2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·浑江期末）已知点（﹣2，m），（1，n）都在直线y＝2x+b上，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为y＝2x+b，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-2<1，
∴m故答案为：C.
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-2<1，可得m2．（2023八上·浑江期末）关于一次函数y＝2x﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1） B．图象经过第二象限
C．图象与x轴交于点（﹣3，0） D．函数值y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴当x=2时，y=2×2-3=1，∴点（2，-1）不在函数图象上，∴A不正确，不符合题意；
B、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴B不正确，不符合题意；
C、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴当y=0时，x=1.5，∴一次函数与x轴的交点坐标为（1.5，0），∴C不正确，不符合题意；
D、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象上点坐标的特征、一次函数的图象和性质与系数的关系及一次函数与x轴的交点坐标的求法逐项分析判断即可.
3．已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（ ）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
4．（2024八上·七星关期末） 如图，是一次函数y＝kx+b+1的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜0，b＜0 B．k＞0，b＜﹣1
C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＞﹣1
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】如图所示，
一次函数y＝kx+b+1的图象经过一、三、四象限
y随着x的增大而增大，则
与y轴的交点在y的负半轴，则
故选：B
【分析】根据一次函数图象的性质可以判定参数的取值范围。对于y=kx+b，时，y随着x的增大而增大，时，y随着x的增大而减小；当时，图象于y轴交于正半轴，当时，图象于y轴交于负半轴。
5．如图，直角坐标系中有矩形AOBC，其中点A（-2，0），B（0，1），O是原点.若正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵矩形AOBC中，A（-2，0），B（0，1），
∴C（-2，1），
∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，
∴-2k=1，
∴k=-.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再代入正比例函数解析式，求出k的值，即可得出答案.
6．若是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】将点A和点B代入一次函数中得到：进而得到：即最后根据""得到解此不等式即可求解.
7．（2023八下·邕宁期末）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点②它的图象经过第一、二、四象限 ③当时，④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ① .∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=6≠5，
∴点不在一次函数的图象上，
故错误；
②.∵k=-5＜0，b=1＞0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
故正确；
∵x=1时，y=-5×1+1=-4＜0，
又k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y＜0，
故③正确，④错误．
故答案为：C.
【分析】 根据一次函数的性质对4个选项逐一验证．
8．（2023八下·江岸期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴
∴故①正确；
由折叠得：
∴在中：
即
解得：
∴
∴直线BC的解析式为，故②正确；
作DH⊥AC，如下图：
∴
∴故③正确；
∵若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC=CD
∴
∴点P纵坐标为：
∵
∴
∴点P的横坐标是：，故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点的特征求出A，B的坐标，根据坐标平面内两点间的距离公式求出AB的长；由折叠得：在中利用勾股定理求出OC的长，进而得到C的坐标，即可求出直线BC的解析式；利用等面积法可求出D的坐标；根据菱形的性质得：进而得到P的纵坐标.
二、填空题
9．（2019八下·长春月考）一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜3．
【分析】根据一次函数的增减性，即可得到（2m-6）＜0，即可得到m的取值范围。
10．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3），（-1，2），则k2-b2= .
【答案】-6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3），（-1，2），
∴，
∴k2-b2=（k+b)（k-b）=3×(-2)=-6.
故答案为：-6.
【分析】把点（1，3），（-1，2）代入y=kx+b，得出，再利用平方差得出k2-b2=（k+b)（k-b）代入进行计算，即可得出答案.
11．（2023·浙江模拟）设函数满足以下两个条件：①图象过点；②当时，随增大而增大.则满足条件的函数表达式可以是 (写出一个即可).
【答案】如y=x－2，等
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：满足条件的函数表达式（答案不唯一），理由如下：
①当时，，
函数的图象经过点，
②根据一次函数的性质可知：对于，当时，随增大而增大，
故答案为：.
【分析】由图象过点可得，将点代入等式成立；根据随增大而增大可得，若是一次函数，系数为正数.
12．（2023八上·双流月考） 如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小.
当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点B的坐标为(0，4)；
当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2，
∴点A的坐标为(-2，0)．
∵M、N分别是AB、OA的中点，
∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)，
∴点M′的坐标为(1，2)．
设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=0+1=1，
∴点P的坐标为(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
13．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
【答案】（2n-1-2，2n-1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n-1-1，2n-1） ，
故答案为：（2n-1-1，2n-1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
三、解答题
14．（2023九上·成都期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点（OA＞OB），且OA、OB的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．
（1）求直线AB的解析式；
（2）以线段AB为边作正方形ABCD（如图2），对角线AC、BD交于点E，∠CBD的平分线BF交AC于F，求CF的长；
（3）若M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标．
【答案】（1）解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵OA、OB的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，且OA＞OB，如图1，
∴OA＝4，OB＝3，
∴A（0，4），B（3，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：如图2，过F作FH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AC⊥BD，即FE⊥BD，
∵BF平分∠CBD，
∴EF＝HF，
在△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝90°﹣∠FCH＝45°＝∠FCH，
∴CH＝FH，
∴EF＝HF＝CH，
又∵AB＝＝5，
∴CE＝5sin45°＝，
设CF＝x，则EF＝HF＝CH＝﹣x，
由勾股定理得，CF2＝FH2+HC2，即x2＝2（﹣x）2，
解得，x1＝5﹣5，x2＝5+5（舍去），
答：CF的长为5﹣5；
（3）解：N点的坐标为（﹣3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，四边形ANMB为菱形，
点N的坐标为（﹣3，0），
如图4，四边形AMNB为菱形，
则BN＝AB＝5，
点N的坐标为（3，﹣5），
如图5，四边形AMBN为菱形，
设AM＝x，则BM＝x，OM＝4﹣x，
由勾股定理得，BM2＝OM2+OB2，即x2＝（4﹣x）2+32，
解得，x＝，
点N的坐标为（3，），
如图6，四边形ABNM为菱形，
则BN＝AB＝5，
∴点N的坐标为（3，5），
综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N点的坐标为（﹣3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5）．
【分析】（1）先解方程 x2﹣7x+12＝0， 得到A，B两点的坐标， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法即可求解直线AB的解析式；
（2）利用正方形的性质以及角平分线的性质求得 EF＝HF＝CH， 利用勾股定理以及三角函数求得CE的值， 设CF＝x，则EF＝HF＝CH＝﹣x， 再利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（3）分四边形ANMB为菱形，四边形AMNB为菱形，四边形AMBN为菱形，四边形ABNM为菱形，四种情况讨论，利用菱形的性质即可求解.
15．（2023八上·杭州月考）如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接OD.
（1）C点坐标为 ， .
（2）①当点在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标.
②如图2，设DP交直线AC于点，连结CP，若，则 (直接写出结果).
【答案】（1）（-3，0）；
（2）解：①Ⅰ、如图，当OB=BD时，
∵∠PBD=∠CBO，BD=OB，∠PDB=90°=∠COB，
∴△PDB≌△COB（ASA），
∴PB=CB=，
∴PO=-1，即P（0，-1）；Ⅱ、当OB=OD时.
∴∠ODB=∠OBD，
∴90°-∠ODB=90°-∠OBD，即∠ODP=∠OPD，
∴OD=OP，
∴OB=OD=OP，
∴OP=1，即P（0，1），
综上可得，点P的坐标为（0，-1）或（0，1）；
②=3或9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解（1）∵A（0，4），B（0，-1），
∴OA=4，OB=1，
∴AB=5，
∵AB=AC=5，
∴OC=，
而点C是x轴负半轴上的一点，
∴C（-3，0）；
BC=；
故答案为：（-3，0），；
（2）②当点P在线段OA上时，如图2，
∵S△ACP：S△AEP=5：2，
∴AC：AE=5：2，
∵AC=5，
∴AE=2，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠E+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠E=∠BPD=∠APE，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴S△COP=；
当点P在点A的上方时，如图：
∵S△ACP：S△AEP=5：2，AC=5，
∴AC：AE=5：2，AE=2，
∵∠CED+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠CED=∠BPD=∠PEA，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA+AP=4+2=6，
S△COP=.
综上可知：S△COP=3或9.
【分析】（1）在直角三角形AOC中，用勾股定理求出OC的值，然后根据点C所在的位置可求出点C的坐标；在直角三角形BOC中，用勾股定理求出BC的值；
（2）①分两种情况：Ⅰ、当OB=DB时，易证△PDB≌△COB，则PB=CB，由线段的构成PO=PB-OB求出PO的值，于是可得点P的坐标；Ⅱ、当OB=OD时，易证O是PB的中点，于是PO=OB，可得点P的坐标；
②设点P的坐标为（0，m），根据待定系数法求出直线AC和BC的解析式，由PD⊥BC可将直线PD的解析式用含m的式子表示出来，把直线AC和PD的解析式联立解方程组可将E的坐标用含m的代数式表示出来，根据S△ACP：S△AEP=5：2可求出m的值，然后根据S△COP=OC·OP可求解.
四、综合题
16．（2023八下·邕宁期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据直线的表达式，求得OA的长，根据点P在直线上，用x表示出P点的纵坐标，从而可表示出 的面积 ；
（2）根据 ，转化为关于x的方程求解，求得P点的坐标；
（3）依据两点之间线段最短，可作点O关于l的对称点B，AG与直线x+y=8的交点就是所求．
17．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与直线交于点，已知，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上一动点且位于点的左侧，、为轴上两个动点，点位于点上方，且，当时，求最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时停止运动，已知动点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
，
设，
当时，，
，
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
轴，，
，
，
最小值为；
（3）解：存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，
，，，
直线沿直线方向平移，
平移后直线的解析式为，
当经过原点时，，
解得，
，，
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标或；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标为或；
综上所述：点横坐标为或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、最短路径、存在图形的点的坐标等知识，理解最短路径的依据，掌握最短路径的辅助线思路，分类讨论存在图形的情况是解题关键。
（1）根据和 得 和，则 ；
（2） 过点作轴交于点，
根据得，设，根据，得，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，得，四边形是平行四边形，则，，
，根据轴，得，
可知最小值 ；
（3）设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，得，，，根据平移后的解析式得，，设，，当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；综上所述：可得N点横坐标.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·浑江期末）已知点（﹣2，m），（1，n）都在直线y＝2x+b上，则m，n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定
2．（2023八上·浑江期末）关于一次函数y＝2x﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1） B．图象经过第二象限
C．图象与x轴交于点（﹣3，0） D．函数值y随x的增大而增大
3．已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（ ）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
4．（2024八上·七星关期末） 如图，是一次函数y＝kx+b+1的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜0，b＜0 B．k＞0，b＜﹣1
C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＞﹣1
5．如图，直角坐标系中有矩形AOBC，其中点A（-2，0），B（0，1），O是原点.若正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
6．若是一次函数图象上的不同的两点，记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·邕宁期末）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点②它的图象经过第一、二、四象限 ③当时，④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023八下·江岸期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2019八下·长春月考）一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
10．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3），（-1，2），则k2-b2= .
11．（2023·浙江模拟）设函数满足以下两个条件：①图象过点；②当时，随增大而增大.则满足条件的函数表达式可以是 (写出一个即可).
12．（2023八上·双流月考） 如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ．
13．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
三、解答题
14．（2023九上·成都期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点（OA＞OB），且OA、OB的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．
（1）求直线AB的解析式；
（2）以线段AB为边作正方形ABCD（如图2），对角线AC、BD交于点E，∠CBD的平分线BF交AC于F，求CF的长；
（3）若M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标．
15．（2023八上·杭州月考）如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接OD.
（1）C点坐标为 ， .
（2）①当点在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标.
②如图2，设DP交直线AC于点，连结CP，若，则 (直接写出结果).
四、综合题
16．（2023八下·邕宁期末）已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
17．（2023九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与直线交于点，已知，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上一动点且位于点的左侧，、为轴上两个动点，点位于点上方，且，当时，求最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时停止运动，已知动点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为y＝2x+b，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-2<1，
∴m故答案为：C.
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-2<1，可得m2．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴当x=2时，y=2×2-3=1，∴点（2，-1）不在函数图象上，∴A不正确，不符合题意；
B、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴B不正确，不符合题意；
C、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴当y=0时，x=1.5，∴一次函数与x轴的交点坐标为（1.5，0），∴C不正确，不符合题意；
D、∵一次函数的解析式为y=2x-3，∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数图象上点坐标的特征、一次函数的图象和性质与系数的关系及一次函数与x轴的交点坐标的求法逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】如图所示，
一次函数y＝kx+b+1的图象经过一、三、四象限
y随着x的增大而增大，则
与y轴的交点在y的负半轴，则
故选：B
【分析】根据一次函数图象的性质可以判定参数的取值范围。对于y=kx+b，时，y随着x的增大而增大，时，y随着x的增大而减小；当时，图象于y轴交于正半轴，当时，图象于y轴交于负半轴。
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵矩形AOBC中，A（-2，0），B（0，1），
∴C（-2，1），
∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，
∴-2k=1，
∴k=-.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再代入正比例函数解析式，求出k的值，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】将点A和点B代入一次函数中得到：进而得到：即最后根据""得到解此不等式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ① .∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=6≠5，
∴点不在一次函数的图象上，
故错误；
②.∵k=-5＜0，b=1＞0，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
故正确；
∵x=1时，y=-5×1+1=-4＜0，
又k=-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，y＜0，
故③正确，④错误．
故答案为：C.
【分析】 根据一次函数的性质对4个选项逐一验证．
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴
∴故①正确；
由折叠得：
∴在中：
即
解得：
∴
∴直线BC的解析式为，故②正确；
作DH⊥AC，如下图：
∴
∴故③正确；
∵若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC=CD
∴
∴点P纵坐标为：
∵
∴
∴点P的横坐标是：，故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点的特征求出A，B的坐标，根据坐标平面内两点间的距离公式求出AB的长；由折叠得：在中利用勾股定理求出OC的长，进而得到C的坐标，即可求出直线BC的解析式；利用等面积法可求出D的坐标；根据菱形的性质得：进而得到P的纵坐标.
9．【答案】m＜3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜3．
【分析】根据一次函数的增减性，即可得到（2m-6）＜0，即可得到m的取值范围。
10．【答案】-6
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点（1，3），（-1，2），
∴，
∴k2-b2=（k+b)（k-b）=3×(-2)=-6.
故答案为：-6.
【分析】把点（1，3），（-1，2）代入y=kx+b，得出，再利用平方差得出k2-b2=（k+b)（k-b）代入进行计算，即可得出答案.
11．【答案】如y=x－2，等
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：满足条件的函数表达式（答案不唯一），理由如下：
①当时，，
函数的图象经过点，
②根据一次函数的性质可知：对于，当时，随增大而增大，
故答案为：.
【分析】由图象过点可得，将点代入等式成立；根据随增大而增大可得，若是一次函数，系数为正数.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小.
当x=0时，y=2×0+4=4，
∴点B的坐标为(0，4)；
当y=0时，2x+4=0，解得：x=-2，
∴点A的坐标为(-2，0)．
∵M、N分别是AB、OA的中点，
∴点M的坐标为(-1，2)，点N的坐标为(-1，0)，
∴点M′的坐标为(1，2)．
设直线M′N的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将M′(1，2)，N(-1，0)代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线M′N的解析式为y=x+1．
当x=0时，y=0+1=1，
∴点P的坐标为(0，1)．
故答案为：(0，1)．
【分析】作点M关于y轴对称的点M′，连接M′N交y轴于点P，则此时PM+PN的值最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合M、N分别是AB、OA的中点，可得出点M，N的坐标，由点M′与点M关于y轴对称可得出点M′的坐标，由点M′，N的坐标，利用待定系数法可求出直线M′N的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
13．【答案】（2n-1-2，2n-1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n-1-1，2n-1） ，
故答案为：（2n-1-1，2n-1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
14．【答案】（1）解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵OA、OB的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，且OA＞OB，如图1，
∴OA＝4，OB＝3，
∴A（0，4），B（3，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：如图2，过F作FH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AC⊥BD，即FE⊥BD，
∵BF平分∠CBD，
∴EF＝HF，
在△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝90°﹣∠FCH＝45°＝∠FCH，
∴CH＝FH，
∴EF＝HF＝CH，
又∵AB＝＝5，
∴CE＝5sin45°＝，
设CF＝x，则EF＝HF＝CH＝﹣x，
由勾股定理得，CF2＝FH2+HC2，即x2＝2（﹣x）2，
解得，x1＝5﹣5，x2＝5+5（舍去），
答：CF的长为5﹣5；
（3）解：N点的坐标为（﹣3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，四边形ANMB为菱形，
点N的坐标为（﹣3，0），
如图4，四边形AMNB为菱形，
则BN＝AB＝5，
点N的坐标为（3，﹣5），
如图5，四边形AMBN为菱形，
设AM＝x，则BM＝x，OM＝4﹣x，
由勾股定理得，BM2＝OM2+OB2，即x2＝（4﹣x）2+32，
解得，x＝，
点N的坐标为（3，），
如图6，四边形ABNM为菱形，
则BN＝AB＝5，
∴点N的坐标为（3，5），
综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N点的坐标为（﹣3，0）或（3，﹣5）或（3，）或（3，5）．
【分析】（1）先解方程 x2﹣7x+12＝0， 得到A，B两点的坐标， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 利用待定系数法即可求解直线AB的解析式；
（2）利用正方形的性质以及角平分线的性质求得 EF＝HF＝CH， 利用勾股定理以及三角函数求得CE的值， 设CF＝x，则EF＝HF＝CH＝﹣x， 再利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解；
（3）分四边形ANMB为菱形，四边形AMNB为菱形，四边形AMBN为菱形，四边形ABNM为菱形，四种情况讨论，利用菱形的性质即可求解.
15．【答案】（1）（-3，0）；
（2）解：①Ⅰ、如图，当OB=BD时，
∵∠PBD=∠CBO，BD=OB，∠PDB=90°=∠COB，
∴△PDB≌△COB（ASA），
∴PB=CB=，
∴PO=-1，即P（0，-1）；Ⅱ、当OB=OD时.
∴∠ODB=∠OBD，
∴90°-∠ODB=90°-∠OBD，即∠ODP=∠OPD，
∴OD=OP，
∴OB=OD=OP，
∴OP=1，即P（0，1），
综上可得，点P的坐标为（0，-1）或（0，1）；
②=3或9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解（1）∵A（0，4），B（0，-1），
∴OA=4，OB=1，
∴AB=5，
∵AB=AC=5，
∴OC=，
而点C是x轴负半轴上的一点，
∴C（-3，0）；
BC=；
故答案为：（-3，0），；
（2）②当点P在线段OA上时，如图2，
∵S△ACP：S△AEP=5：2，
∴AC：AE=5：2，
∵AC=5，
∴AE=2，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠E+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠E=∠BPD=∠APE，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴S△COP=；
当点P在点A的上方时，如图：
∵S△ACP：S△AEP=5：2，AC=5，
∴AC：AE=5：2，AE=2，
∵∠CED+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠CED=∠BPD=∠PEA，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA+AP=4+2=6，
S△COP=.
综上可知：S△COP=3或9.
【分析】（1）在直角三角形AOC中，用勾股定理求出OC的值，然后根据点C所在的位置可求出点C的坐标；在直角三角形BOC中，用勾股定理求出BC的值；
（2）①分两种情况：Ⅰ、当OB=DB时，易证△PDB≌△COB，则PB=CB，由线段的构成PO=PB-OB求出PO的值，于是可得点P的坐标；Ⅱ、当OB=OD时，易证O是PB的中点，于是PO=OB，可得点P的坐标；
②设点P的坐标为（0，m），根据待定系数法求出直线AC和BC的解析式，由PD⊥BC可将直线PD的解析式用含m的式子表示出来，把直线AC和PD的解析式联立解方程组可将E的坐标用含m的代数式表示出来，根据S△ACP：S△AEP=5：2可求出m的值，然后根据S△COP=OC·OP可求解.
16．【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)根据直线的表达式，求得OA的长，根据点P在直线上，用x表示出P点的纵坐标，从而可表示出 的面积 ；
（2）根据 ，转化为关于x的方程求解，求得P点的坐标；
（3）依据两点之间线段最短，可作点O关于l的对称点B，AG与直线x+y=8的交点就是所求．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
，
设，
当时，，
，
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
轴，，
，
，
最小值为；
（3）解：存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，
，，，
直线沿直线方向平移，
平移后直线的解析式为，
当经过原点时，，
解得，
，，
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标或；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标为或；
综上所述：点横坐标为或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、最短路径、存在图形的点的坐标等知识，理解最短路径的依据，掌握最短路径的辅助线思路，分类讨论存在图形的情况是解题关键。
（1）根据和 得 和，则 ；
（2） 过点作轴交于点，
根据得，设，根据，得，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，得，四边形是平行四边形，则，，
，根据轴，得，
可知最小值 ；
（3）设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，得，，，根据平移后的解析式得，，设，，当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；当为菱形对角线时，，得N点横坐标；综上所述：可得N点横坐标.
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