2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.1.1 相交与平行同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022七下·娄星期末）在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定
2．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（ ）
A．一定有三条 B．只能有一条
C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对
3．（2023七上·亳州月考）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个 B．1个或4个
C．6个或4个 D．1个或4个或6个
4．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．（2023七下·松原月考）在同一平面内，有三条直线a、b、c，给出下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，b与c相交（不重合），则a与c相交；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·广阳模拟）图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
7．下列说法错的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，两条不重合的直线的关系只有相交、垂直和平行三种；④不相交的直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
二、填空题
9．小戴和小魏分别到黑板上经过点A画直线m与直线n，并且使得m∥p，n∥p，则直线m与n分别必然重合，这是因为
10．（2023七上·巴中月考）两条直线相交，只有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，10条直线相交，最多有 个交点.
11．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
12．（2021七下·海东期末）观察如图所示的长方体，用符号（“ ”或“ ”）表示下列两棱的位置关系： ， ， ．
13．（2021七上·酉阳期末）已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 .
三、解答题
14．如图，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你还能再找出图中的平行线吗？
15．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
四、综合题
16．探索与发现：
（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 ，请说明理由．
（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 （直接填结论，不需要证明）
（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．
17．（2021七上·慈溪期末）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ， 平分 .若 ，
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系.
故答案为：C.
【分析】 在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是平行或相交.
2．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】
解：如图所示
可以看出可以为1条直线，也可以是3条直线.
故答案为：C.
【分析】当A、B、C三点在同一直线时，可以知道有一条直线；当三点不在同一条直线时，由定理：过两点有且只有一条直线，可以得出答案.
3．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：当四条直线经过同一交点时，此时只有1个交点，如图所示：，当四条直线不经过同一个交点时，此时有4个交点，如图所示：，当四条直线没有公共交点，且两两相交时，此时有6个交点，如图所示：.
故答案为：D.
【分析】分成经过一个交点和不经过一个交点进行讨论即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：①若a与b相交，b与c相交，则a与c可能不想交，选项错误，不符合题意；
②选项正确，符合题意；
③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
④说法正确，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意，由直线之间的位置关系进行判断即可。
6．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】过点M且平行于直线a的直线只有1条．
故答案为：B．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得答案。
7．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】根据平面几何中概念的理解可得：
（1）应强调过直线外一点，故错误；
（2）应强调在同一平面内，故错误；
（3）在同一平面内，两条不重合的直线的关系只有相交平行两种，所以错误；；
（4）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；
故答案为：D
【分析】根据平面几何中概念的理解可得：（1）（2）（3）（4）均错误
8．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
9．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵直线m、n都经过点A，且m∥p，n∥p，
∴ 直线m与n分别必然重合 （过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据直线公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案.
10．【答案】45
【知识点】探索数与式的规律；相交线
【解析】【解答】解：两条直线相交，只有1个交点，
三条直线交点最多为1+2=3个，
四条直线交点最多为3+3=1+2+3=6个，
五条直线交点最多为6+4=1+2+3+4=10个，
六条直线交点最多为10+5=1+2+3+4+5=15个；
10条直线交点最多为1+2+3+...+(10-1)==45.
故答案为：45.
【分析】根据 两条直线相交，只有1个交点，
三条直线交点最多为1+2=3个，
四条直线交点最多为3+3=1+2+3=6个，
五条直线交点最多为6+4=1+2+3+4=10个，
六条直线交点最多为10+5=1+2+3+4+5=15个，
然后得出规律，n条直线相交最多有，列式计算即可得解.
11．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
12．【答案】；；
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在平面A-B-C-D中，直线AD、BC和AB、CD无公共点，因此AD//BC，AB//CD；
在平面A-B-A1-B1中，直线AB、AA1相交成直角，因此AB⊥AA1；
在平面C-D-D1-C1中，直线CD、D1C1无公共点，则CD//D1C1结合AB//CD得AB//D1C1．
故填：//，⊥，//．
【分析】根据所给的长方体判断求解即可。
13．【答案】14
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；
∴M-m=14.
故答案为：14.
【分析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，此时交点为6×(6-1)÷2=15，即M=15，据此进行计算.
14．【答案】解：图中的平行线有：AB∥DC∥D1C1∥A1B1，AD∥BC∥B1C1∥A1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，结合长方体直接判断即可．
15．【答案】解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）根平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
16．【答案】（1）a1⊥a3
（2）a1∥a4
（3）解：直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a2⊥a3，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5，
以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：（1）a1⊥a3．
理由如下：如图1，
∵a1⊥a2，
∴∠1=90°，
∵a2∥a3，
∴∠2=∠1=90°，
∴a1⊥a3；
⑵同（1）的解法，如图2，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；（2）根据（1）中结论即可判定垂直；（3）根据规律发现，与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．
17．【答案】（1）解：∵直线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】相交线
【解析】【分析】（1）先求出，再利用角平分线求出的度数；（2）先利用求出，再利用角平分线求出 的度数，再求出，最后
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一、选择题
1．（2022七下·娄星期末）在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系.
故答案为：C.
【分析】 在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是平行或相交.
2．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（ ）
A．一定有三条 B．只能有一条
C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】
解：如图所示
可以看出可以为1条直线，也可以是3条直线.
故答案为：C.
【分析】当A、B、C三点在同一直线时，可以知道有一条直线；当三点不在同一条直线时，由定理：过两点有且只有一条直线，可以得出答案.
3．（2023七上·亳州月考）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个 B．1个或4个
C．6个或4个 D．1个或4个或6个
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：当四条直线经过同一交点时，此时只有1个交点，如图所示：，当四条直线不经过同一个交点时，此时有4个交点，如图所示：，当四条直线没有公共交点，且两两相交时，此时有6个交点，如图所示：.
故答案为：D.
【分析】分成经过一个交点和不经过一个交点进行讨论即可求解.
4．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
5．（2023七下·松原月考）在同一平面内，有三条直线a、b、c，给出下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，b与c相交（不重合），则a与c相交；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：①若a与b相交，b与c相交，则a与c可能不想交，选项错误，不符合题意；
②选项正确，符合题意；
③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
④说法正确，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据题意，由直线之间的位置关系进行判断即可。
6．（2022·广阳模拟）图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】过点M且平行于直线a的直线只有1条．
故答案为：B．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得答案。
7．下列说法错的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，两条不重合的直线的关系只有相交、垂直和平行三种；④不相交的直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；平面中直线位置关系
【解析】【解答】根据平面几何中概念的理解可得：
（1）应强调过直线外一点，故错误；
（2）应强调在同一平面内，故错误；
（3）在同一平面内，两条不重合的直线的关系只有相交平行两种，所以错误；；
（4）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；
故答案为：D
【分析】根据平面几何中概念的理解可得：（1）（2）（3）（4）均错误
8．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
二、填空题
9．小戴和小魏分别到黑板上经过点A画直线m与直线n，并且使得m∥p，n∥p，则直线m与n分别必然重合，这是因为
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵直线m、n都经过点A，且m∥p，n∥p，
∴ 直线m与n分别必然重合 （过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据直线公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案.
10．（2023七上·巴中月考）两条直线相交，只有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，10条直线相交，最多有 个交点.
【答案】45
【知识点】探索数与式的规律；相交线
【解析】【解答】解：两条直线相交，只有1个交点，
三条直线交点最多为1+2=3个，
四条直线交点最多为3+3=1+2+3=6个，
五条直线交点最多为6+4=1+2+3+4=10个，
六条直线交点最多为10+5=1+2+3+4+5=15个；
10条直线交点最多为1+2+3+...+(10-1)==45.
故答案为：45.
【分析】根据 两条直线相交，只有1个交点，
三条直线交点最多为1+2=3个，
四条直线交点最多为3+3=1+2+3=6个，
五条直线交点最多为6+4=1+2+3+4=10个，
六条直线交点最多为10+5=1+2+3+4+5=15个，
然后得出规律，n条直线相交最多有，列式计算即可得解.
11．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
12．（2021七下·海东期末）观察如图所示的长方体，用符号（“ ”或“ ”）表示下列两棱的位置关系： ， ， ．
【答案】；；
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：在平面A-B-C-D中，直线AD、BC和AB、CD无公共点，因此AD//BC，AB//CD；
在平面A-B-A1-B1中，直线AB、AA1相交成直角，因此AB⊥AA1；
在平面C-D-D1-C1中，直线CD、D1C1无公共点，则CD//D1C1结合AB//CD得AB//D1C1．
故填：//，⊥，//．
【分析】根据所给的长方体判断求解即可。
13．（2021七上·酉阳期末）已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 .
【答案】14
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15；
∴M-m=14.
故答案为：14.
【分析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，此时交点为6×(6-1)÷2=15，即M=15，据此进行计算.
三、解答题
14．如图，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你还能再找出图中的平行线吗？
【答案】解：图中的平行线有：AB∥DC∥D1C1∥A1B1，AD∥BC∥B1C1∥A1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，结合长方体直接判断即可．
15．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）根平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
四、综合题
16．探索与发现：
（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 ，请说明理由．
（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 （直接填结论，不需要证明）
（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．
【答案】（1）a1⊥a3
（2）a1∥a4
（3）解：直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a2⊥a3，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5，
以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：（1）a1⊥a3．
理由如下：如图1，
∵a1⊥a2，
∴∠1=90°，
∵a2∥a3，
∴∠2=∠1=90°，
∴a1⊥a3；
⑵同（1）的解法，如图2，
直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；（2）根据（1）中结论即可判定垂直；（3）根据规律发现，与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．
17．（2021七上·慈溪期末）如图，已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ， 平分 .若 ，
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解：∵直线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】相交线
【解析】【分析】（1）先求出，再利用角平分线求出的度数；（2）先利用求出，再利用角平分线求出 的度数，再求出，最后
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