(共30张PPT)
3．1.2 函数的表示法
明确目标 发展素养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．
2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．理解函数图象的作用．
3.通过具体实例，了解分段函数，并能简单应用. 1.通过用图象法表示函数，培养直观想象素养．
2.通过求函数解析式及分段函数求值，培养数学运算素养．
3.利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.
第一课时 函数的表示法
(一)教材梳理填空
解析法 用 表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用 表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
表格
图象
[微思考] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示：要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何一个函数都可以用列表法表示． ( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示． ( )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线． ( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1,5]的图象是 ( )
A．直线 B．射线
C．线段 D．离散的点
解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1,5]，则此时图象为线段．故选C.
答案：C
5．已知下面表格表示的是函数w＝g(u)，则g(－1)＝________，g(0)＝________，g(2)＝________.判断2________(填“是”或“不是”)这个函数值域中的元素．
u －2 －1 0 1 2
w 3 4 5 6 7
题型一 函数表示法
【学透用活】
[典例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[方法技巧]
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
在用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
【对点练清】
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
答案：D
2．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系．
②列表法：
③图象法：
[方法技巧]
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
【对点练清】
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，
值域是________．
解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
答案：[－3,3] [－2,2]
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．
解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图2.
[方法技巧] 求函数解析式的四种常用求法
【对点练清】
1．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
二、应用性——强调学以致用
2．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为____________；当物体的质量为10 kg时，y＝________cm.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.(共40张PPT)
3．2.2 奇偶性
明确目标 发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或解析式．
3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．
2.借助函数奇偶性的判断方法，培养逻辑推理素养．
3.借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
(一)教材梳理填空
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数
－x∈ D
f(－x)＝f(x)
－x∈D
f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于 对称 关于 对称
定义域特征 关于 对称
奇偶性 如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有
________
y轴
原点
原点
奇偶性
续表
[微思考] 既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？
提示：不是只有一个，有无数个，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． ( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定
是奇函数． ( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列函数是偶函数的是 ( )
A．y＝x B．y＝3x2
C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1])
解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．
答案：B
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.
答案：C
4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x
－1.
答案：－x－1
题型一 函数奇偶性的判断
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，
－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
[方法技巧]
函数奇偶性的判断方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
题型二 奇函数、偶函数的图象问题
【学透用活】
[典例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[方法技巧]
巧用奇函数、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题．
题型三 利用函数的奇偶性求解析式
【学透用活】
[典例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
[方法技巧]
1．利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇函数、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
【对点练清】
1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
答案：4
2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解
析式．
3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2， ①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2, ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型四 函数单调性与奇偶性的应用
[探究发现]
(1)如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
(2)你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
提示：f(－2)>f(3)；若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
[方法技巧]
比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
角度(二) 解不等式问题
[典例5] 已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[方法技巧]
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，因此我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
【对点练清】
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 ( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
答案：A
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且f(3)1或a<－2.
答案：C
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－2x.
(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象．
(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有一个零点？两个零点？三个零点？
(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k.
结合函数的图象可知：
①当k＜－1或k＞1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点．
②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点．
③当－1＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)有3个交点，即g(x)＝f(x)－k有3个零点．(共41张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3．1 函数的概念及其表示
3．1.1 函数的概念
明确目标 发展素养
1.用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2.体会集合和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．
4.能够正确使用区间表示数集. 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2.借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
知识点一 函数的有关概念
(一)教材梳理填空
1．函数的概念：
定义 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的
，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 ______________和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数
记法 _____ ______
定义域 x叫做 ，x的 叫做函数的定义域
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
f：A→B
y＝f(x)，x∈A
自变量
取值范围A
函数值 与 相对应的y值
值域 函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集
x的值
{f(x)|x∈A}
续表
[微思考] (1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量．f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．同一个函数：
如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
定义域
对应关系
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. ( )
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． ( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
知识点二 区间
(一)教材梳理填空
区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
区间 数轴表示 名称
______ 闭区间
_______ 开区间
______ 半开半闭区间
(a，b] 半开半闭区间
[a，b]
(a，b)
[a，b)
区间 数轴表示 名称
___________ －
(a，＋∞) －
___________ －
(－∞，b) －
[a，＋∞)
(－∞，b]
(二)基本知能小试
1．区间(0,1)等于 ( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}
答案：C
2．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
3．设A＝(－6,1]，B＝(－1,9]，则A∩B＝________.
答案：(－1,1]
[方法技巧]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2．(多选)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是 ( )
[深化探究]
(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，则函数f(x＋1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域？
提示：由1≤x＋1≤2，得0≤x≤1，由此得函数f(x＋1)定义域是[0,1]．
已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围．
(2)若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的取值范围[2,3]．
已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域．
[方法技巧] 求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[方法技巧]
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
解：f(1)＝13＋2×1＋3＝6，f(t)＝t3＋2t＋3，
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a，
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
题型三 同一个函数的判断问题
[探究发现]
在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？
提示：起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定．当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等．
[方法技巧]
判断两函数为同一个函数的方法
判断两函数是否为同一个函数，关键是坚持定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则两个函数不是同一个函数．
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
二、应用性——强调学以致用
2．有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆上，写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定义域．
[析题建模] 利用等腰梯形的性质，求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y与腰长x之间的函数关系式，再根据实际意义求出x的取值范围．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}的“孪生函数”共有 ( )
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
解析：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1,5}，由2x2－3＝－1得，x＝±1；由2x2－3＝5得，x＝±2.则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“孪生函数”共有9个．
答案：C (共36张PPT)
3．3 幂函数
(一)教材梳理填空
1．幂函数的概念：
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五个幂函数的图象与性质：
y＝xα
定义域 ____ ____ ____ ______ _________
值域 ____ __________ ____ _____ ____
奇偶性 函数 函数 函数 __ 函数 函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0]上单调 ，在(0，＋∞)上单调____ 在(－∞，＋∞)上单调 _____ 在[0，＋∞)上单调
_____ 在(－∞，0)上单调 ，在(0，＋∞)上单调____
定点 ______
续表
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
递增
递减
递增
递增
递增
递减
递减
(1,1)
[微思考] 通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
答案：2
题型一 幂函数的概念
[探究发现]
幂函数的解析式有什么特征？
提示：(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项．
[方法技巧]
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．
(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.
2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)为增函数，则m的值为
( )
A．1或3 B．3 C．2 D．1
解析：由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.
答案：D
题型二 幂函数的图象及应用
【学透用活】
(1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[方法技巧]
解决幂函数图象问题的原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 ( )
A．d＞c＞b＞a
B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b
D．a＞b＞d＞c
题型三 利用幂函数的单调性比较大小
[方法技巧]
1．比较幂的大小的3种基本方法
2.利用幂函数单调性比较大小时的注意点
比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
[方法技巧]
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等．
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求实数m的值；
(2)请画出f(x)的大致图象；
(3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)是幂函数，
则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＝－2.
(2)由(1)知，f(x)＝x－2，
则f(x)的大致图象如图所示．
二、应用性——强调学以致用
2．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？(共36张PPT)
第二课时 函数的最大(小)值
明确目标 发展素养
1.理解函数的最大值和最小值的概念．
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题. 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
2.利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
(一)教材梳理填空
函数最大值与最小值：
最值 最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f(x) M f(x) M
x0∈D，使得_________
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，
使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若对任意x∈ D ，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值． ( )
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素． ( )
(3)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值． ( )
(4)函数的最大值一定比最小值大． ( )
(5)若函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x) ( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D.
答案：D
题型一 图象法求函数的最值问题
[探究发现]
函数最大值或最小值与函数图象有什么关系？
提示：函数的最大值是f(x)图象上最高点的纵坐标．函数的最小值是f(x)图象上最低点的纵坐标．
[解] (1)图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
[方法技巧]
利用图象求函数最值的步骤
(1)画出函数y＝f(x)的图象．
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点．
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
【对点练清】
1.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
答案：C
题型二 利用单调性求函数最值
【学透用活】
利用单调性求最值的常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
[方法技巧]
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
题型三 二次函数在区间上的最值
[探究发现]
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和解析式之间的关系，由哪些关键因素决定？
提示：二次函数的图象的开口方向由a决定，对称轴由a，b共同决定，c决定了函数与y轴的交点位置．
(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c在区间[m，n]上的最值，关键因素有哪些？
提示：求二次函数y＝ax2＋bx＋c在区间[m，n]上的最值，关键因素是开口方向、对称轴与区间的位置关系．
【学透用活】
[典例3] 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[方法技巧]
1．含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
2．含参数的二次函数最值问题的三种类型
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值．
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值．
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
2．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)(定轴动区间)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
题型四 函数最值的实际应用
【学透用活】
[典例4] 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式．
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
[方法技巧] 求解实际问题的4个步骤
【对点练清】
1．用长为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度为_______m.
2．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．在①函数的最小值为1，②函数图象过点(－2,2)，③函数的图象与y轴交点的纵坐标为2，这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解．
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋1)－f(x)＝2x＋3，且满足________(填所选条件的序号)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－2tx，当x∈[1，＋∞)时，函数g(x)的最小值为－2，求实数t的值．(共32张PPT)
3．4 函数的应用(一)
明确目标 发展素养
1.掌握一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型及特点．
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题. 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．三类常见函数模型：
y＝kx＋b
k≠0
2.数学建模、解模的过程：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点． ( )
(2)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )
(3)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)
变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．由图可知前
5 min温度增加越来越快． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为 ( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
答案：C
题型一 一次函数模型
【学透用活】
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图象解题时，应注意：
(1)一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况；
(2)一次函数的图象是一条直线．
[典例1] 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元．
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
[解] 设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，
则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1< y2，故应选择第2个方案处理污水．
(2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元．
因为y1> y2，故应选择第1个方案处理污水．
[方法技巧]
建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．
【对点练清】
车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．
(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．
解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N*且0≤x≤3 500)．
(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，
则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，
即2 100≤x≤2 625.
画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．
题型二 二次函数模型
【学透用活】
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．
[典例2] 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[方法技巧] 解决二次函数模型应用题的4个步骤
题型三 幂函数模型
【学透用活】
能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．
[典例3] 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，试写出该种饼干900克装的合理售价．
[方法技巧]
解决幂函数模型的4个步骤
(1)认真阅读，理解题意．
(2)用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
(3)根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
(4)转化成具体问题，给出解答．
【对点练清】
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
题型四 分段函数模型
[方法技巧]
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
【对点练清】
某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12 000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工多于30人，则给予优惠，每多一人，培训费减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元．
(1)写出y与x(x＞0，x∈N*)之间的函数解析式．
(2)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．
(2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？
解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100是增函数，当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(10)＝f(20)＝240，所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min.
(2)因为f(5)＝195，f(25)＝205，所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中．
(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4，
当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57，
又28.57－4＝24.57＞24，所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目．(共32张PPT)
3．2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
明确目标 发展素养
1.理解函数的单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．
2.会用函数单调性的定义判断(证明)一些函数的单调性．
3.会求一些具体函数的单调区间. 1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．
2.通过求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)____ f(x2) 都有f(x1) ____ f(x2)
图示
(一)教材梳理填空
1．函数的单调性
<
>
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是_____函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是____函数
增
减
续表
(2)增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征．
①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定x1[微思考]
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
提示：不是．
2．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的_________．
单调区间
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增． ( )
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)． ( )
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 ( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.
答案：C
[方法技巧] 利用定义证明函数单调性的四个步骤
题型二 求函数的单调区间
【学透用活】
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么关系？
【学透用活】
[典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围为________．
[方法技巧]
函数单调性的应用策略
(1)比较函数值的大小：解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．
(2)解函数不等式：求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)求参数范围：其方法是根据函数的单调性，构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解．
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则 ( )
A．a＞b＞0 B．a－b＞0
C．a＋b＞0 D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故选C.
答案：C
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是 ( )
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高得越来越慢．故选D.
答案：D
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．是否存在函数f(x)，其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例．
提示：存在，如：f(x)＝c(c为常数)，f(x)＝x2在定义域R上既不是增函数，也不是减函数．(答案不唯一)(共29张PPT)
第二课时 分段函数
(一)教材梳理填空
分段函数的定义及本质：
(1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
(2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段上“定义域”的 ，其值域是各段上“值域”的_____.
对应关系
并集
并集
[微提醒]
(1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
(3)分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)分段函数由几个函数构成． ( )
(2)分段函数有多个定义域． ( )
(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． ( )
(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示． ( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是 ( )
答案：B
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为x2＋2x>2x，
即x≠0，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}．
[方法技巧]
1．求分段函数函数值的步骤
(1)先确定要求值的自变量属于哪个区间．
(2)然后代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)对字母的取值范围分类讨论．
(2)代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[方法技巧]
1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤
2．作分段函数图象的注意点
作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．
【对点练清】
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______．
[方法技巧]
在写分段函数的解析式时，要注意各段自变量取值集合的交集为 ，当前后两段图象连续时，相连的区间端点可在这两段的任意一段上，不要漏掉端点值即可．
【对点练清】
提示：不正确．含字母的自变量范围不确定，应分类讨论．
