河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期质检联盟第一次月考（3月）数学试题（含解析）

邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期质检联盟第一次月考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第六章。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．2 B．1 C．8 D．4
2．崆山白云洞位于河北省邢台市临城县境内，是崆山白云洞风景区的主要景点．崆山白云洞是全球同纬度最大的溶洞，洞内四季恒温17℃．甲游客去崆山白云洞旅游，计划从5种洞厅模型和8种溶洞石头模型中任选1种购买，则不同的选法共有（ ）
A．40种 B．13种 C．20种 D．3种
3．的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
4．为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的2700名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这2700名观众中男、女人数之比为，若样本容量为135，则不同的抽样结果共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（ ）
A．3600种 B．2400种 C．360种 D．240种
7．已知函数的导函数为，且，则必有（ ）
A．为增函数 B．为增函数
C．为减函数 D．为减函数
8．将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
9．如图1，现有一个底面直径为，高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
二、选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
10．若函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．若各项的二项式系数之和为32，则（ ）
A．的展开式共有5项 B．
C．的展开式的常数项为40 D．的展开式的第5项的系数为5
12．已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（ ）
A．在上单调递减 B．1是的极大值点
C．的零点是0和2 D．不等式的解集为
13．平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ）
A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线可以构成140条射线
C．这两组平行线可以构成525条线段 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形
14．设，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
15．曲线在点处的切线的斜率为______．
16．已知某圆上有8个不同的点，每过4个点画一个圆内接四边形，则圆内接四边形的个数为______．
17．函数的极小值点为______，极大值为______．
18．若函数在上单调递增，则的最大值为______．
19．被17除的余数为______．
四、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．（12分）
已知，且．
（1）求；
（2）若，求．
21．（12分）
已知函数．
（1）若第一象限内的点在曲线上，求到直线的距离的最小值；
（2）求曲线过点的切线方程．
22．（13分）
如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
（1）要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（2）要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（3）要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
23．（13分）
已知函数有两个不同的极值点．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期质检联盟第一次月考
数学参考答案
1．D 由题意得，所以．
2．B 不同的选法共有种．
3．C 系数最大的项是第13项．
4．B 在这2700名观众中，男观众的人数为，女观众的人数为．在被抽取的135名观众中，男观众的人数为，女观众的人数为．故不同的抽样结果共有种．
5．A由题意得，当时，单调递减，当时，，单调递增，所以．因为，所以．故所求的值域为．
6．A 先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，共有种排法．
7．D 因为，所以，则，则，所以为减函数．
8．C 第一种情况，将五个小球按1，1，3分为三组，则安排的方法有种；第二种情况，将五个小球按1，2，2分为三组，则安排的方法有种．故不同的放法数为18．
9．C 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得．
因为，所以当时，，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为．
10．BC 由题意得，令，得，
则，所以．
11．BC 由，得，则的展开式共有6项，的展开式的常数项为的展开式的第5项的系数为．
12．BCD 由图可知，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，1是的极大值点，A错误，B正确．的单调递增区间为，单调递减区间为，当或时，，当时，，C正确．由，得或得或，D正确．
13．ACD 由题意得这两组平行线相交有个交点，A正确．一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，B错误．10条平行线中的每一条有条线段，7条平行线中的每一条有条线段，则可以构成条线段，C正确．10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，则可以构成个平行四边形，D正确．
14．ACD 由，得，由，，得，，所以，即．当时，，则，所以在上单调递增，得，即．记，则，所以在上单调递增，得，即．故当时，，则，因为，所以，得，则，得．
15．6 因为，所以曲线在点处的切线的斜率为．
16．70 由题意得圆内接四边形的个数为．
17．；18 ．令，得；令，得或．所以在处取得极小值，在处取得极大值，且极大值为．
18． 由题意得，因为，所以恒成立，即．
19．15 由题意得，因为
，所以所求的余数为15．
20．解：（1）令，则，
得．
由题意得，
得．
（2）由得
令，得，①
令，得，②
①+②，得，
所以．
21．解：（1）设，由题意得，
当曲线在的切线与平行时，到的距离最小，此时，
得，即．
故到的距离的最小值为．
（2）设所求切线的切点为，由（1）得，则，得，
所以切点为，切线的斜率为．
故所求的切线方程为，即．
22．解：（1）共有种不同的种植方案．
（2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案；
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案．
所以共有种不同的种植方案．
（3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花．
第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案．
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案．
第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花．故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案．
第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案．
综上，共有种不同的种植方案．
23．（1）解：由题意得的定义域为，
当时，在上单调递增，不存在两个不同的零点，即没有两个不同极值点，不符合题意．
当时，由，得，令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
当时，，当时，，所以，即．
（2）证明：因为，所以．
由，得，则，
即．
令，得，所以在上单调递减，在上单调递增．
令，则，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即．
由，得，则．
因为在上单调递增，所以．