(共37张PPT)
4．5 函数的应用(二)
4．5.1 函数的零点与方程的解
明确目标 发展素养
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．
2.会求函数的零点．
3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数. 1.借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理素养．
2.借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象素养.
(一)教材梳理填空
1．函数的零点：
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
[微思考] (1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)函数y＝x2有零点吗？
提示：(1)不是；(2)有零点，零点为0.
f(x)＝0
2．方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与x轴有
．
3．函数零点存在定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ____
________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
零点
公共点
连续不断
f(a)
f(b)＜0
f(c)＝0
[微思考] (1)在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
(2)函数零点存在定理的逆命题是否成立？
提示：(1)当f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0时，f(x)在(a，b)上有唯一零点．
(2)函数零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可以
推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函数y
＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0.如图，
虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)函数的零点是一个点． ( )
(2)任何函数都有零点． ( )
(3)函数y＝x的零点是O(0,0)． ( )
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点． ( )
(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根． ( )
答案： (1) × (2) × (3) ×(4) ×(5) √
2．函数f(x)＝log2x的零点是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
答案：B
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
[方法技巧]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
题型二 判断零点所在的区间
[探究发现]
(1)什么是函数的零点？
提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
(2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？
提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定没有零点．
【学透用活】
[典例2] (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是 ( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
[解析] (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.
(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为
函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图
象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
[答案] (1)A (2)C
[方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上
函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形
结合法 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
【对点练清】
1．函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为 ( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：由题意，可得函数在定义域上为增函数，f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，
f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，所以f(1)f(2)＜0，根据零点存在定理，
f(x)的零点所在区间为(1,2)．故选B.
答案：B
2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，
∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2.
答案：2
[方法技巧]
判断函数存在零点的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
【对点练清】
1．已知函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a，由于函数
f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直
线y＝a有3个交点，如图所示．
由图可知a＝4.
答案：4
2．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
解：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋lg 2－2>0，
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
故函数f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个
交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
[典例4] 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：
(1)两个零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
[方法技巧]
解决根的分布问题的注意事项及方法
(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：
①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向．
③写出由题意得到的不等式(组)并检验条件的完备性．
(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
2．求证：方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)内，另一个根在区间(1,2)内．
证明：由Δ＝69＞0，得方程共有两个不等实根，
设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
∵f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，且f(x)＝5x2－7x－1的图象在R上是连续不断的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”．
某同学给出了如下解答：
提示：上述解法不正确．因为该同学只考虑了在区间(－1,1)内存在零点，而没有考虑只有一个零点．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋1与g(x)＝x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．(共20张PPT)
4．5.2 用二分法求方程的近似解
明确目标 发展素养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．
3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解. 借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模和逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
1．二分法的概念：
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的 所在区间 ，使所得区间的两个 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
零点
一分为二
端点
2．用二分法求函数零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令___＝c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令___＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<__，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
b
a
ε
[微思考] 用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
提示：(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断．
(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求． ( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点． ( )
(3)精确度ε就是近似值． ( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是 ( )
答案：A
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为 ( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)<0，f(0.5)>0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．故选A.
答案：A
题型一 二分法的概念
【学透用活】
二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
[典例1] 下列函数中不能用二分法求零点的是 ( )
[解析] 观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点．
[答案] B
[方法技巧]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
【对点练清】
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解
的个数分别为 ( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.
答案：D
2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是 ( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解也可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
解析：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．
答案：D
题型二 用二分法求方程的近似解
【学透用活】
用二分法求方程的近似解时的注意点
(1)明确题目要求的精确度．
(2)确定初始区间，一般在两个整数间，初始区间的长度越小，计算次数越少．
(3)按步骤依次进行计算，直至达到指定的精确度为止．
[典例2] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[方法技巧]
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
【对点练清】
1．[变条件]若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
2．[变条件]若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？
解：设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2
再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0 x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自人教B版新教材]证明函数f(x)＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]有零点，并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时，至少需要进行多少次函数值的计算．
二、应用性——强调学以致用
2．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，请设计一个能迅速查出故障所在的方案，并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)
[析题建模] 利用二分法原理进行查找，不妨设闸门与指挥所所处点为A，B，首先从AB的中点C处开始，判断AC是否正常，若AC正常，则故障在BC段，再取BC的中点，依此类推．(共29张PPT)
4.5.3 函数模型的应用
明确目标 发展素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．
2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的规律. 通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高数学建模、数学运算和数据分析素养.
(一)教材梳理填空
y＝kx＋b
k≠0
k≠0
y＝ax2＋bx＋c
a≠0
续表
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． ( )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． ( )
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存
在意义了． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的 ( )
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
解析：逐个检验可得答案为B.
答案：B
时间 1 2 3 4
利润/千元 2 3.98 8.01 15.99
3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税．有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是 ( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
故今后最多还能砍伐15年．
[方法技巧]
在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．
【对点练清】
[方法技巧]对数函数应用题的类型及求解策略
基本类型 有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解
求解策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义
[方法技巧]
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数．
(5)利用选取的拟合函数进行预测．
(6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[对点练清]
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表．
投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果精确到0.1万元)．
解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自苏教版新教材]在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
3 000x－20x2－(500x＋4 000)
－20x2＋2 500x－4 000
－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)
2 480－40x
x＝62或x＝63
74 120
2 440
不具有
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，某市环保部门对某一水域浮萍的生长情况做了调查，测得该水域2月底浮萍覆盖面积为45 m2，4月底浮萍覆盖面积为80 m2，9月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位：m2)与月份x(2020年1月底记为x＝1,2021年1月底记为x＝13)的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mlog2x＋n(m＞0)可供选择．
(1)你认为选择哪个模型更符合实际？请说明理由．
(2)利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2？(参考数据：log214≈3.8，log215≈3.9)(共33张PPT)
4．3.2 对数的运算
明确目标 发展素养
1.理解对数的运算性质．
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明. 1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．
2.通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
[微提醒]
对数与指数运算对照表(a＞0，且a≠1，m＞0，N＞0)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)log2x2＝2log2x. ( )
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ( )
(3)loga(xy)＝logax·logay. ( )
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)． ( )
答案：(1)× (2)× (3)× (3)×
2．计算log84＋log82等于 ( )
A．log86 B．8 C．6 D．1
答案：D
知识点二 换底公式
(一)教材梳理填空
logab＝ (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做对数换底公式．
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
2．填空：
(1)logab·logba＝________；
(2)logab·logbx＝________；
(3)logamNn＝________.
3．log23·log34·log42＝________.
答案：1
题型一 对数运算性质的应用
【学透用活】
1．对数运算性质的适用前提
对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一定成立．
2．对数运算性质(1)的推广
性质(1)可以推广到若干个正因数的积：
loga(M1·M2·M3·…·Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(a＞0，且a≠1，Mi＞0，i＝1,2，…，n)．
[方法技巧]
对数式化简与求值的基本原则和方法
基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行
常用方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数
“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)
[方法技巧] 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【对点练清】
1．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．
[方法技巧]
1．解对数综合应用问题的3种方法
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
2．解对数应用题的4个步骤
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a＜1)．当n＞0时，N是n＋1位数．
(1)试用上述方法，判断2100是多少位数(lg 2≈0.301 0)；
(2)当n＜0时，你有怎样的结论？
解：(1)N＝2100＞0，lg N＝lg 2100＝30.1.
∴n＝30，lg a＝0.1.∴n＋1＝31.
∴N是31位数．
(2)n＜0时，N是－n位小数．
例如：N＝0.002＞0，N＝2×10－3，lg N＝－3＋lg 2，
∴n＝－3，显然N＝0.002是三位小数．(共43张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指数
明确目标 发展素养
1.根据具体实例，了解指数的拓展过程．
2.理解根式的性质，会进行简单的n次方根的运算．
3.理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化．
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换的思想求值. 1.借助n次方根及根式的概念，分数指数幂的含义，提升数学抽象素养．
2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
3.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念：
x
n次方根
[微思考] 为什么负数没有偶次方根？
提示：因为正数和负数的偶次方都是正数，故逆运算求偶次方根时，负数没有偶次方根．
a
根指数
被开方数
a
知识点二 分数指数幂的意义
(一)教材梳理填空
0
没有意义
知识点三 有理数指数幂与无理数指数幂
(一)教材梳理填空
1．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．无理数指数幂：
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
ars
arbr
实数
3．实数指数幂的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ (a＞0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈R)．
ars
arbr
[方法技巧]
指数幂的一般运算步骤
(1)有括号，先算括号里的；无括号，先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号．
(4)底数是小数，先要化成分数．
(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
2．在本例条件下，则a2－a－2＝________.(共25张PPT)
4．4 对数函数
4．4.1 对数函数的概念
明确目标 发展素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念．
2.会求对数函数的定义域、值域. 1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养．
2.借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．对数函数的概念：
一般地，函数y＝ (a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，＋∞)．
[微思考] 含有对数符号“log”的函数就是对数函数，对吗？
提示：不对，判断一个函数是否是对数函数不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的形式．
logax
2．特殊的对数函数：
常用对数函数 以 为底的对数函数 _______
自然对数函数 以 为底的对数函数________
10
y＝lg x
无理数e
y＝ln x
2．下列函数是对数函数的是 ( )
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
答案：A
3．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为 ( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：由x2－x＞0，可得x＞1或x＜0，故函数f(x)的定义域为{x|x＜0或x＞1}，故选C.
答案：C
4．若对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________．
解析：设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.
答案：y＝log3x
题型一 对数函数的概念
【学透用活】
对数函数概念的注意点
[方法技巧] 判定一个函数是对数函数的依据
【对点练清】
1．下列函数是对数函数的是 ( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log22x
C．y＝logx4 D．y＝lg x
解析：选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a＞0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
答案：D
2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
题型二 对数型函数的定义域
[探究发现]
(1)对数函数y＝logax的定义域是什么？
提示：y＝logax的定义域是{x|x＞0}．
(2)对数函数y＝logax的底数a有什么要求？
提示：y＝logax的底数a＞0，且a≠1.
【学透用活】
[典例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)；(3)y＝log(1－x)5.
[方法技巧]
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．
[方法技巧]
实际问题中对数模型要建模准确，计算时应充分利用对数的运算性质，注意变量的实际意义．
【对点练清】
某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．(共27张PPT)
4.2 指数函数
4．2.1 指数函数的概念
明确目标 发展素养
1.通过具体的实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念与意义．
2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.通过学习指数函数的概念和意义，培养数学抽象素养．
2.借助指数函数的实际应用，提升数学建模和数学运算素养.
(一)教材梳理填空
一般地，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
[微思考] 为什么规定指数函数y＝ax的底数大于0且不等于1
y＝ax(a＞0，且a≠1)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)y＝x2是指数函数． ( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． ( )
(3)y＝2x－1是指数函数． ( )
答案：(1)× (2)× (3)×
题型一 指数函数的概念
【学透用活】
指数函数有四个特点
(1)定义域必须是实数集R.
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项．
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0，且a≠1)不是指数函数．
(4)底数a的范围必须是a>0，且a≠1.
[方法技巧]
判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备，则该函数就不是指数函数．
[方法技巧]
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
题型三 指数函数的实际应用
[探究发现]
(1)什么是增长率？增长率与增加量有什么区别？
(2)若每次的增长率为p，经过n次后是原来的多少倍？
提示：n次增长后是原来的(1＋p)n倍．
【学透用活】
[典例3] 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
[解] (1)1年后甲城市人口总数为
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，
2年后甲城市人口总数为
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3，
…，
x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.
x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.
(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
[方法技巧]
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型：
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型：
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数：
把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． (共28张PPT)
4．4.3 不同函数增长的差异
明确目标 发展素养
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算和数学建模素养.
(一)教材梳理填空
函数 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞)
上的增减性 __________ __________ _________
随x的增大
函数图象 保持固定的增长速度 逐渐与 _____平行 逐渐与 _____平行
单调递增
单调递增
单调递增
y轴
x轴
增长速度的比较 共同点 在区间(0，＋∞)上，三种函数都单调递_____
不同点 保持不变 增长速度__________ 增长速度_________
存在一个正数x0，当x＞x0时，有ax0＞kx0＞logax0
增
越来越快
越来越慢
续表
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)对任意的x＞0，kx＞logax. ( )
(2)对任意的x＞0，ax＞logax. ( )
(3)函数y＝log2x增长的速度越来越慢． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是 ( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
答案：A
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用 ( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案：D
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________．
题型一 三类函数模型增长差异的比较
【学透用活】
[典例1] (1)下列函数中，增长速度最快的是 ( )
A．y＝2 021x B．y＝x2 021
C．y＝log2 021x D．y＝2 021x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表所示：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
[解析] (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案] (1)A (2)y2
[方法技巧]
比较函数增长情况的方法
(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢．
(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异．
(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这几个函数增长速度的差异．
【对点练清】
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是 ( )
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是 ( )
A．指数函数y＝2t
B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3
D．二次函数y＝2t2
解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.
答案：A
[方法技巧]
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[对点练清]
芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
题型三 函数模型的选择
【学透用活】
[典例3] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解] (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的；f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
[方法技巧]
由图象判断一次函数、指数函数和对数函数的方法
根据图象判断增长型的一次函数、指数函数和对数函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
【课堂思维激活】
一、应用性——强调学以致用
1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图象如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．(共34张PPT)
4．4.2 对数函数的图象和性质
明确目标 发展素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．
2.能结合图象分析对数函数的性质．
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．
2.借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 对数函数的图象与性质
(一)教材梳理填空
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 __________
值域 ___
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ；x∈[1，＋∞)时，y∈
_________ x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
_________
对称性 函数y＝logax与y＝log x的图象关于 对称
续表
(0，＋∞)
R
(1,0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
[微思考] 对于底数a＞1的对数函数，在区间(0，＋∞)内，底数越大，图象越靠近x轴吗？
提示：是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)． ( )
(2)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数． ( )
(3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象．( )
(4)对数函数的图象一定在y轴右侧． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是 ( )
解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
答案：C
知识点二 反函数
(一)教材梳理填空
指数函数 (a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
[微思考] 反函数有哪些性质？
提示： (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
y＝ax
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． ( )
(2)y＝4x与y＝log4x的图象关于y＝x对称． ( )
答案：(1)× (2)√
题型一 对数函数的图象问题
【学透用活】
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当a＞1时，对数函数的图象“上升”；
当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
(2)函数y＝logax与y＝log x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴；
②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
[典例1] 已知y＝lg x的图象，如图所示，由图象作出y
＝lg |x|和y＝|lg x|的图象，并解答以下问题：
(1)判断函数y＝lg |x|的奇偶性及单调性；
(2)函数f(x)＝|lg x|，若0f(b)．求证：ab<1.
[解] 分别作出y＝lg |x|和y＝|lg x|的图象如图①，图②所示．
(1)从图①可以看出，y＝lg|x|是偶函数且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由图②可以看出，若0f(b)，此时有ab<1成立；
若0因为f(a)>f(b)，所以－lg a>lg b，
即lg a＋lg b<0，lg(ab)<0，所以ab<1；
若1f(b)相矛盾．
综上可知，若0f(b)时，ab<1.
[方法技巧]
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质，即定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出．解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
【对点练清】
1．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是 ( )
解析：由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C、D错误．又当x＞0时，f(x)＝lg(x－1)是(1，＋∞)上的增函数，故选B.
答案：B
2.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
答案：B
3．画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．
解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．
由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是(0，＋∞)．
[方法技巧]
比较对数值的大小的策略
(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的单调性，然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．
(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论．
(3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
【对点练清】
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则 ( )
A．aC．c解析：因为a＝log20.220＝1,0答案：B
[方法技巧]
对数不等式的三种考查类型
(1)形如logam>logan的不等式，借助y＝logax的单调性求解．
(2)形如logam>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
提醒：底数中若含有参数，一定要注意底数大于0且不等于1，同时要注意对底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值差为1，求a的值时，有位同学的解题过程如下：
提示：他的思路是错误的．
二、应用性——强调学以致用
2．溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在[5,7]之间．食品监督部门检测到某品牌纯净水中氢离子浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升．
问：该品牌纯净水是否符合国家标准？
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[好题共享——选自苏教版新教材]对于等式ab＝c(a＞0，且a≠1)，如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a(即x)的函数，记为y，那么y＝xb，是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b(即x)的函数，记为y，那么y＝ax，是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c(即x)的函数，记为y，那么y＝logax，是对数函数．
事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．
例如，如果c为常数e(e为自然对数的底数)，将a视为自变量x(x＞0，x≠1)，则b为x的函数，记为y，那么xy＝e.
(1)试将y表示成x的函数f(x)；
(2)研究函数f(x)的性质．
你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？(共38张PPT)
4．2.2 指数函数的图象和性质
明确目标 发展素养
1.掌握指数函数的定义域、值域的求法．
2.能画出具体的指数函数的图象，并根据指数函数的图象说出指数函数的性质．
3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小. 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象素养．
2.借助指数函数的定义域、值域的求法，培养数学运算和逻辑推理素养．
3.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
(一)教材梳理填空
指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性
质 定义域 R
值域 _________
过定点 ，即当x＝0时，y＝__
单调性 在R上是 _______ 在R上是 _______
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 对称
续表
(0，＋∞)
(0,1)
1
增函数
减函数
y轴
[微思考] (1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0(2)指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量变化的规律如下：
提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
题型二 指数函数的图象及应用
【学透用活】
1．指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”．
2．指数函数图象的变换
(1)平移规律：设b＞0，
(2)对称规律：
y＝ax(a＞0，且a≠1) 的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称
与y＝－ax的图象关于x轴对称
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
[方法技巧]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
【对点练清】
1．已知0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：函数恒过点(0,1＋b)，因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
答案：A
2．已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数y＝|2x－2|的图象如图所示．要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.
解：画出函数的图象如图所示．
(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1
个单位长度得到的．
(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
题型三 指数函数的简单应用
【分类例析】
角度(一) 比较大小
[典例3] 比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.70.3,0.93.1；(2)－1.8，－2.5；
(3)0.20.3,0.30.2.
[方法技巧]
角度(二) 解指数不等式
[典例4] 求满足下列条件的x的取值范围：
(1)3x－1>9x；(2)0.2x<25；
(3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)．
[解] (1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，
又y＝3x在定义域R上是增函数，
∴x－1>2x，∴x<－1.即x的取值范围是(－∞，－1)．
[方法技巧] 指数不等式的三种求解方法
性质法 解形如ax>ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0隐含
性质法 解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解
(2)分情况讨论：
①当0∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5.
②当a>1时，函数f(x)＝ax在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，解得－1综上所述，当0{x|x<－1或x>5}；
当a>1时，x的取值范围是{x|－1【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．已知a，b，c，m都是正数，am＝bm＋cm，当m取何值时，长分别为a，b，c的三条线段能构成三角形？
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自苏教版新教材]有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q＝Q0e－0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随时间t的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失．(用计算器计算)
[析题建模]
解：(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如图所示．
4个函数都是y＝ax(a＞0，a≠1)的形式，它们的性质有：
①定义域为R；
②值域为(0，＋∞)；
③都过定点(0,1)；
④当a＞1时，函数在定义域内单调递增，0＜a＜1时，
函数在定义域内单调递减；
⑤a＞1时，若x＜0，则0＜y＜1，若x＞0，则y＞1.
0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1，若x＜0，则y＞1；
⑥对于函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，y＝bx(b＞0，且b≠1)，
当a＞b＞1时，
若x＜0，则0＜ax＜bx＜1；若x＝0，则ax＝bx＝1；
若x＞0，则ax＞bx＞1.
当0＜a＜b＜1时，
若x＜0，则ax＞bx＞1；若x＝0，则ax＝bx＝1；
若x＞0，则0＜ax＜bx＜1.
(2)举例：原来有一个细胞，细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，则经过x次分裂，细胞个数y，
则y＝2x，是一个指数函数．(共26张PPT)
4．3 对数
4．3.1 对数的概念
明确目标 发展素养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．
3.理解常用对数、自然对数的概念及记法. 1.借助指数式与对数式的互化，培养逻辑推理素养．
2.应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．
logaN
底数
真数
2．常用对数与自然对数：
名称 定义 记法
常用对数 以____为底的对数叫做常用对数 _
自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 _
10
lg N
ln N
3.对数的基本性质：
(1)当a＞0，且a≠1时，ax＝N .
(2)负数和0没有对数．
(3)特殊值：1的对数是 ，即loga1＝ ；底数的对数是1，即logaa＝1.
(4)如果把ax＝N中的x写成logaN，则有alogaN＝N.(对数恒等式)
[微思考] 在对数的定义中，为什么不能取a≤0及a＝1呢？
x＝logaN
0
0
2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，则有 ( )
A．log2M＝a B．logaM＝2 C．loga2＝M D．log2a＝M
答案：B
3．若log2x＝2，则x＝__________.
答案：4
题型一 对数的概念
【学透用活】
(1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：
(2)对数式y＝logax有意义的条件是x＞0，有时底数a＞0，且a≠1也要考虑．
[方法技巧]
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[方法技巧]
利用指数与对数的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
题型三 对数的性质及对数恒等式
【学透用活】
[典例3] (1)求下列各式的值：
①2－log23；②e3ln 7；③lg 0.0012.
(2)求下列各式中x的值：
①log3(lg x)＝1；②log3(log4(log5x))＝0.
[方法技巧]
利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．[变设问]在本例(2)②条件下，计算625 log x3的值为________．
解析：因为x＝625，则625 log 6253＝3.
答案：3
3．[变条件]本例(2)②中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3log3(log4(log5x))＝1”，则x＝________.
解析：由3log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
答案：625
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．求[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]的值．
解：根据定义，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…[lg 9]＝0；
[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…[lg 99]＝1；
[lg 100]＝[lg 101]＝[lg 102]＝…＝[lg 999]＝2，
[lg 1 000]＝[lg 1 001]＝[lg 1 002]＝…[lg 2 019]＝3.
所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 019]＝1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 019－999)＝90＋2×900＋3×1 020＝4 950.