2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.1.1 相交与平行同步分层训练基础题
一、选择题
1．在同一平面内，对两条直线可能的位置关系，描述最准确的是 （ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
2．已知直线AB和直线AB 外一点 P，过点 P作直线与AB 平行，这样的直线 （ ）
A．有且只有一条 B．不止一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
5．（2023七上·从江期中）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
7．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（2023七下·遵义月考）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
二、填空题
9．a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 .
10．给下面的图形归类(图中的线均为直线)：
两条直线相交的是 ；两条直线互相平行的是 (填序号)
11．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
12．（2022七下·杭州期中）有下列说法：
①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论k取任何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是2；
④若，，则；
其中正确的说法是 .
13．（2022七上·顺义期末）如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ．
①相交 ②不相交 ③平行 ④在同一平面内 ⑤不在同一平面内
三、解答题
14．（2018-2019学年数学人教版七年级上册4.1几何图形同步练习）如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
15．（【精彩练习】初中数学浙教七下1.1平行线）有这样一个问题：在同一平面内，互不重合的三条直线的交点有多少个？下列是甲、乙两位同学的答案．
甲：在同一平面内，互不重合的三条直线交点的个数为0，因为a∥b∥c．如图1所示．
乙：在同一平面内，互不重合的三条直线交点的个数为1，因为a，b，c交于同一点O，如图2所示．
以上说法谁对谁错？为什么？
四、综合题
16．（初中数学北师大版七年级上册4.5平行（旧）练习题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”：
（1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？
17．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故答案为：C．
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．
2．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线的平行.
故答案为：A.
【分析】直接根据根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线的平行进行解答即可.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：因为射线CD向CD方向延伸，所以不会相交，所以A不符合题意；
B：因为射线CD向CD方向延伸，且AB是直线，所以能相交，所以B符合题意；
C：因为射线AB向AB方向延伸，所以不会相交，所以C不符合题意；
D：因为CD是线段，不向两方延伸，所以不会相交，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据射线，线段，直线的特征进行判断，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
7．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
8．【答案】B
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【解答】解：∵ l1、l2互相平行 ，
∴l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，
∵l3，l4，l5相交于一点，
∴l3，l4，l5只有1个交点；
l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；
l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点；
∴这7条直线的交点个数最多的交点数为2×3+1+5+6=18个.
故答案为：B
【分析】利用已知 l1、l2互相平行 ，因此 l1、l2没有交点，l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，再根据l3，l4，l5相交于一点；l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点，据此可得到这7条直线的交点个数最多的数量.
9．【答案】a∥c
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a，b，c为同一平面内三条不同的直线， a⊥b，c⊥b，
∴a∥c.（根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.）
故答案为：a∥c.
【分析】根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行即可得出结论.
10．【答案】①③⑤；②④
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：由图可得：两条直线相交的是①③⑤；两条直线互相平行的是②④.
故答案为：①③⑤；②④.
【分析】根据同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线，同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行可得答案.
11．【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
12．【答案】①
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程的解；平行公理及推论；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当k为负值时，多项式不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③解方程组，得，
把代入得：，
解得：，故本选项不正确；
④∵，
∴，
∴，故本选项不正确；
综上正确的说法是①.
故答案为：①.
【分析】①根据平行公理判断即可；②利用平方差公式的特点进行分析即可；③求出方程组的解，再将解代入中即可求出a值；④根据幂的乘方，整体代入消去m即可得解.
13．【答案】⑤不在同一平面内
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：由图可知：这两条直线的位置关系是不在同一平面内，
故答案为：⑤不在同一平面内．
【分析】利用平面内直线的位置关系求解即可。
14．【答案】解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【分析】连接CE时只与BD有一个交点，所以只有一座立交桥.
15．【答案】解：甲、乙说法都不对，都少了三种情况．除甲、乙的说法外还有两种情况：①a∥b，c与a，b相交，如图1，此时交点的个数为2；②a，b，c两两相交，
如图2．
此时交点的个数为3．所以在同一平面内，互不重合的三条直线的交点有0个或1个或2个或3个，共四种情况．
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【分析】认真阅读甲乙的说法，可知甲、乙说法都不对，都少了三种情况，a，b，c两两相交可能有一个交点，也可能有3个交点；a∥b，c与a，b相交；a∥b∥c，分别画出符合题意的图形即可.
16．【答案】（1）解：正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB；右侧：DD′∥HR
（2）解：EF∥A′B′，CC′⊥DH
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【分析】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行；（2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直．
17．【答案】（1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.1.1 相交与平行同步分层训练基础题
一、选择题
1．在同一平面内，对两条直线可能的位置关系，描述最准确的是 （ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故答案为：C．
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交．
2．已知直线AB和直线AB 外一点 P，过点 P作直线与AB 平行，这样的直线 （ ）
A．有且只有一条 B．不止一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线的平行.
故答案为：A.
【分析】直接根据根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线的平行进行解答即可.
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
5．（2023七上·从江期中）直线、线段、射线的位置如图所示，下图中能相交的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：因为射线CD向CD方向延伸，所以不会相交，所以A不符合题意；
B：因为射线CD向CD方向延伸，且AB是直线，所以能相交，所以B符合题意；
C：因为射线AB向AB方向延伸，所以不会相交，所以C不符合题意；
D：因为CD是线段，不向两方延伸，所以不会相交，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据射线，线段，直线的特征进行判断，即可得出答案。
6．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
7．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
8．（2023七下·遵义月考）小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线ln(n=1，2，3，4，5，6，7)，其中l1、l2互相平行，l3、l4、I5三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【解答】解：∵ l1、l2互相平行 ，
∴l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，
∵l3，l4，l5相交于一点，
∴l3，l4，l5只有1个交点；
l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；
l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点；
∴这7条直线的交点个数最多的交点数为2×3+1+5+6=18个.
故答案为：B
【分析】利用已知 l1、l2互相平行 ，因此 l1、l2没有交点，l3，l4，l5分别与l1，l2最多各有2个交点，再根据l3，l4，l5相交于一点；l6与l1、l2、l3，l4，l5最多有5个交点；l7与l1、l2、l3，l4，l5、l6最多有6个交点，据此可得到这7条直线的交点个数最多的数量.
二、填空题
9．a，b，c为同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 .
【答案】a∥c
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a，b，c为同一平面内三条不同的直线， a⊥b，c⊥b，
∴a∥c.（根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.）
故答案为：a∥c.
【分析】根据平行公理的推论：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行即可得出结论.
10．给下面的图形归类(图中的线均为直线)：
两条直线相交的是 ；两条直线互相平行的是 (填序号)
【答案】①③⑤；②④
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：由图可得：两条直线相交的是①③⑤；两条直线互相平行的是②④.
故答案为：①③⑤；②④.
【分析】根据同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线，同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行可得答案.
11．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
12．（2022七下·杭州期中）有下列说法：
①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论k取任何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是2；
④若，，则；
其中正确的说法是 .
【答案】①
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程的解；平行公理及推论；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当k为负值时，多项式不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③解方程组，得，
把代入得：，
解得：，故本选项不正确；
④∵，
∴，
∴，故本选项不正确；
综上正确的说法是①.
故答案为：①.
【分析】①根据平行公理判断即可；②利用平方差公式的特点进行分析即可；③求出方程组的解，再将解代入中即可求出a值；④根据幂的乘方，整体代入消去m即可得解.
13．（2022七上·顺义期末）如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ．
①相交 ②不相交 ③平行 ④在同一平面内 ⑤不在同一平面内
【答案】⑤不在同一平面内
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：由图可知：这两条直线的位置关系是不在同一平面内，
故答案为：⑤不在同一平面内．
【分析】利用平面内直线的位置关系求解即可。
三、解答题
14．（2018-2019学年数学人教版七年级上册4.1几何图形同步练习）如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
【答案】解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【分析】连接CE时只与BD有一个交点，所以只有一座立交桥.
15．（【精彩练习】初中数学浙教七下1.1平行线）有这样一个问题：在同一平面内，互不重合的三条直线的交点有多少个？下列是甲、乙两位同学的答案．
甲：在同一平面内，互不重合的三条直线交点的个数为0，因为a∥b∥c．如图1所示．
乙：在同一平面内，互不重合的三条直线交点的个数为1，因为a，b，c交于同一点O，如图2所示．
以上说法谁对谁错？为什么？
【答案】解：甲、乙说法都不对，都少了三种情况．除甲、乙的说法外还有两种情况：①a∥b，c与a，b相交，如图1，此时交点的个数为2；②a，b，c两两相交，
如图2．
此时交点的个数为3．所以在同一平面内，互不重合的三条直线的交点有0个或1个或2个或3个，共四种情况．
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【分析】认真阅读甲乙的说法，可知甲、乙说法都不对，都少了三种情况，a，b，c两两相交可能有一个交点，也可能有3个交点；a∥b，c与a，b相交；a∥b∥c，分别画出符合题意的图形即可.
四、综合题
16．（初中数学北师大版七年级上册4.5平行（旧）练习题）如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字母“M”：
（1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来；
（2）EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？
【答案】（1）解：正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB；右侧：DD′∥HR
（2）解：EF∥A′B′，CC′⊥DH
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【分析】（1）正面AE、MF、NG、DH是平行的，MP、QB平行，PN、CQ平行；上面AA′、BB′、CC′、DD′相互平行，AB、A′B′、CD、C′D′平行；右侧HR、DD′平行，HD、RD′平行；（2）EF与A′B′都与AB平行，所以平行；CC′与DD′平行，DD′与DH垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直．
17．平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；
（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；
（3）你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？
（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
【答案】（1）解：如图1所示；交点共有6个，
（2）解：如图2，3．
（3）解：当n=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4，
当n=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5，
当n=15时，如图6，
（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：
①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这是交点最少，
②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多，
③设交点个数为n，则0≤n≤21，
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出．
从画出的图形中归纳规律即可得到答案．
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