2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.2 提公因式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： 把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是8a2b2.
故答案为：A.
【分析】多项式中各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积就是多项中各项的公因式，据此可求解.
2．（2023七下·新邵期末）下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+y
C．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意；
B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意；
C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意；
D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可.
3．（2023八下·太原期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： ，
即这个公因式为5xy，
故答案为：B.
【分析】根据公因式的概念判断求解即可。
4．（2023七下·宁波期末）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、根据单项式乘以多项式的法则，将两个整式的乘积形式变形成了一个多项式，所以从左向右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
B、 根据平方差公式，将两个整式的乘积形式变形成了一个多项式，所以从左向右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
C、 将一个多项式，利用完全平方公式变形成了两个整式的乘积形式，所以从左向右的变形是因式分解，故此选项正确，符合题意；
D、 由于（x+1）2=x2+2x+1≠x2+2x+4，所以从左向右的变形不是因式分解，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.
5．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
6．（2023九上·肇州月考）利用因式分解计算：的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】可根据有理数幂的概念得到，再提公因式即可求解．
7．（2023·龙岗模拟）式子与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴与的公因式是，
故答案为：A
【分析】将代数式和分别因式分解可得公因式。
8．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
二、填空题
9．（2024八上·防城期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将公因式m提出即可.
10．把多项式3mx-6my分解因式的结果是 .
【答案】3m（x-2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3mx-6my=3m·x-3m·2y=3m（x-2y）；
故答案为：3m（x-2y）.
【分析】将多项式提取公因式3m，即可求解.
11．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
12．（2023八上·芝罘期中）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取，时，请你写出一个用上述方法产生的密码 .
【答案】212361
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
当，时
2x+y=61，2x-y=23
从小到大排列可得到：212361
故答案为：212361
【分析】根据提公因式，平方差公式将代数式进行因式分解，再根据题意代入相应值即可求出答案.
13．（2023·香洲模拟）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，表示棱长为a的正方体的体积减去棱长为1的小正方体的体积，该部分体积由三部分组成：①相邻三条棱长为a、a和（a-1）的长方体体积：；②相邻三条棱长为1、a和（a-1）的长方体体积：；③相邻三条棱长为1、1和（a-1）的长方体体积：（a-1）。可得到等式。
故答案为：；.
【分析】采用几何图形来推理验证公式，根据用不同方法计算几何体体积或面积，最后结果相同的原理。，表示棱长为a的正方体的体积减去棱长为1的小正方体的体积，该部分体积可以用三个长方体体积的和表示：①相邻三条棱长为a、a和（a-1）的长方体体积：；②相邻三条棱长为1、a和（a-1）的长方体体积：；③相邻三条棱长为1、1和（a-1）的长方体体积：（a-1）。列等式，提公因式，即可得到答案。
三、解答题
14．（初中数学浙教版七下精彩练习4.2提取公因式法）观察下列等式，你发现了什么规律？请试着用提取公因式法的知识解释你所发现的规律.
【答案】解：根据题.意，得 .
证明：
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【分析】因为每项都有因式（n+1），提取公因式（n+1）进行分解因式，即可得出规律.
15．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测b卷）已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
四、综合题
16．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
17．（2022八下·枣庄期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 ．
（2）若分解，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：（n为正整数）．
【答案】（1）提公因式法
（2）（x+1）2022
（3）解：按照上面规律，可知：
（n为正整数）
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
上述分解因式的方法是提公因式法．
故答案为：提公因式法
（2）
则需应用上述方法2021次，结果是
故答案为：；
【分析】（1）利用提公因式的方法求解即可；
（2）根据题干中的计算方法可得答案；
（3）根据题干中的计算方法可得规律。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.2 提公因式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．8a2b2 B．4a2b2 C．8ab2 D．8ab
2．（2023七下·新邵期末）下列各组式子中，没有公因式的是（ ）
A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+y
C．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x
3．（2023八下·太原期末）要将化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·宁波期末）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（ ）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
6．（2023九上·肇州月考）利用因式分解计算：的结果为（ ）
A． B．1 C．3 D．
7．（2023·龙岗模拟）式子与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·无锡期中）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024八上·防城期末）分解因式： .
10．把多项式3mx-6my分解因式的结果是 .
11．已知a+b=4，ab=2，则a2b+ab2的值为 ．
12．（2023八上·芝罘期中）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取，时，请你写出一个用上述方法产生的密码 .
13．（2023·香洲模拟）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ．
三、解答题
14．（初中数学浙教版七下精彩练习4.2提取公因式法）观察下列等式，你发现了什么规律？请试着用提取公因式法的知识解释你所发现的规律.
15．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测b卷）已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
四、综合题
16．（2023八下·临汾期末）
（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为 ；
③第 步出现错误，错误的原因是 ；
④因式分解正确的结果为 ．
17．（2022八下·枣庄期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 ．
（2）若分解，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：（n为正整数）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： 把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式，应提取的公因式是8a2b2.
故答案为：A.
【分析】多项式中各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积就是多项中各项的公因式，据此可求解.
2．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意；
B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意；
C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意；
D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可.
3．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解： ，
即这个公因式为5xy，
故答案为：B.
【分析】根据公因式的概念判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、根据单项式乘以多项式的法则，将两个整式的乘积形式变形成了一个多项式，所以从左向右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
B、 根据平方差公式，将两个整式的乘积形式变形成了一个多项式，所以从左向右的变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
C、 将一个多项式，利用完全平方公式变形成了两个整式的乘积形式，所以从左向右的变形是因式分解，故此选项正确，符合题意；
D、 由于（x+1）2=x2+2x+1≠x2+2x+4，所以从左向右的变形不是因式分解，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
6．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】可根据有理数幂的概念得到，再提公因式即可求解．
7．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴与的公因式是，
故答案为：A
【分析】将代数式和分别因式分解可得公因式。
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A：-2x2+4x=-2x(x-2)，故A错误；
B：x2+xy+x=x(x+y+1)，故B错误；
C：x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，故C正确；
D：x2+6x-9不能分解，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A提取公因式-2x即可进行判断；对B提取x即可判断；对C提取(x-y)即可判断；D不能进行分解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】将公因式m提出即可.
10．【答案】3m（x-2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3mx-6my=3m·x-3m·2y=3m（x-2y）；
故答案为：3m（x-2y）.
【分析】将多项式提取公因式3m，即可求解.
11．【答案】8
【知识点】代数式求值；公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=4×2=8．
故答案为：8．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
12．【答案】212361
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
当，时
2x+y=61，2x-y=23
从小到大排列可得到：212361
故答案为：212361
【分析】根据提公因式，平方差公式将代数式进行因式分解，再根据题意代入相应值即可求出答案.
13．【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，表示棱长为a的正方体的体积减去棱长为1的小正方体的体积，该部分体积由三部分组成：①相邻三条棱长为a、a和（a-1）的长方体体积：；②相邻三条棱长为1、a和（a-1）的长方体体积：；③相邻三条棱长为1、1和（a-1）的长方体体积：（a-1）。可得到等式。
故答案为：；.
【分析】采用几何图形来推理验证公式，根据用不同方法计算几何体体积或面积，最后结果相同的原理。，表示棱长为a的正方体的体积减去棱长为1的小正方体的体积，该部分体积可以用三个长方体体积的和表示：①相邻三条棱长为a、a和（a-1）的长方体体积：；②相邻三条棱长为1、a和（a-1）的长方体体积：；③相邻三条棱长为1、1和（a-1）的长方体体积：（a-1）。列等式，提公因式，即可得到答案。
14．【答案】解：根据题.意，得 .
证明：
.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【分析】因为每项都有因式（n+1），提取公因式（n+1）进行分解因式，即可得出规律.
15．【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
16．【答案】（1）解：原式
（2）；乘法分配律；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（2） ① 根据题意得出是平方差公式，即：
② 提公因式的运算律为：乘法分配律
③ 括号前是“-”号，去括号要变号，所以第二步出现错误
④
故：
第1空、
第2空、乘法分配律
第3空、二
第4空、括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
第5空、
【分析】（1）提公因式，根据完全平方公式即可求出答案。
（2）利用平方差公式，提公因式法即可求出答案。
17．【答案】（1）提公因式法
（2）（x+1）2022
（3）解：按照上面规律，可知：
（n为正整数）
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
上述分解因式的方法是提公因式法．
故答案为：提公因式法
（2）
则需应用上述方法2021次，结果是
故答案为：；
【分析】（1）利用提公因式的方法求解即可；
（2）根据题干中的计算方法可得答案；
（3）根据题干中的计算方法可得规律。
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