2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.3 公式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．如果x2+ax+121是两个数的和的平方的形式；那么a的值是（ ）
A．22 B．11 C．±22 D．±11
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2+ax+121=x2+ax+112是两个数的和的平方的形式，
∴a=2×11=22.
故答案为：A.
【分析】形如“a2+2ab+b2”的式子就可以分解为两个数的和的平方的形式，据此可得a的值.
2．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
3．（2023九上·保定开学考）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
（1）
（2）
（3），不能再分解；
（4）；
则错误的是（3）
故答案为：C.
【分析】本题考查平方差公式的应用。熟悉是关键。
4．把多项式ax2-ay2分解因式，需用到（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．提取公因式和平方差公式 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2-ay2=a（x2-y2）=a（x+y）（x-y）；
故答案为：C.
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可.
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
7．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①16x2-8x=8x（2x-1）；
②(x-1)2-4(x-1)+4 =（x-1-2）2=（x-3）2；
③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 =[（x+1）2-2x]2=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x =-（ 4x2-4x +1）=-（2x-1）2，
将各个多项式分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④.
故答案为：C.
【分析】将①中的多项式利用提取公因式法分解因式，将②③④中的多项式分别利用完全平方公式分解因式，进而观察分解结果即可得出答案.
8．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x2-2x-1；②-x+1；③-a2-b2；④-a2+b2；⑤x2-4xy+4y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2-2x-1=x2-2x-12，两平方项符号相反，不能应用完全平方公式分解；
②，可以利用完全平方公式分解；
③-a2-b2 ，两平方项的符号相同，不能使用平方差公式分解；
④-a2+b2=b2-a2=(b-a)(b+a)，能使用平方差公式分解；
⑤x2-4xy+4y2=(x-2y)2，能应用完全平方公式分解，
综上可以使用公式分解因式的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】因式分解可套用的公式有a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2，从而将所给的五个多项式根据公式特点逐一分析判断即可.
二、填空题
9．（2019八上·海口期中）已知 ， .则代数式 的值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ =(x+y)(x-y)=5.
故答案为：5.
【分析】先把 利用平方差公式分解因式，再整体代入计算即可.
10．若整式x2+ky2 (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k= ．(写出一个即可)
【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），
故答案为：-1（答案不唯一）．
【分析】令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．
11．分解因式：(1) .(2)a b-6ab+9b= .
【答案】(a+3)(a-3)；b(a-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+3)(a-3).
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式对其化简即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式对其化简即可.
12．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
13．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
三、解答题
14．（2023八上·鸠江月考）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【答案】（1）解：①原式＝（3m 3y）＋（am ay）
＝3（m y）＋a（m y）
＝（m y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
（2）（a＋b＋1）（a＋b 1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2 1
＝（a＋b）2 1
＝（a＋b＋1）（a＋b 1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b 1）．
【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
15．（2024八上·扶余期末） 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：.
解：将“”看成一个整体，设，则原式.
再将代入，得原式.
上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）因式分解：.
【答案】（1）
（2）
（3）解：设.
原式.
将代入，得原式.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）解：设x-y=m
再将m=x-y代入
故填：
（2）解：设a-1=m
再将m=a-1代入
故填：
【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解；（2）利用整体思想进行等量代换，可以更加清晰地看出是否符合公式的形式；（3）整体代换后，化简到无法继续化简，才是最终结果。
四、综合题
16．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
17．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.3 公式法同步分层训练基础题
一、选择题
1．如果x2+ax+121是两个数的和的平方的形式；那么a的值是（ ）
A．22 B．11 C．±22 D．±11
2．（2023八上·莱芜期中）下列各式的分解因式：
①；②；
③；④.
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．（2023九上·保定开学考）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
4．把多项式ax2-ay2分解因式，需用到（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．提取公因式和平方差公式 D．以上都不对
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
7．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
8．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x2-2x-1；②-x+1；③-a2-b2；④-a2+b2；⑤x2-4xy+4y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2019八上·海口期中）已知 ， .则代数式 的值是 .
10．若整式x2+ky2 (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k= ．(写出一个即可)
11．分解因式：(1) .(2)a b-6ab+9b= .
12．（2024八上·绿园期末） 若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
13．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
三、解答题
14．（2023八上·鸠江月考）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
15．（2024八上·扶余期末） 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：.
解：将“”看成一个整体，设，则原式.
再将代入，得原式.
上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）因式分解：.
四、综合题
16．（2023八下·揭东期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解： 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；(填序号)
①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；
（2）请你模仿以上例题分解因式：．
17．（2023八下·贵溪期末） 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
.提取公因式 .平方差公式 .完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2+ax+121=x2+ax+112是两个数的和的平方的形式，
∴a=2×11=22.
故答案为：A.
【分析】形如“a2+2ab+b2”的式子就可以分解为两个数的和的平方的形式，据此可得a的值.
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④.错误、
综上，正确的只有1个。
故答案为：A
【分析】根据平方差公式，完全平方公式对各式进行分解，逐一进行判断即可。特别要注意各项的符号，以免错用公式。
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
（1）
（2）
（3），不能再分解；
（4）；
则错误的是（3）
故答案为：C.
【分析】本题考查平方差公式的应用。熟悉是关键。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2-ay2=a（x2-y2）=a（x+y）（x-y）；
故答案为：C.
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
【分析】先将已知两个等式相减，两边分别利用平方差公式及提取公式法分解因式，再根据等式的性质可得m+n=-3，进而将待求式子利用完全平方公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①16x2-8x=8x（2x-1）；
②(x-1)2-4(x-1)+4 =（x-1-2）2=（x-3）2；
③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 =[（x+1）2-2x]2=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x =-（ 4x2-4x +1）=-（2x-1）2，
将各个多项式分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④.
故答案为：C.
【分析】将①中的多项式利用提取公因式法分解因式，将②③④中的多项式分别利用完全平方公式分解因式，进而观察分解结果即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2-2x-1=x2-2x-12，两平方项符号相反，不能应用完全平方公式分解；
②，可以利用完全平方公式分解；
③-a2-b2 ，两平方项的符号相同，不能使用平方差公式分解；
④-a2+b2=b2-a2=(b-a)(b+a)，能使用平方差公式分解；
⑤x2-4xy+4y2=(x-2y)2，能应用完全平方公式分解，
综上可以使用公式分解因式的有②④⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】因式分解可套用的公式有a2-b2=(a+b)(a-b)及a2±2ab+b2=(a±b)2，从而将所给的五个多项式根据公式特点逐一分析判断即可.
9．【答案】5
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ =(x+y)(x-y)=5.
故答案为：5.
【分析】先把 利用平方差公式分解因式，再整体代入计算即可.
10．【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），
故答案为：-1（答案不唯一）．
【分析】令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．
11．【答案】(a+3)(a-3)；b(a-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：(a+3)(a-3).
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据平方差公式对其化简即可；
（2）利用提公因式法和完全平方公式对其化简即可.
12．【答案】7或﹣9
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
即m=7或-9
故填：=7或-9
【分析】根据完全平方公式，对应找到公式中的各项，对号入座，注意不要落下2倍项是减号的情况。
13．【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
14．【答案】（1）解：①原式＝（3m 3y）＋（am ay）
＝3（m y）＋a（m y）
＝（m y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
（2）（a＋b＋1）（a＋b 1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2 1
＝（a＋b）2 1
＝（a＋b＋1）（a＋b 1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b 1）．
【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：设.
原式.
将代入，得原式.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）解：设x-y=m
再将m=x-y代入
故填：
（2）解：设a-1=m
再将m=a-1代入
故填：
【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解；（2）利用整体思想进行等量代换，可以更加清晰地看出是否符合公式的形式；（3）整体代换后，化简到无法继续化简，才是最终结果。
16．【答案】（1）④
（2）解：，
设，
原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的： 两数差的完全平方公式；
故答案为：④.
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）设，将原式化为，先整理再分解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：设，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解；
（2）设，再运用多项式乘以多项式得到，再利用完全平方公式分解即可．
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