2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.1 多项式的因式分解同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·海口期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
3．（2023九上·肇州月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·长春期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．3x+3y﹣4＝3（x+y）﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
5．（2023七下·茶陵期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·安乡县期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．（x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15 B．2x2－4x－1＝2x（x－2）－1
C．x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y） D．x3－9x＝x（x＋3）（x－3）
7．（2023·保定模拟）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算 B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算
8．（2023七下·瑞安期中）若多项式x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，则p+q的值为（ ）
A．-19 B．-20 C．1 D．9
二、填空题
9．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
10．
（1）若多项式ax2- 可分解为(3x+ )(3x- )，则a= ，b= ．
（2）若x+5，x-3都是多项x2-kx-15的因式，则k= ．
11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
12．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
13．（2017八上·德惠期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
三、解答题
14．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题1 数与式）已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
15．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
16．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
四、综合题
17．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）下列从左到右的变形中,是否属于因式分解 说明理由.
（1）24x2y=4x·6xy;
（2）(x+5)(x-5)=x2-25;
（3）9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
（4）x2+1=x .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：不能分解因式，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】先判断能否分解因式，将能分解因式的多项式分别分解因式，再判断正误.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
B.等式左边不是多项式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
C.等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
D.符合因式分解的定义，此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：、不是因式分解，不符合题意；
、是因式分解，符合题意；
、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，判断即可．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，A不符合题意；
B、，不是因式分解，B不符合题意；
C、，是整式乘法，C不符合题意；
D、，是因式分解，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵最后的结果不是乘积的形式，∴B不正确；
C、∵属于整式乘法，不属于因式分解，∴C不正确；
D、∵属于因式分解，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 （x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 2x2－4x－1＝2x（x－2）－1，不符合因式分解的定义，故不符合题意；
C、 x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y+1） ，故不符合题意；
D、x3-9x=x（x+3）（x-3），故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故答案为：C．
【分析】①是利用平方差公式进行计算属于整式乘法；②是利用提公因式法进行因式分解属于因式分解。
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵(x+5)(x-4) =x2-4x+5x-20=x2+x-20
而x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，
∴x2+px+q=x2+x-20，
∴p=1，q=-20，
∴p+q=1+(-20)=-19.
故答案为：A.
【分析】首先利用多项式乘以多形式的法则求出(x+5)(x-4)的积，进而根据因式分解的定义可得x2+px+q=x2+x-20，由多项式的性质得p、q的值，最后再求p、q的和即可.
9．【答案】-3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x-2）=x2-x-2，
∴a=-1，b=-2；
故a+b=-1+（-2）=-3；
故答案为：-3.
【分析】根据多项式乘多项式进行计算即可得出a、b的值，即可求解.
10．【答案】（1）9；25
（2）-2
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a=9，b=25；
故答案为：9；25.
（2）∵（x+5）（x-3）
=x2+2x-15，
=x2-kx-15，
∴-k=2，
解得：k=-2；
故答案为：-2.
【分析】（1）根据平方差公式展开计算即可求解；
（2）根据多项式乘多项式展开计算即可求解.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
12．【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
13．【答案】②③④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+ n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
14．【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．【答案】解：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2=﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
16．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
17．【答案】（1）解：因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解.
（2）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（3）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（4）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的意义，左边是多项式的形式，右边是几个整式的乘积形式，可对各个小题作出判断即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.1 多项式的因式分解同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：不能分解因式，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】先判断能否分解因式，将能分解因式的多项式分别分解因式，再判断正误.
2．（2019八上·海口期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
B.等式左边不是多项式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
C.等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，此选项错误；
D.符合因式分解的定义，此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.
3．（2023九上·肇州月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：、不是因式分解，不符合题意；
、是因式分解，符合题意；
、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，判断即可．
4．（2023八上·长春期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．3x+3y﹣4＝3（x+y）﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，A不符合题意；
B、，不是因式分解，B不符合题意；
C、，是整式乘法，C不符合题意；
D、，是因式分解，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据因式分解的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．（2023七下·茶陵期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵最后的结果不是乘积的形式，∴B不正确；
C、∵属于整式乘法，不属于因式分解，∴C不正确；
D、∵属于因式分解，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。
6．（2023七下·安乡县期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．（x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15 B．2x2－4x－1＝2x（x－2）－1
C．x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y） D．x3－9x＝x（x＋3）（x－3）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 （x＋5）（x－3）＝x2＋2x－15属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 2x2－4x－1＝2x（x－2）－1，不符合因式分解的定义，故不符合题意；
C、 x2y－2xy2＋xy＝xy（x－2y+1） ，故不符合题意；
D、x3-9x=x（x+3）（x-3），故符合题意；
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
7．（2023·保定模拟）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算 B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故答案为：C．
【分析】①是利用平方差公式进行计算属于整式乘法；②是利用提公因式法进行因式分解属于因式分解。
8．（2023七下·瑞安期中）若多项式x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，则p+q的值为（ ）
A．-19 B．-20 C．1 D．9
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵(x+5)(x-4) =x2-4x+5x-20=x2+x-20
而x2+px+q因式分解的结果为(x+5)(x-4)，
∴x2+px+q=x2+x-20，
∴p=1，q=-20，
∴p+q=1+(-20)=-19.
故答案为：A.
【分析】首先利用多项式乘以多形式的法则求出(x+5)(x-4)的积，进而根据因式分解的定义可得x2+px+q=x2+x-20，由多项式的性质得p、q的值，最后再求p、q的和即可.
二、填空题
9．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
【答案】-3
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x-2）=x2-x-2，
∴a=-1，b=-2；
故a+b=-1+（-2）=-3；
故答案为：-3.
【分析】根据多项式乘多项式进行计算即可得出a、b的值，即可求解.
10．
（1）若多项式ax2- 可分解为(3x+ )(3x- )，则a= ，b= ．
（2）若x+5，x-3都是多项x2-kx-15的因式，则k= ．
【答案】（1）9；25
（2）-2
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a=9，b=25；
故答案为：9；25.
（2）∵（x+5）（x-3）
=x2+2x-15，
=x2-kx-15，
∴-k=2，
解得：k=-2；
故答案为：-2.
【分析】（1）根据平方差公式展开计算即可求解；
（2）根据多项式乘多项式展开计算即可求解.
11．（2023八下·邛崃期末）若多项式分解因式后的结果为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：（x+2)(x+3)=x2+5x+6=，
∴m=5，n=6，
∴m-n=5-6=-1.
故答案为：-1.
【分析】首先把分解后的结果展开为x2+5x+6，即可得出m，n的值，进一步求得m-n即可。
12．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
13．（2017八上·德惠期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
【答案】②③④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4﹣1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2﹣mn+ n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
三、解答题
14．（浙教版备考2020年中考数学一轮专题1 数与式）已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式为x+5，且m+n=17，试求m，n的值.
【答案】解：设另一个因式为x+a， 则有(x+5)(x+a)=x2+mx+n，∴x2+(5+a)x+5a=x2+mx+n，
∴ 解得 ∴m， n的值分别是7， 10.
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2＋mx＋n有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另一个因式是x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可．
15．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
【答案】解：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2=﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．
16．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
四、综合题
17．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）下列从左到右的变形中,是否属于因式分解 说明理由.
（1）24x2y=4x·6xy;
（2）(x+5)(x-5)=x2-25;
（3）9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
（4）x2+1=x .
【答案】（1）解：因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解.
（2）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（3）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解.
（4）解：右边不是整式积的形式,故不是因式分解
【知识点】因式分解的定义
【解析】【分析】根据因式分解的意义，左边是多项式的形式，右边是几个整式的乘积形式，可对各个小题作出判断即可。
1 / 1
