(共25张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
1．4.1 充分条件与必要条件
明确目标 发展素养
1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
3．掌握充分条件、必要条件的简单应用. 1.通过对充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的 条件，q是p的 ______
条件．
2．几点说明：
(1)一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是 的；给定条件p，由p可以推出的结论q是 的．
(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 _____条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
p q
充分
必要
不唯一
不唯一
充分
必要
(3)一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判
断是否有“ ”，即“若p，则q”是否为真命题．
[微思考]
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件是什么关系？
提示：p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件也反映了p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
(2)如果p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明．
提示：p不唯一．
例如：x＞1和x＞2都是x＞0的充分条件．
p q
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若q是p的必要条件，则q是唯一的． ( )
(2)q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，则p一定不成立． ( )
(3)“xy＞0”是“x，y都大于0”成立的充分条件． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知命题p：x＞1；q：x＞2.则p是q的 ( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．以上答案均不正确
解析：∵x＞2 x＞1，即q p，∴p是q的必要条件．
答案：B
3．“x＝3”是“x2＝9”的______条件．(填“充分”或“必要”)
解析：当x＝3时，x2＝9.即由x＝3 x2＝9，反之，不成立．∴“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．
答案：充分
题型一 充分条件的判断与探求
【学透用活】
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论或使此结论成立．
(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，x＝6 x2＝36.但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．
[典例1] 下列命题中，p是否为q的充分条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)设x∈R，p：x＞3，q：|x－1|＞2.
[方法技巧]
1．定义法判断充分条件的步骤
(1)分清“条件p”与“结论q”．
(2)判断条件p能否推出结论q.
(3)下结论：若“条件p 结论q”，则p是q的充分条件；若“条件p 结论q”，则p不是q的充分条件．
2．集合法判断充分条件
已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
若A B，则p是q的充分条件．
【对点练清】
1．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是 ( )
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选C、D.
答案：CD
2．下列命题中，p是否为q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
(2)p：(x－1)(x－3)＝0，q：x＝3；
(3)p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(4)p：一个四边形是等腰梯形，q：四边形的对角线相等．
解：(1)在△ABC中，根据大角对大边可得∠A＞∠B BC＞AC.∴p是q的充分条件．
(2)由(x－1)(x－3)＝0，解得x＝1或x＝3，不一定有x＝3.∴p不是q的充分条件．
(3)∵a＝b |a|＝|b|，即p q，∴p是q的充分条件．
(4)∵等腰梯形的对角线相等，∴p q，∴p是q的充分条件．
题型二 必要条件的判断与探求
【学透用活】
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的；真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件．
(2)“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必有p；而具备了p，不一定有q.
[典例2] (多选)下列命题正确的是 ( )
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
[解析] ∵x＞3 x＞2，∴A是真命题；∵x＝2 x2＝4，x2＝4 x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B A∪B＝A，∴C是真命题；∵a＝1，b＝2，c＝－2时，ac>bc a>b，∴D是假命题．
[答案] AC
[方法技巧]
1．定义法判断必要条件的步骤
(1)分清“条件p”与“结论q”．
(2)判断结论q能否推出条件p.
(3)下结论：若“结论q 条件p”，则p是q的必要条件；若“结论q 件p”，则p不是q的必要条件．
2．集合法判断必要条件
已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
若B A，则p是q的必要条件．
【对点练清】
1．(多选)不等式0＜x＜2成立的一个必要条件是 ( )
A．0＜x＜1 B．x≥－1
C．0＜x≤3 D．1＜x＜3
解析：令A＝{x|0＜x＜2}，则由集合间的关系得A {x|x≥－1}，A {x|0＜x≤3}，所以“x≥－1”与“0＜x≤3”均是“不等式0＜x＜2成立”的一个必要条件，故选B、C.
答案：BC
题型三 利用充分条件与必要条件求参数范围
[探究发现]
记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？
提示：若p是q的充分条件，则A B；若p是q的必要条件，则B A.
【学透用活】
[典例3] 是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
[方法技巧]
利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下：
(1)化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}．
(2)根据p与q的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合A与B之间的包含关系．
(3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)．
(4)化简，求出参数的取值范围．
【对点练清】
1．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由1－x＜0，得x＞1，令A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}．若p是q的充分条件，则x＞1 x＞a，即A B，∴a≤1.若p是q的必要条件，则x＞a x＞1，即B A，∴a≥1.
答案：{a|a≤1} {a|a≥1}
2．将本例中条件“4x＋p＜0”换为“4x＋p＞0”，其他条件不变，结果如何？
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0；q：实数x满足2＜x＜3.
(1)若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．(共24张PPT)
1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
明确目标 发展素养
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，并会判断真假．
2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，并会判断真假. 1.借助全称量词命题和存在量词命题的否定判断命题的真假性，提升逻辑推理素养．
2．通过对命题否定的学习，学生能使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，提升数学抽象素养.
知识点一 全称量词命题的否定
(一)教材梳理填空
1．命题的否定：
(1)一般地，对一个命题进行 ，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．
(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 _________ .
[微提醒] 命题的否定是只否定结论，不否定条件．
否定
一真一假
2．全称量词命题的否定：
[微思考] 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一．如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
全称量词命题 全称量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) __________________________ 全称量词命题的否定是 _______ _命题
存在量词
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)全称量词命题与其否定的真假可以相同． ( )
(2)命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”． ( )
答案：(1)× (2)×
2．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A、B，D正确．
答案：D
3．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是______________________．
解析：该命题是全称量词命题，其否定应该是存在量词命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
知识点二 存在量词命题的否定
(一)教材梳理填空
存在量词命题 存在量词命题的否定 结论
x∈M，p(x) _____________________________ 存在量词命题的否定是 __________命题
全称量词
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)存在量词命题与其否定的真假性可以相同． ( )
(2)用自然语言描述的存在量词命题的否定形式是唯一的． ( )
答案：(1)× (2)×
2．命题p：“ x∈R，x2－2x＋1＝0”的否定綈p是________________________．
解析：命题p是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，即綈p为 x∈R，x2－2x＋1≠0.
答案： x∈R，x2－2x＋1≠0
题型一 全称量词命题的否定与真假判断
【学透用活】
对全称量词命题的否定以及特点的理解
(1)全称量词命题的否定实际上是将量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行了“两次否定”．实际上，含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．
(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
[典例1] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：对于任意的实数m，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：任意一个实数乘－1都等于它的相反数；
(3)r：正方形的对角线相等．
[方法技巧]
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“ x∈M，p(x)”，其否定形式为“ x∈M， p(x)”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题．
【对点练清】
写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：所有自然数的平方都是正数；
(2)q：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)r：对任意实数x，x2＋1≥0.
解：(1)有些自然数的平方不是正数．真命题．
(2)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．真命题．
(3)存在实数x，使得x2＋1＜0.假命题．
题型二 存在量词命题的否定与真假判断
【学透用活】
对存在量词命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题p与 p互为否定，所以存在量词命题的否定就是全称量词命题．
(2)全称量词命题与存在量词命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假．
[方法技巧]
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“ x∈M，p(x)”，其否定形式是“ x∈M， p(x)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题．
(2)存在量词命题的否定的真假性与存在量词命题相反，要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
题型三 全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题
【学透用活】
[典例3] 已知命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．
[方法技巧]
已知命题p为假时，一般转化为 p是真命题来求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理地选择方法．
【对点练清】
已知命题p：“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位数是0.
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
以下是小明和小红的解答过程，你能找出错误之处吗？
小明：(1)可以被5整除的数，末位数不是0.
(2)能被3整除的数，不能被4整除．
小红：(1)有些可以被5整除的数，末位数是0.
(2)存在一个能被3整除的数，能被4整除．
提示：小明解答本题时忽略了题中隐含的量词，如(1)实际上含有量词“任意”，对隐含量词没有否定；小红解答本题时虽然注意到了隐含的量词，对这些量词也作了否定，但对结论没有否定．
正解如下：
(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为“有一些可以被5整除的数，末位数不是0”．
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个能被3整除的数，不能被4整除”．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自北师大版新教材]请举出几个生活中的全称量词命题或存在量词命题，并写出这些命题的否定．
解：(1)这个篮子里的鸡蛋都是好的．
其否定是这个篮子的鸡蛋并非都是好的．
(2)某箱产品至少有一件是次品．
其否定是某箱产品都是正品．(答案不唯一)(共28张PPT)
第二课时 补集
明确目标 发展素养
1.了解全集的含义及其符号表示．
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集. 1.通过补集的运算，培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
(一)教材梳理填空
1．全集：
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
[微思考] 数集问题的全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实数范围内解不等式，全集为实数集R；在整数范围内解不等式，全集为整数集Z.
所有元素
U
2．补集：
文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_____
符号语言 UA＝ _______________
图形语言
不属于
UA
{x|x∈U，且x A}
3.补集的性质：
(1)A∪( UA)＝__.
(2)A∩( UA)＝__.
(3) UU＝___， U ＝U， U( UA)＝ .
(4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
U
A
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)全集一定含有任何元素． ( )
(2)在全集U中存在某个元素x0，既有x0 A，又有x0 UA. ( )
(3)根据研究问题的不同，可指定不同的全集． ( )
(4)一个集合的补集中一定含有元素． ( )
(5)研究A在U中的补集时，A可以不是U的子集． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则 UM等于 ( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U
答案：A
3．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x＜3，或x＞4}，则ab＝________.
解析：因为A∪( UA)＝R，A∩( UA)＝ ，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.
答案：12
题型一 补集的运算
【学透用活】
(1)对符号 UA的理解：
①A是U的子集，即A U；
② UA表示一个集合，且( UA) U；
③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
(2)若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一．
[典例1] (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为 ( )
A．{x∈R|0＜x＜2} B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则 UA＝__________， UB＝________.
[方法技巧]
求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过程中注意端点值能否取到．
【对点练清】
若集合A＝{x|－3≤x＜1}，当U分别取下列集合时，求 UA.
(1)U＝R；
(2)U＝{x|x≤5}；
(3)U＝{x|－5≤x≤1}．
题型二 集合的交、并、补集的综合运算
[探究发现]
某校国际班有36名学生，会讲英语的有24人，会讲日语的有16人，既会讲英语又会讲日语的有10人．如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数？
提示：设U＝{该班36名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}．
由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的学生有36－14－10－6＝6(人)．
【学透用活】
[典例2] 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}，P＝{x|x≤0或x≥5}．
(1)求A∩B， UB；(2)(A∩B)∪( UP)．
[方法技巧]
解决集合运算问题的方法
(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：
交集元素仔细找，属于A且属于B；
并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；
全集U是大范围，去掉U中属于A的元素，剩余元素成补集．
(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．
(3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．
【对点练清】
1．[变设问]在本例的条件下，( UA)∩( UP)＝________.
2．[变条件]将本例中的集合P＝{x|x≤0或x≥5}改为P＝{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，则A∪( UB)＝________.
解析：∵ UB＝ PB＝{x|x≤－1或3＜x≤5}，
∴A∪( UB)＝{x|－4≤x＜2}∪{x|x≤－1或3＜x≤5}＝{x|x＜2或3＜x≤5}．
答案：{x|x＜2或3＜x≤5}
题型三 与补集有关的参数值(范围)问题
[探究发现]
(1)若A，B是全集U的子集，且( UA)∩B＝ ，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：B A.
(2)若A，B是全集U的子集，且( UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
提示：A B.
【学透用活】
[典例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解] 法一：直接法
由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二：集合间的关系
由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[方法技巧]
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
【对点练清】
1．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.所以m的取值范围是{m|m≤－4}．
答案：{m|m≤－4}
2．[变条件]将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，得－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
答案：{m|m≥2}
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．设全集U＝R，集合A＝{x|－5＜x＜4}，集合B＝{x|x＜－6或x＞1}，集合C＝{x|x－m＜0}，求实数m的取值范围，使其同时满足下列两个条件．
①C (A∩B)；②C ( UA)∩( UB)．
解：因为A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6或x＞1}，
所以A∩B＝{x|1＜x＜4}．
又 UA＝{x|x≤－5或x≥4}， UB＝{x|－6≤x≤1}，
所以( UA)∩( UB)＝{x|－6≤x≤－5}．
而C＝{x|x＜m}，因为当C (A∩B)时，m≥4；
当C ( UA)∩( UB)时，m＞－5，所以m≥4.
即实数m的取值范围为{m|m≥4}．(共41张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1．1 集合的概念
明确目标 发展素养
1.通过实例了解集合的含义．
2.理解元素与集合的属于关系．
3.掌握常用的数集及其记法．
4.掌握集合的两种表示方法. 1.通过学习集合的概念，逐步形成数学抽象素养．
2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
3.借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算素养.
知识点一 元素与集合
(一)教材梳理填空
1．元素与集合的含义：
定义 表示
元素 一般地，把 统称为元素 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素
集合 把一些元素组成的 _____ 叫做集合，简称为 ___ 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合
研究对象
总体
集
2.集合中元素的特性： 、互异性和无序性．
3．集合相等：只要构成两个集合的元素是 的，我们就称这两个集合是相等的．
4．集合的分类：
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．
当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数无限时，称之为无限集．
确定性
一样
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)某中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合． ( )
(2)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的． ( )
(3)单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素． ( )
答案：（1）×（2）√（3）×
2．(多选)下列所给的对象能构成集合的是 ( )
A．所有的正三角形
B．高中《数学必修第一册》课本上的所有难题
C．接近的所有实数
D．在2022年北京冬奥会上拿到奖牌的中国运动员
答案：AD
3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 方程x2 - 3x +2=0的解为1，2，方程x2 -5x+6=0的解为2，3由于两方程有相同的解2,在集合中作为1个元素，故A中有3个元素，故选C?.
答案：C
知识点二 元素与集合的关系及常用数集
(一)教材梳理填空
1．元素与集合的关系：
关系 概念 记法
a属于集合A 如果a是集合A的元素，就说a _____集合A _____
a不属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A _____
属于
a∈A
不属于
a A
2.常用数集及符号表示：
[微思考] N与N*有何区别？
提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*多一个元素0.
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 _________ ___ __ ___ ___ ___
N
N*或N＋
Z
Q
R
知识点三 集合的表示方法
(一)教材梳理填空
1．列举法：
把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做 _______ .
2．描述法：
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为 ．
一一列举
列举法
共同特征
描述法
[微思考]
(1)不等式x－3<4的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<7.
(2){x|x<5，x∈R}．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}． ( )
(2)集合{－3,1}与集合{(－3,1)}表示同一个集合． ( )
(3){x∈R|x＞1}＝{y∈R|y＞1}． ( )
答案：（1）×（2）×（3）√
2．方程x2－1＝0的所有解组成的集合用列举法表示为 ( )
A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}
C．{－1,1} D．以上都不对
解析：解方程x2-1=0得x=±1,故方程x2-1=0的解集为｛-1，1｝.
答案：C
3．由大于－1且小于5的所有自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为___________．
解析：大于-1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0,1,2,3,4}.用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N，且-1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈ N |-1＜x＜5}.
答案：{0,1,2,3,4} {x∈N|－1＜x＜5}
题型一 集合的概念及特征
【学透用活】
准确认识集合的含义
描述性 “集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明
整体性 集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体
广泛性 现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素
[典例1] 下列对象能构成集合的是 ( )
A．高一年级长得帅的学生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
[解析] 由于帅与很大没有一个确定的标准，因此A、C不能构成集合；B中sin 30°＝cos 60°，不满足互异性；D满足集合的三要素．故选D.
[答案] D
[方法技巧]
判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性．同时注意互异性和无序性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则就不能构成集合．
提醒：注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．
【对点练清】
1．(多选)下列对象能构成集合的是 ( )
A．某市拥有小轿车的家庭
B．2023年高考数学试卷中的难题
C．所有的有理数
D．钟南山院士实验室的所有人
解析：根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A、C、D选项中都能构成集合．故选ACD.
答案：ACD
题型二 元素与集合的关系
【学透用活】
元素与集合的关系解读
唯一性 a∈A与a A取决于a是不是集合A中的元素，只有属于和不属于两种关系
方向性 符号“∈”“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合
[方法技巧]
解决元素与集合的关系问题的策略
(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．
(2)要熟练掌握R，Q，Z，N， N *表示什么数集．
(3)解决比较复杂的集合问题时要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
2．设集合D是由满足y＝x2的所有有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1,1)________D．(用符号“ ”或“∈”填空)
解析：－1不是有序实数对，∴－1 D.(－1,1)满足y＝x2，∴(－1,1)∈D.
答案： ∈
题型三 集合的表示
【分类例析】
角度(一) 用列举法表示集合
[典例3] 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的所有非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的所有质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的所有实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x－3与y＝－2x－6的图象的交点组成的集合D.
[方法技巧]
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
提醒：二元方程组的所有实数解组成的集合、函数图象上的所有点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．
角度(二) 用描述法表示集合
[典例4] 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合；
(3)被3除余数等于1的所有正整数组成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数组成的集合．
[解] (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的所有解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数组成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
[方法技巧]
1．描述法表示集合的2个步骤
(1)写代表元素：分清楚集合中的元素是点或是数还是其他的元素．
(2)明确元素的特征：将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面．
2．用描述法表示集合的注意点
(1)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接．
(2)若描述部分出现元素记号以外的参数，则要说明参数的含义或指出参数的取值范围．
(4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知集合A中含有3个元素1，x，x2－2x，且3∈A，求x的值．以下是小明同学给出的解题过程：
解：∵3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3，
解得x＝－1或3.
∴x的值为－1或3.
分析以上解题过程，你能找出错误之处吗？请写出正确的解题过程．
提示：没有对求得的值进行互异性检验从而产生增根．
正解如下：
∵A中含有3个元素且3∈A，∴x＝3或x2－2x＝3.
当x＝3时，x2－2x＝3＝x，不满足互异性，故x≠3.
当x2－2x＝3时，解得x＝－1或x＝3(舍去)．
当x＝－1时，A＝{－1,1,3}符合题意．
综上，x的值为－1.
二、应用性——强调学以致用
2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________．
解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道．∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
∵甲和乙只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题两人选项相同，则乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上，乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}．
答案：{24,27,30}(共34张PPT)
知识点一 子集、集合相等、真子集
(一)教材梳理填空
1．子集：
概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________ 元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，读作“A B”(或“B ______A”)
任意一个
A B
B A
包含于
包含
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 ； (2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么
______
续表
A A
A C
2.集合相等：
概念 一般地，如果集合A的任何一个元素 集合B的元素，同时集合B的任何一个元素 集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .也就是说，若A B，且B A，则 ______
图示
结论 若A＝B且B＝C，则 ______
都是
都是
A＝B
A＝B
A＝C
3.真子集：
x∈B
x A
[微思考] (1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
1．2 集合间的基本关系
明确目标 发展素养
1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2.在具体情境中，了解空集的含义．
3.对相似概念及符号的理解．
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系. 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养．
3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养.
2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A．M＜N B．M∈N
C．N M D．M N
解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴M N.故选D.
答案：D
3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案：－1
知识点二 空集
(一)教材梳理填空
[微思考] {0}， 与{ }之间有什么区别与联系？
提示：{0}是含有一个元素0的集合， 是不含任何元素的集合，因此有 {0}，而{ }是含有一个元素 的集合．因此， 作为一个元素时，有 ∈{ }， 作为一个集合时，有 { }．
定义 我们把 的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的 ，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身， ；
(2)若A≠ ，则 A
不含任何元素
子集
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何集合都有子集和真子集． ( )
(2)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝ . ( )
答案：(1)× (2)√
2．下列四个集合中，是空集的是 ( )
A．{x|x＋3＝3}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析： ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝ ，故选D.
答案：D
题型一 确定集合的子集、真子集
[探究发现]
填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1
{a，b} 2
{a，b，c} 3
{a，b，c，d} 4
(1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
(2)如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集个数的公式吗(用n表达)
解：填表
集合 元素个数 所有子集 子集个数
{a} 1 ，{a} 2
{a，b} 2 ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} 3 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
(1)“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合的元素有n个，则该集合的子集个数为2n.
(2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1.
{a，b，c，d} 4 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16
续表
【学透用活】
[典例1] 已知集合M满足{1,2} M {1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是 ( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下．
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
[答案] B
[方法技巧] 求集合子集、真子集个数的三个步骤
【对点练清】
1．将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则满足条件的集合M的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于方程x2＋3x＋3＝0，
∵Δ＝9－12＝－3＜0，∴该方程无实根，即A＝ .
由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.∴B＝{2,3}．
由题意，得 M {2,3}．
∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}共3个，故选C.
答案：C
2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是 ( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；
当x＝2时，y＝2；当x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
题型二 集合间关系的判断
【学透用活】
[典例2] 指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
[方法技巧] 判断集合间关系的常用方法
列举
观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素
特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形
结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1题型三 由集合间的关系求参数
[探究发现]
(1)设集合A＝{1,2}，若B A，则集合B可能是什么？
提示： ，{1}，{2}，{1,2}．
(2)设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1[方法技巧]
已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．
(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示.
(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
【对点练清】
1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－21．5 全称量词与存在量词
1．5.1 全称量词与存在量词
明确目标 发展素养
1.通过已知数学实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义．
2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断. 1.借助全称量词命题与存在量词命题的真假性的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．全称量词与全称量词命题：
全称量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词
符号表示 ___
全称量词命题 定义 含有 量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式 对M中 x，p(x)成立
符号表示 ，p(x)
所有的
任意一个
全称
任意一个
x∈M
2.存在量词与存在量词命题：
存在
量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词
符号表示 _____
存在量词命题 定义 含有 量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式 M中的元素x，p(x)成立
符号表示 ，p(x)
存在一个
至少有一个
存在
存在
x∈M
[微思考] 全称量词命题与存在量词命题有什么区别？
提示：全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．
存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)“一切”“每一个”“任意一个”是全称量词． ( )
(2)有些全称量词命题的全称量词可以省略． ( )
(3)“有些”“有一个”“对某些”“有的”是存在量词． ( )
(4)存在量词命题中的存在量词可以省略． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
3．给出下列命题：
①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.
答案：C
4．下列命题中，正确的有________(填序号)．
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
解析：①正确；②正确，例如数1满足条件；③正确，例如x＝π.综上可得：①②③都正确．
答案：①②③
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【学透用活】
[典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)所有不等式的解集A，都满足A R；
(2) x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0；
(3)存在x∈R,2x＋1是整数；
(4)自然数的平方是正数；
(5)所有四边形的内角和都是360°吗？
[解] “自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(4)是全称量词命题．(2)(3)中含有存在量词，所以(2)(3)是存在量词命题．(5)是疑问句，不是命题．
[方法技巧]
判断全称量词命题与存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[方法技巧]
1．判断全称量词命题真假的思维过程
2．判断存在量词命题真假的思维过程
【对点练清】
1．(多选)下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是 ( )
A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一个菱形不是平行四边形
D．存在一个实数x，使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：对于A，是全称量词命题，是假命题，故A错误；对于B，是全称量词命题，是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，是假命题，故D正确．故选C、D.
答案：CD
[方法技巧]
求解含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通(共25张PPT)
1．4.2 充要条件
明确目标 发展素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义．
2．理解数学定义与充要条件的关系. 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
p q
q p
p q
充要
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p
与q互为 条件．
[微思考] 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法正确吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p q.
即p等价于q.故此说法正确．
充要
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． ( )
(2)若p q和q p有一个成立，则p有可能是q的充要条件． ( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.
∴“x＝1或x＝－1” “x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C.
答案： C
3．设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A B”，则p是q的________条件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：∵A∩B＝A A B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．
答案：充要 充要
题型一 充要条件的判断
【学透用活】
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但q p p是q的充分不必要条件
q p，但p q p是q的必要不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
p q ，且q p p是q的既不充分也不必要条件
[解析] 在A、D中，p q，∴p是q的充要条件，在B、C中，q p，
∴p不是q的充要条件，故选A、D.
[答案] AD
[方法技巧] 判断充分、必要条件的步骤
【对点练清】
1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3 A＝{－1,3,2} B A A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B B A {2,3} {2，－1，p} p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解：(1)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，
∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件．
题型二 利用充分、必要条件求参数
【学透用活】
从集合角度看充分、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表．
记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系 A B B A A＝B
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
续表
[典例2] 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？
(3)当a为何值时，p是q的充要条件？
[方法技巧]
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？
解：若q是p的充分不必要条件，即q p，但p q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．
所以当a＞2时，q是p的充分不必要条件．
2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？
解：若q是p的必要不充分条件，即p q，但q p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1)．
所以当1≤a＜2时，q是p的必要不充分条件．
题型三 充要条件的证明与探究
【学透用活】
[典例3] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[方法技巧]
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
【对点练清】
1．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充要条件是________．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
(1)证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0.
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求上述两个方程的根都是整数的充要条件．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在．(共36张PPT)
1．3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集
明确目标 发展素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义．
2.会求两个简单集合的并集和
交集．
3.能使用Venn图表达集合的并集与交集，体会图示对理解抽象概念的作用. 1.通过集合的交、并集运算，提高数学运算素养．
2.借助集合交、并集运算的符号语言及图形语言，培养数学抽象和直观想象素养．
3.通过运算结果逆向求参数，培养逻辑推理素养.
知识点一 并集
(一)教材梳理填空
文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“ ”)
符号语言 A∪B＝________________
图形语言
或
A∪B
A并B
{x|x∈A，或x∈B}
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素． ( )
(2)若A∪B＝A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A. ( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填表：
答案： A B A A A∪B B B
3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于 ( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
答案：B
∪ A B
A
B B∪A
知识点二 交集
(一)教材梳理填空
文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作 (读作“ ______ ”)
符号语言 A∩B＝ ________________
图形语言
且
A∩B
A交B
{x|x∈A，且x∈B}
[微思考] 如何区别交集与并集？
提示：A与B的交集是由A与B两个集合中的所有公共元素组成的，即集合A∩B中的所有元素在A中与B中都必须同时拥有．
而A与B的并集是由A与B两个集合中的所有元素(重复元素只出现一次)组成的，即集合A∪B中的元素可能A与B两个集合都有，也可能A有B没有，或者A没有B有．
一般地，集合A∩B比A与B两个集合的范围都小或元素都少；集合A∪B比A与B两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当A＝B时，A∩B＝A∪B＝A＝B.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若A∩B＝C∩B，则A＝C. ( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合． ( )
(3)集合A∩B中的元素个数一定比任何一个集合的元素个数都少． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．填表：
答案： A B∩A B
∩ A B
A A∩B
B
3．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B等于 ( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
答案：B
题型一 并集的运算
【学透用活】
(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．如A＝{0,1}，B＝{2}，则A∪B＝{0,1,2}．
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x B”；“x∈B，但x A”；“x∈A，且x∈B”．可用下图表示．
[典例1] (1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于
( )
A．{1,3} B．{2,4}
C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q等于 ( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2}
[解析] (1)依题意，得B＝{1,3,5,7}，因此A∪B＝{1,2,3,4,5,7}．
(2)因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，画出数轴如图，
所以A∪B＝{x|－1＜x＜2}．故选A.
[答案] (1)D (2)A
[方法技巧]
求两个集合的并集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．
【对点练清】
1．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2答案：C
题型二 交集的运算
【学透用活】
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
(2)交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝{2,3,4}，而不是{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与集合B的交集为空集．如A＝{0,1,2,3}，B＝{4,5,6}，则A∩B＝ .
[典例2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝ ( )
A． B．{－3，－2,2,3}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
[解析] (1)法一：因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，
B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故选D.
法二：A∩B＝{x|1＜|x|＜3，
x∈Z}＝{x|－3＜x＜－1或1＜x＜3，x∈Z}＝{－2,2}．
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【对点练清】
题型三 利用并(交)集的性质求参数的值或范围
[探究发现]
设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有什么关系？
提示：A∩B＝A A∪B＝B A B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A B三者为等价关系．
【学透用活】
[典例3] 已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求实数k的取值范围．
[方法技巧]
求解含有参数的集合运算的方法
(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，要做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解．另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．
【对点练清】
1．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3＜x≤5}”，则实数k的值为________．
解析：由题意可知 解得k＝3，所以实数k的值为3.
答案：3
2．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，则实数k的取值范围为________．
3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________.
解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，解得a＝－1或4，当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．∴a＝4.
答案：4
提示：甲、乙都求解错误．甲的错误在于把集合A与集合B当成了两个点集，从而求出了两条曲线的交点，没有正确理解集合的含义．乙的错误在于没有正确理解A∩B的含义，A∩B是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，因此，求解时，应分别求A和B两个集合的元素．
正确的解题过程如下：
A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}，
B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}，
因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14}．
