(共27张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
明确目标 发展素养
1.借助单位圆理解并掌握用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
2.正弦、余弦函数图象的简单应用．
3.正弦、余弦函数图象的区别与联系. 1.通过作正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2.借助图象的综合应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
续表
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
图象
[微思考] 余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线？
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)余弦函数y＝cos x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． ( )
(3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
解析：观察y＝cos x，x∈R的图象可知，直线x＝0即y轴是一条对称轴．
答案：B
3．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.8的交点有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：观察图象(略)易知：有两个交点．
答案：B
答案：－1
题型一 用“五点法”画正弦、余弦函数的简图
【学透用活】
画正弦函数、余弦函数的图象应注意的问题
(1)无论采用什么方法作正弦、余弦函数的图象，函数自变量都要用弧度制，这样自变量的值为实数，任意角与x轴上的实数产生了一一对应关系，从而可以在平面直角坐标系中作出图象．
(2)正弦、余弦曲线形状相同，位置不同，均向左、向右无限延伸，与x轴有无数个交点，正弦曲线关于原点对称，而余弦曲线关于y轴对称．
(3)画图时要注意图象的对称性和凹凸方向．切忌把图象画成折线．
[典例1] 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
[解] (1)列表：
描点连线，如图所示．
(2)列表：
描点连线，如图所示．
[方法技巧]
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
题型二 正弦(余弦)函数图象的应用
[探究发现]
(1)方程sin x＝x的实根个数有多少个？
提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x的图象(略)，可知当x∈(－∞，0)时，sin x＞x；当x∈(0，＋∞)时，sin x＜x，当x＝0时，sin x＝x，所以方程只有一个实根为0.
(2)函数f(x)＝ －cos x在[0，＋∞)内有多少个零点？
提示：令f(x)＝0，所以 ＝cos x，分别作出y＝ ，y＝cos x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点.
[方法技巧]
解决三角函数图象应用问题的策略
(1)用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法：
①作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
②确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
③确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
(2)判断方程解的个数，或由方程解的个数确定参数的取值范围，可利用图象解题，当方程含有正、余弦函数时，可借助正、余弦曲线探究问题的解法．
【对点练清】
1．[变条件]本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．结合函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的图象，你能得到哪些结论？(答案不唯一)
解：作出函数f(x)的图象如图中粗实线所示．
由图象可以得到：
①奇偶性：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，则函数f(x)是偶函数．
②图象的对称性：函数图象关于y轴对称．
⑤函数的值域为[0,2]．
⑥f(x)在[－π，π]有3个零点．
当0≤x≤π时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝sin x＋sin x＝2sin x，
由f(x)＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，
由f(x)是偶函数，得在[－π，π)上还有一个零点x＝－π，即函数f(x)在[－π，π]有3个零点．
⑦若g(x)＝a，则f(x)－g(x)＝0有根的条件为0≤a≤2等等．(任选几个写出即可)(共36张PPT)
5.2 三角函数的概念
5．2.1 三角函数的概念
明确目标 发展素养
1.借助单位圆理解任意角三角函数
(正弦、余弦、正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
3.掌握诱导公式一并会应用. 1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2.借助公式的运算，提升数学运算素养.
知识点一 三角函数的定义
(一)教材梳理填空
1．任意角的三角函数的定义：
前提
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
续表
y
sin α
x
cos α
tan α(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
续表
[微思考] 三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在角α终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域：
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
_____________________
3.三角函数值的符号：
如图所示：
正弦： 象限正， 象限负；
余弦： 象限正， 象限负；
正切： 象限正， 象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[微思考] 三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示：由α的终边所在的象限决定．
一二
三四
一四
二三
一三
二四
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0. ( )
(2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角． ( )
(3)对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若sin α<0，tan α>0，则α在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象限，综上，α在第三象限．
答案：C
答案：B
知识点二 诱导公式一
(一)教材梳理填空
(1)终边相同的角的同一三角函数的值 ______.
(2)公式
[微思考] 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？
相等
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β. ( )
(2)若sin α＝sin β，则α＝β. ( )
答案：(1)√ (2)×
答案：C
题型一 三角函数的定义与应用
[探究发现]
(1)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
(2)对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sin α，cos α，tan α的值是否存在？是否唯一？
提示：角α的终边在y轴上时，tan α的值无意义，除此之外，其他的角的三角函数值都是唯一确定的．
(3)若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sin α，cos α，tan α的值．
【对点练清】
1．若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，求sin α，cos α，tan α的值．
2．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α.
[典例2] (1)已知点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2cos 3tan 4.
[解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
所以角θ所在的象限是第三象限．
[方法技巧]
有关三角函数值符号问题的解题策略
(1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
(2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论．
(3)对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．
【对点练清】
1．若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形．
答案：B
答案：D
题型三 诱导公式一的应用
【学透用活】
对诱导公式一的三点说明
(1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等．
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
提示：错误．错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论．实际上本题中要分x＝0和x≠0两种情况讨论．(共29张PPT)
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明确目标 发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养．
2.借助运算求值，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
记法 公式
S2α sin 2α＝___________
C2α cos 2α＝____________
T2α
tan 2α＝__________________________
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2．余弦的二倍角公式的变形：
(sin α±cos α)2
答案：(1) √ (2) √ (3) × (4) ×
答案： A
答案：D
4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
[方法技巧]
对于给角求值问题的两种类型及解题策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[方法技巧]
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角．如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写出正确的解题过程．
提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
二、应用性——强调学以致用(共32张PPT)
5．4.3 正切函数的性质与图象
明确目标 发展素养
1.能画出正切函数y＝tan x的图象．
2.借助图象理解掌握正切函数y＝tan x的性质．
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的综合应用. 1.借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．
2.通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
(一)教材梳理填空
函数y＝tan x的图象和性质：
解析式 y＝tan x
图象
R
π
奇函数
续表
答案：(1) √ (2)√ (3)×
答案：C
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)的值为 ( )
A．0 B．3 C．－1 D．－2
解析：∵f(－x)＝tan(－x)＋sin(－x)＋1
＝－tan x－sin x＋1，∴f(－x)＋f(x)＝2，
∵f(b)＝2，∴f(－b)＝0.
答案：A
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间． (共42张PPT)
5．5.2 简单的三角恒等变换
明确目标 发展素养
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但这三组公式不要求记忆). 1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养．
2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．半角公式：
续表
答案：(1)√ (2)× (3)√
答案：A
4．sin 15°sin 105°＝________.
2．化简三角函数式的基本思路
三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称．常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应满足以下几点：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．
[方法技巧] 三角恒等式证明的五种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同
比较法 设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
[方法技巧]
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
题型四 三角函数的实际应用
[探究发现]
(1)用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数范围的影响．
(2)建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
【学透用活】
[典例4] 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方
形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[方法技巧]
应用三角函数解决实际问题的方法及注意点
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意点 ①充分借助平面几何性质，寻找数量关系
②注意实际问题中变量的范围
③重视三角函数值的取值范围的影响
【对点练清】
1．在本例4条件下，求长方形面积的最大值．(共33张PPT)
5．1.2 弧度制
明确目标 发展素养
1.了解任意角的弧度制．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
4.了解角度制与弧度制的区别与联系. 1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．
2.借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.
知识点一 角度制与弧度制
(一)教材梳理填空
1．度量角的两种制度：
角度制 定义 用 为单位进行度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以 为单位来度量角的单位制
1弧度
的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
1弧度记作1 ____
度
弧度
半径长
rad
2.弧度数：
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
由于进位制不同，同一个角的弧度数与角度数一般是不同的．
[微思考] (1)半径不同的圆中，相同的圆心角所对的弧度数是否相同？
提示：相同．角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
(2)2°与2弧度的角是否表示同一个角？
提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad约为115°.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
5．一些特殊角与弧度数的对应关系：
0
2π
60°
180°
答案：C
知识点二 扇形的弧长和面积公式
(一)教材梳理填空
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
(2)扇形面积公式：S＝ ＝ .
αR
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)． ( )
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． ( )
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
题型一 角度与弧度的换算
【学透用活】
角与实数的对应
(1)角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的一个实数(如这个角的度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(如弧度数或角度数等于这个实数的角)与它对应．
(2)由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便．
题型二 用弧度制表示角有关的角
【学透用活】
[典例2] 已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
[方法技巧]
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
3．用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用．
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，
并判断2 012°是不是这个集合的元素．
【学透用活】
[典例3] 已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
[方法技巧]
1．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
2 ．扇形弧长、面积公式的变形运用
3 ．谨记3个注意点
(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)看清角的度量制，选用相应的公式.
(3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.
【对点练清】
答案：450π(共32张PPT)
第二课时 诱导公式五、六
明确目标 发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法．
2.能够准确记忆公式五和公式六．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明. 1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．
2.通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
1．诱导公式五和公式六：
正弦函数
余弦函数
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角． ( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α. ( )
(3)cos(270＋30°)＝sin 30°. ( )
答案：(1)× (2)× (3)√
答案：CD
3．sin 95°＋cos 175°的值为 ( )
A．sin 5° B．cos 5° C．0 D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°
＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°
＝0.
答案：C
4．计算：sin211°＋sin279°＝________.
解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.
答案：1
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口诀和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：
[方法技巧]
1.求值问题中角的转化方法
2．用诱导公式进行化简的要求
三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：
(1)化简后项数尽可能地少．
(2)函数的种类尽可能地少．
(3)分母不含三角函数的符号．
(4)能求值的一定要求值．
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[方法技巧]
证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
[方法技巧]
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形．
二、应用性——强调学以致用
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始
位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿
正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，求P的坐标．
[析题建模]
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．(1)已知f(sin x)＝cos x，求f(cos x)；
(2)已知f(sin x)＝cos 17x，求f(cos x)；
(3)请同学们试探究以下式子成立的条件．
①对于怎样的整数k，能由f(sin x)＝cos kx推出f(cos x)＝sin kx成立？说明理由．
②对于怎样的整数k，能由f(cos x)＝cos kx推出f(sin x)＝sin kx成立？说明理由．
③对于怎样的整数k，能由f(sin x)＝sin kx推出f(cos x)＝cos kx成立？说明理由．(共32张PPT)
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
明确目标 发展素养
1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用．
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 1.通过理解函数的周期性，培养逻辑推理和数学抽象素养．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做f(x)的 ．
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
非零常数T
正数
正数
最小正周期
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性：
[微思考] (1)所有的函数都具有周期性吗？
提示：并不是每一个函数都是周期函数．
(2)周期函数的周期是唯一的吗？
提示：若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 _____ _____
奇偶性 _______ _______
2π
2π
奇函数
偶函数
答案：(1)× (2)× (3)×
3．函数y＝3sin x＋5的最小正周期是________．
解析：设f(x)＝3sin x＋5，x∈R.
因为f(x＋2π)＝3sin(x＋2π)＋5＝3sin x＋5＝f(x)，
所以y＝3sin x＋5的最小正周期是2π.
答案：2π
4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2 021，则f(2)＝________.
解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数，
所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2 021.
答案：2 021
题型一 三角函数的周期
【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x.
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
2．对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明
(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
(2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
题型二 正弦、余弦函数的奇偶性
【学透用活】
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
[方法技巧]
判断函数奇偶性的思路
提醒：判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
【对点练清】
1．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是 ( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是奇函数
C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
题型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用
[探究发现]
(1)你能举例说明怎样的三角函数具有奇偶性吗？
提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcos x等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．
(2)若函数y＝f(x)是周期T＝4的周期函数，也是奇函数，则f(8)的值是多少？
提示：f(8)＝f(0＋4×2)＝f(0)＝0.(共41张PPT)
第五章 三角函数
5．1 任意角和弧度制
5．1.1 任意角
明确目标 发展素养
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念．
2.掌握终边相同角的含义及其表示．
3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法. 1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．
2.借助任意角的理解，培养数学抽象素养．
3.借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.
知识点一 任意角的概念
(一)教材梳理填空
1．角的概念：
角可以看成平面内 绕着它的 旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：
(1)始边：射线的 位置OA.
(2)终边：射线的 位置OB.
一条射线
端点
起始
终止
(3)顶点：射线的端点O.
(4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“ ”．“角α”或“∠α”可简记为“α”．
3．角的分类：
按旋转方向可分为三类：
∠AOB
4．角的加法与减法：
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.
(2)α－β：α－β＝ ．
－α
终边
α＋(－β)
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)大于90°的角都是钝角． ( )
(2)零角的终边与始边重合． ( )
(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为 ( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
答案：A
知识点二 象限角与终边相同的角
(一)教材梳理填空
1．象限角：
(1)象限角的概念：我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 ___________ .
如果角的终边在 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
坐标原点
x轴的非负半轴
第几象限角
坐标轴
(2)象限角的集合表示：
[微思考] “锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
提示：锐角是第一象限角，也是大于0°且小于90°的角；而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角；小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
象限角 角的集合表示
第一象限角 _________________________________
第二象限角 {x|90°＋k·360°＜x＜180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限角 {x|180°＋k·360°＜x＜270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限角 __________________________________________
{x|k·360°＜x＜90°＋k·360°，k∈Z}
{x|270°＋k·360°＜x＜360°＋k·360°，k∈Z}
2．终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|_____________________}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
β＝α＋k·360°，k∈Z
3．轴线角的集合：
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
[微思考] 定义或求象限角、终边相同的角的前提条件是什么？
提示：定义或求象限角、终边相同的角时，必须注意前提条件：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)第二象限角大于第一象限角． ( )
(2)第二象限角是钝角． ( )
(3)相等的角终边一定相同． ( )
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． ( )
答案：(1)× (2)× (3) √ (4)√
2．与45°角终边相同的角是 ( )
A．－45° B．225°
C．395° D．－315°
解析：因为45°＝－315°＋360°，所以与45°角终边相同的角是－315°.
答案：D
3．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z) ( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
解析：∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.
答案：B
4．已知0°≤α＜360°，且α与800°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
解析：因为800°＝360°×2＋80°，所以80°角与800°角的终边相同，且0°≤80°＜360°，故α＝80°，它是第一象限角．
答案：80° 一
题型一 任意角的概念及应用
【学透用活】
1．角的概念的推广
(1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角．
(2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．
2．用旋转来描述角时需要注意的三个要素
(1)旋转中心：射线旋转时绕的端点．
(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正、负数来表示，那么许多问题就可以解决了．
(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.于是就会出现720°，－540°等角度．
[典例1] (1)(多选)下列说法正确的是 ( )
A．锐角都是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°；②855°；③－510°.
[解析] (1)锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；因为在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
答案： (1) AD
(2)作出各角的终边，如图所示：
由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
[方法技巧]
1．理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的两种判定方法
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
[提醒] 理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
【对点练清】
1．给出下列说法：
①终边在y轴非负半轴上的角是直角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③三角形的内角必是第一、二象限角；
④第四象限角一定是负角；
⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}．
其中正确说法的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________.
解析：如图，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD
＝(－80°)＋250°＋(－270°)
＝－100°.
答案：－100°
题型二 终边相同的角的表示及应用
【学透用活】
对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下几点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
[典例2] 在与10 030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最大的负角；(2)－360°～720°范围内的角．
(2)由－360°≤10 030°＋k·360°<720°，
得－10 390°≤k·360°<－9 310°.
又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26.
当k＝－28时，β＝10 030°－28×360°＝－50°；
当k＝－27时，β＝10 030°－27×360°＝310°；
当k＝－26时，β＝10 030°－26×360°＝670°.
故所求的角β的值为－50°，310°，670°.
[方法技巧]
1．在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法
求在某个范围内与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后由k·360°＋α(k∈Z)在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．或者采用赋值法求解，看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角．
2．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
【对点练清】
1．与－463°终边相同的角可以表示为 ( )
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
解析：因为－463°＝257°－2×360°，所以与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．
答案：C
2．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
题型三 区间角的表示
[探究发现]
(1)若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D(包括边界)的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
(2)若角α与β的终边关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：①关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
②关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
③关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
④关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【学透用活】
[典例3] 已知如图所示的图形．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有在－30°～135°范围内的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[方法技巧]
1．象限角的判定方法
(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为在0°～360°范围内的角与直角坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到在0°～360°范围内．在直角坐标系内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
2．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的在－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
【对点练清】
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)
表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可
表示为150°≤β ≤225°，则所有满足条件的角β为
{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
2.[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分
(实线包括边界)的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β ＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜
k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β ＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β ＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β ＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β ＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
问题1：你能用另一种方法验证上述解法的正确性吗？
问题4：通过以上问题的求解方法，你能得出什么结论？
二、应用性——强调学以致用
一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，
若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬
过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两
只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β
的值．
[析题建模] (共43张PPT)
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
明确目标 发展素养
1.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．
2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养．
2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响：
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响：
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响：
答案：(1)× (2)× (3)×
答案：D
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A的值为 ( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
解析：因为A>0，所以当sin(ωx＋φ)＝1时，ymax＝A＋1＝5，所以A＝4.
答案： C
4．函数y＝sin x＋1的对称中心坐标为________．
解析：函数y＝sin x＋1的对称中心坐标为(kπ，1)，k∈Z.
答案：(kπ，1)，k∈Z
[答案] B
[方法技巧]
三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
[方法技巧]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
第一步，列表.
第二步，在同一坐标系中描出各点．
第三步，用光滑曲线连接这些点，形成图象．
题型四 三角函数图象与性质的综合应用
[探究发现]
(1)什么样的两个三角函数的图象能够重合？
提示：两个函数的解析式完全相同或在两个角φ1，φ2的差为2kπ(k∈Z)．
(2)若f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)具有奇偶性，则φ应满足怎样的关系？
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间来求函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
π(共33张PPT)
第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
明确目标 发展素养
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 1.通过求三角函数的值域(最值)，培养数学运算素养．
2.通过三角函数单调性及应用，培养数学运算和逻辑推理素养．
3.结合函数图象解题，提升直观想象素养.
(一)教材梳理填空
正弦函数 余弦函数
图象
值域 _______ _______
[－1,1]
[－1,1]
续
表
[微思考] 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法正确吗？为什么？
答案：(1)× (2)× (3)√
答案：C
3．函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________.
解析：因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝－1时，ymax＝－2×(－1)＝2.
此时x＝2kπ＋π，k∈Z.
答案：2 2kπ＋π，k∈Z
答案：<
[方法技巧]
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步，写出基本函数y＝sin x或y＝cos x的相应单调区间；
第二步，将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步，解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
[方法技巧]
三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定． (共30张PPT)
第二课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
明确目标 发展素养
1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．
2.通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C(α－β) cos(α－β)＝
____________________ α，β∈R
两角和的余弦 C(α＋β) cos(α＋β)＝
____________________ α，β∈R
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝
____________________ α，β∈R
cos α·cos β＋sin αsin β
cos α·cos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
续表
答案：(1) √ (2) √ (3) × (4)√ (5)× (6)√
答案：B
答案：A
题型一 给角求值
【学透用活】
1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法
(1)正用：把sin(α±β)从左向右展开．
(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用．
(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．
[方法技巧]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次要注意角是否满足要求．
(3)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(4)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自苏教版新教材]
如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物
AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB
和CD的底部之间的距离BD.
[析题建模] 作AE⊥CD于点E，有BD＝AE.设AE为x，只需建立关于x的方程即可．
解：如图，作AE⊥CD于点E.
因为AB∥CD，AB＝9 m，CD＝15 m，
所以DE＝9 m，EC＝6 m.(共27张PPT)
5.7 三角函数的应用
明确目标 发展素养
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．
2.实际问题抽象为三角函数模型. 1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．
2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.
(一)教材梳理填空
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义：
2．三角函数模型的作用：
三角函数作为描述现实世界中 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画 规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
3．三角函数模型解决实际问题的步骤：
我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“ ”、观察 ，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个 来解决相应的实际问题．
周期现象
周期变化
散点图
散点图
函数模型
答案：(1)× (2)× (3)√
答案：D
答案：0.04
4．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分)，则此人每分钟心跳的次数为________．
答案：80
题型一 三角函数模型的简单实际应用
【学透用活】
[典例1] 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[方法技巧] 解三角函数应用问题的基本步骤
[方法技巧]
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
解：列表：
题型三 数据拟合模型的应用
【学透用活】
[典例3] 某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：
经长期观测，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
[方法技巧]
处理数据拟合和预测问题的4个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
[对点练清]
下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8(共26张PPT)
5．5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
明确目标 发展素养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．
2.理解导出公式的主要步骤．
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．
2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
公式 cos(α－β)＝____________________
简记符号 C(α－β)
适用条件 公式中的角α，β都是任意角
公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
cos αcos β＋sin αsin β
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)cos(45°－30°)＝cos 45°－cos 30°. ( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立． ( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立． ( )
(4)cos 30°cos 120°－sin 30°sin 120°＝0. ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4) ×
4．若sin αsin β＝m，cos αcos β＝n，则cos(α－β)＝________.
答案：n＋m
(3)公式的“活”用
公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
[典例1] 求下列各式的值：
(1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
(2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
(3)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°.
[方法技巧]
运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式
特征．
(3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
题型二 给值(式)求值问题
[探究发现]
(1)若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
(2)利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
[方法技巧]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角． (共28张PPT)
5．3 诱导公式
第一课时 诱导公式二、三、四
明确目标 发展素养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．
2.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．
3.发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系. 1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．
2.通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空
1．诱导公式二：
(1)角π＋α与角α的终边关于 对称，如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝ ，
cos(π＋α)＝ ，
tan(π＋α)＝ .
原点
－sin α
－cos α
tan α
2．诱导公式三：
(1)角－α与角α的终边关于 轴对称，如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝ ，
cos(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .
3．诱导公式四：
(1)角π－α与角α的终边关于 轴对称，如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝ ，
cos(π－α)＝ ，
tan(π－α)＝ .
x
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
y
[微思考] 在△ABC中，你认为sin A与sin(B＋C)，cos A与cos(B＋C)之间有什么关系？
提示：由A＋B＋C＝π，得A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( )
(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角． ( )
(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
答案：B
答案：ACD
题型一 直接应用公式求值
【学透用活】
对诱导公式一～四的理解
(1)在角度制和弧度制下，公式都成立．
(2)公式中的角α可以是任意角，其形式也不固定，可以是单角也可以是复角．如sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，应用时要注意整体把握．
(3)公式中的角α可以是任意角，但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的．
(4)公式一～四的记忆口诀和说明：
①口诀：函数名不变，符号看象限．
②说明：如
[方法技巧] 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[方法技巧] 解决条件求值问题的两技巧
[提醒] 设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
题型三 化简求值问题
[探究发现]
(1)利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
(2)利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
[方法技巧] 三角函数式化简的常用方法
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．对于任意角α有sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)，具体推导过程如下：当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ＋α)＝sin(2kπ＋α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z)；当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ＋α)＝sin(2kπ＋π＋α)＝－sin α＝(－1)2k＋1sin α(k∈Z)．
综上，对任意角α有sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)．
根据以上推导过程，你能推导下列各式的结果吗？
(1)cos(nπ＋α)＝____________；
(2)sin(nπ－α)＝____________；
(3)cos(nπ－α)＝____________.(共37张PPT)
5．2.2 同角三角函数的基本关系
(一)教材梳理填空
同角三角函数的基本关系：
1
1
tan α
α的正切
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
答案：A
答案：C
4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.
[方法技巧]
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限．
(2)对角所在象限进行分类讨论．
(3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值．
(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值．
[方法技巧]
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等．
(2)原则：由繁到简、变异为同．
题型三 同角三角函数基本关系式的灵活运用
【学透用活】
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系：
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ与sin θcos θ三个式子，可以由其中一个，求出另外两个的值．
[深化探究]
sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号怎样判断？
提示：(1)sin θ－cos θ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sin θ＝cos θ，即sin θ－cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sin θ＞cos θ，即sin θ－cos θ＞0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0.如图①所示．
(2)sin θ＋cos θ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝－x上时，sin θ＝－cos θ，即sin θ＋cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝－x的上半平面区域内时，sin θ＞－cos θ，即sin θ＋cos θ＞0；当θ的终边落在直线y＝－x的下半平面区域内时，sin θ＜－cos θ，即sin θ＋cos θ＜0.如图②所示．
[方法技巧]
已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所
示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数
关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，
即cos αsec α＝1，sin αcsc α＝1，tan αcot α＝1.
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
