入一次函数的表达式中，
得：，
解得：；
故答案为：2.
（2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值，
，解得；
当时，随增大而减小，则当时，有最大值，
，解得．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的特征求解。把点代入一次函数的表达式中求解；
（2）根据一次函数的性质求解。分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解．
14．【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点，分别代入直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）求出点C的坐标，然后根据三角形面积计算公式计算即可.
15．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为，
将，代入得：，
解得：．
∴直线AB的解析式为；
（2）解：如图：
的面积为5，
，
即，解得，
，
的坐标为，或，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的面积计算公式结合△ABM的面积为5建立方程可求出AM的长，进而根据数轴上两点间的距离公式可求出点M的坐标.
16．【答案】（1）解：由y=2x+3可知，A ( ，B(0，3) ，
∴OA= ，OB=3 .
∴△AOB的面积：
（2）解：∵△ABP的面积是 ， OB=3
∴AP=3 ∴P(1.5，0) 或 （-4.5，0）
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，得到A、B两点的坐标，求出△AOB的面积；（2）由△ABP的面积和OB的值，求出AP的值，得到点P的坐标.
17．【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）
解：设直线的表达式为，把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
(2) 、解：∵，，∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
(3)解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【分析】见解题过程
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