2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.2 提公因式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·芝罘期中）计算的结果是（ ）
A．-2 B． C． D．
2．（2023八下·梅州期末）已知，，则的值为（ ）
A．14 B．48 C．64 D．36
3．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
4．（2022七下·肥东期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
6．多项式 可以因式分解成 ，则 的值是（ ）
A．3 B．0 C．5 D．1
7．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
9．（2023八上·前郭尔罗斯月考）分解因式：m3-16m=
10．（2023八上·江油期中）已知，则的值是 ．
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
12．（2023七下·萧山期中）与的公因式是 ．
13．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
三、解答题
14．（新人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法同步练习）已知多项式2x3 -x +m有一个因式(2x+1)，求m的值.
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
四、综合题
16．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
17．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法可得，再提公因式进行因式分解即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵xy=8，x+y=6，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=8×6=48.
故答案为：B.
【分析】对待求式因式分解可得xy(x+y)，然后将已知条件代入进行计算.
3．【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据提取公因式的方法对选项逐一计算即可求解。
5．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
∴m=2，n=-3，
∴
=5.
故答案为：C.
【分析】先提取公因式(x+2)把已知的多项式分解因式，结合和 比较，则可得出m和n的值，最后代值计算即可.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．【答案】m（m +4）（m -4）
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： m3-16m =m（m2-16m）= m（m +4）（m -4）
故答案为： m（m +4）（m -4）.
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可。
10．【答案】6
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
=3×2
=6
故答案为：6
【分析】将代数式提公因式进行化简，再代入相应值即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵2x3y2=2x3y·y，6x4y=2x3y·2x，
∴公因式为2x3y.
故答案为：2x3y.
【分析】公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取公共字母的最小指数，据此解答.
13．【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
14．【答案】解答：解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b)，
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b
比较系数得，解得，∴m=
解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=-，
，故m=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
15．【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
16．【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
17．【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.2 提公因式法同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·芝罘期中）计算的结果是（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法可得，再提公因式进行因式分解即可求出答案.
2．（2023八下·梅州期末）已知，，则的值为（ ）
A．14 B．48 C．64 D．36
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵xy=8，x+y=6，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=8×6=48.
故答案为：B.
【分析】对待求式因式分解可得xy(x+y)，然后将已知条件代入进行计算.
3．（2022七下·浙江期中）多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（ ）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
【分析】根据多项式中有一个因式为x-5，把多项式变形为（x-5）（x2-3），即可求出k的值.
4．（2022七下·肥东期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据提取公因式的方法对选项逐一计算即可求解。
5．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）若 可分解因式为 ，则 等于（ ）
A．2xy B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=4x3y2-6x2y3+2x2y2
= ，
∴M=2x2y2 .
故答案为：B.
【分析】先进行单项式乘多项式的运算，再根据恒等的关系求M的代数式即可.
6．多项式 可以因式分解成 ，则 的值是（ ）
A．3 B．0 C．5 D．1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
=
= ，
∴m=2，n=-3，
∴
=5.
故答案为：C.
【分析】先提取公因式(x+2)把已知的多项式分解因式，结合和 比较，则可得出m和n的值，最后代值计算即可.
7．（2021八上·泸西期末）下列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是（ ）
①16x2﹣8x；②x2+6x+9；③4x2﹣1；④3a﹣9ab．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1），提公因式法；
②x2+6x+9＝（x+3）2，公式法；
③4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），公式法；
④3a﹣9ab＝3a（1﹣3b），提公因式法；
故上列四个多项式中，能用提公因式法进行因式分解的是：①和④，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
9．（2023八上·前郭尔罗斯月考）分解因式：m3-16m=
【答案】m（m +4）（m -4）
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： m3-16m =m（m2-16m）= m（m +4）（m -4）
故答案为： m（m +4）（m -4）.
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可。
10．（2023八上·江油期中）已知，则的值是 ．
【答案】6
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意可得：
=3×2
=6
故答案为：6
【分析】将代数式提公因式进行化简，再代入相应值即可求出答案.
11．（2023七下·新邵期末）若，，则多项式的值是 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：-16.
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
12．（2023七下·萧山期中）与的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵2x3y2=2x3y·y，6x4y=2x3y·2x，
∴公因式为2x3y.
故答案为：2x3y.
【分析】公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，指数取公共字母的最小指数，据此解答.
13．（2015九上·句容竞赛）若x+y= -1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
【答案】1
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x+y=-1，
∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，
=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，
=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2，
=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2，
=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2，
=1+（-4xy+5xy-xy）+（4x2y2-10x2y2+6x2y2），
=1．
故答案为：1.
【分析】对式子进行分解因式，出现（x+y)，用-1代换，化简结果为1.
三、解答题
14．（新人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法同步练习）已知多项式2x3 -x +m有一个因式(2x+1)，求m的值.
【答案】解答：解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b)，
则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b
比较系数得，解得，∴m=
解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=-，
，故m=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
15．阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
（1）上述分解因式的方法是 ．共应用了 次．
（2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)2019，则需应用上述方法 次，结果是 .
（3）分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+……+x(x+1)n(n为正整数)．
【答案】（1）提公因式法；2
（2）2019；（1+x）2020
（3）解： 原式=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）n
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）n
……
=（1+x）n+x（x+1）n
=（1+x）n（1+x）
=（1+x）n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2.
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+……+x（x+1）2019
=[（1+x）+x（x+1）+（x+1）x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）[（1+x）+x（x+1）]+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3+x（x+1）3+……+x（x+1）2019
=（1+x）3（1+x）+……+x（x+1）2019
……
=（1+x）2019+x（x+1）2019
=（1+x）2019（1+x）
=（1+x）2020.
需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020．
故答案为：2019，（1+x）2020.
【分析】（1）通过观察所给的因式分解过程，可知整个过程用的是提取公因式的方法；
（2）根据（1）因式分解方法，用提取公因式的方法因式分解即可；
（3）结合（2）中的运算，用提取公因式的方法因式分解即可.
四、综合题
16．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
17．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
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