2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.3 平行线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
2．如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2的度数为 （ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
3．（2024八上·榆阳期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB∥CD，则图中与∠1相等的角有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x，y，z三者之间的关系是 （ ）
A．x+y+z=180° B．x-z=y C．y-x=z D．y -x=x-z
7．（2024八上·靖边期末）如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
8．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
二、填空题
9．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
10．如图，由AB∥CD，可得∠B+ =180°，理由是
11．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线之间，∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M.C若∠EGH=82°，∠HFD=20°，则∠M的度数为 °.
12．如图，点E，O，F 在同一条直线上，若AB∥EO，OF∥CD，则∠2+∠3-∠1= °.
13．如图1所示为一架消防云梯，它由救援台 AB、延展臂BC(点B在点C 的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF 构成，在作业过程中，救援台 AB、车身GH 及地面MN 三者始终保持水平.现为参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，且∠EFH=69°，则这时∠ABC= °.
三、解答题
14．如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，有什么办法量出这两条直线所成的角的度数
（1）请在图2的画板上画出你的测量方案图，并做简要说明.
（2）写出该画法依据的定理：
15．三角尺是学习数学的重要工具，将一副三角尺（∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，且∠ACE<90°，点E在直线AC 的上方，解决下列问题：
（1）①若∠DCE=45°，求∠ACB的度数.
②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数.
（2）由（1）猜想∠ACB 与∠DCE的数量关系，并说明理由.
（3）这两块三角尺是否存在一组边互相平行？ 若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值；若不存在，请说明理由.
四、综合题
16．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
17．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等解得∠EBC=25°，再根据角的和差解答即可．
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b， ∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∴∵∠2与∠3时对顶角，
∴∠1＝∠2=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再根据对顶角相等即可求出∠2的度数．
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵于点P ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质：两直线平行，同位角相等，结合余角的性质，计算求解即可．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3（二直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴图中与∠1相等得角有3个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3，再由对顶角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，从而可得答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠AHE=x，
∵CD//EF，AB//EG，
∴∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，
∴∠ABC=∠DEG，即x=z+y，
∴x-z=y.
故答案为：B．
【分析】延长AB交DE于H，依据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠AHE=x，由两直线平行，内错角相等得∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，即可得到∠ABC=∠DEG，即x=z+y，进而得到x-z=y．
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过G作，如图所示：
则，
∴，，
∵，
∴，则，
∵的平分线与的平分线交于点 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：C.
【分析】先过G作，可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到相关角的度数，进行计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
9．【答案】60
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ ∠2：∠3=1：2 ，
∴∠3=2∠2，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由邻补角及已知可求出∠2=60°，进而根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
10．【答案】∠C；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：∠C，两直线平行，同旁内角互补.
【分析】直接根据两直线平行，同旁内角互补，可得答案.
11．【答案】31
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：31.
【分析】过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，则然后根据角平分线的定义得到进而即可求解.
12．【答案】180
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：180.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义得到进而即可求解.
13．【答案】159
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，如图：
∵
∴
∵延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，
∴
∴
故答案为：159.
【分析】延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，根据平行线的性质得到再结合题意得到进而根据三角形外角的性质即可求解.
14．【答案】（1）解：如图：过点P作直线c∥a，测量出∠1的度数即可解决此题；
（2）两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（2）由作图知c∥a，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
故答案为：两直线平行，同位角相等.
【分析】（1）过点P作直线c∥a，量出直线b和c的夹角即可；
（2）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等.
15．【答案】（1）解：①∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=140°-90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA-∠ACE=90°-50°=40°.
（2）解：∠ACB与∠DCE 互补.理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，
又∵∠ECB=90°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°-∠DCE+90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°+90°-∠DCE+∠DCE=180°，
即∠ACB与∠DCE互补.
（3）解：存在.∠ACE=45°或∠ACE=30°.理由如下：
当AC∥BE时，
此时∠ACE=∠E=45°，
当AD∥BC时，
此时∠A+∠ACB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
则∠ACE=∠ACB-∠ECB=120°-90°=30°.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】（1）①根据题意求出∠ACE=45°；结合图形计算即可求解；
②根据题意求出∠ACE=50°；结合图形计算即可求解；
（2）根据题意求出∠ACE=90°-∠DCE，∠ACB=90°-∠DCE+90°，即可推得ACB+∠DCE=180°，即可求解；
（3）分情况讨论，当AC∥BE时，根据两直线平行，内错角相等即可推得∠ACE=∠E=45°；当AD∥BC时，根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠ACB=120°，即可求得∠ACE=30°.
16．【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
17．【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.3 平行线的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等解得∠EBC=25°，再根据角的和差解答即可．
2．如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2的度数为 （ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b， ∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∴∵∠2与∠3时对顶角，
∴∠1＝∠2=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再根据对顶角相等即可求出∠2的度数．
3．（2024八上·榆阳期末）如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵于点P ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质：两直线平行，同位角相等，结合余角的性质，计算求解即可．
4．如图，已知AB∥CD，则图中与∠1相等的角有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3（二直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴图中与∠1相等得角有3个.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3，再由对顶角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，从而可得答案.
5．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
6．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x，y，z三者之间的关系是 （ ）
A．x+y+z=180° B．x-z=y C．y-x=z D．y -x=x-z
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠AHE=x，
∵CD//EF，AB//EG，
∴∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，
∴∠ABC=∠DEG，即x=z+y，
∴x-z=y.
故答案为：B．
【分析】延长AB交DE于H，依据两直线平行，同位角相等得∠ABC=∠AHE=x，由两直线平行，内错角相等得∠D=∠DEF=z，∠AHE=∠DEG=z+y，即可得到∠ABC=∠DEG，即x=z+y，进而得到x-z=y．
7．（2024八上·靖边期末）如图，，的平分线与的平分线交于点 ，当时，的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过G作，如图所示：
则，
∴，，
∵，
∴，则，
∵的平分线与的平分线交于点 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
故答案为：C.
【分析】先过G作，可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到相关角的度数，进行计算求解即可.
8．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
二、填空题
9．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
【答案】60
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵ ∠2：∠3=1：2 ，
∴∠3=2∠2，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由邻补角及已知可求出∠2=60°，进而根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
10．如图，由AB∥CD，可得∠B+ =180°，理由是
【答案】∠C；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：∠C，两直线平行，同旁内角互补.
【分析】直接根据两直线平行，同旁内角互补，可得答案.
11．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线之间，∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M.C若∠EGH=82°，∠HFD=20°，则∠M的度数为 °.
【答案】31
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵∠AEG和∠GHF的平分线相交于点M，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：31.
【分析】过点G、M、H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，则然后根据角平分线的定义得到进而即可求解.
12．如图，点E，O，F 在同一条直线上，若AB∥EO，OF∥CD，则∠2+∠3-∠1= °.
【答案】180
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：180.
【分析】根据平行线的性质得到进而根据平角的定义得到进而即可求解.
13．如图1所示为一架消防云梯，它由救援台 AB、延展臂BC(点B在点C 的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF 构成，在作业过程中，救援台 AB、车身GH 及地面MN 三者始终保持水平.现为参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，且∠EFH=69°，则这时∠ABC= °.
【答案】159
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，如图：
∵
∴
∵延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，
∴
∴
故答案为：159.
【分析】延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，根据平行线的性质得到再结合题意得到进而根据三角形外角的性质即可求解.
三、解答题
14．如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，有什么办法量出这两条直线所成的角的度数
（1）请在图2的画板上画出你的测量方案图，并做简要说明.
（2）写出该画法依据的定理：
【答案】（1）解：如图：过点P作直线c∥a，测量出∠1的度数即可解决此题；
（2）两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（2）由作图知c∥a，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
故答案为：两直线平行，同位角相等.
【分析】（1）过点P作直线c∥a，量出直线b和c的夹角即可；
（2）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等.
15．三角尺是学习数学的重要工具，将一副三角尺（∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，且∠ACE<90°，点E在直线AC 的上方，解决下列问题：
（1）①若∠DCE=45°，求∠ACB的度数.
②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数.
（2）由（1）猜想∠ACB 与∠DCE的数量关系，并说明理由.
（3）这两块三角尺是否存在一组边互相平行？ 若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=140°-90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA-∠ACE=90°-50°=40°.
（2）解：∠ACB与∠DCE 互补.理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，
又∵∠ECB=90°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°-∠DCE+90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°+90°-∠DCE+∠DCE=180°，
即∠ACB与∠DCE互补.
（3）解：存在.∠ACE=45°或∠ACE=30°.理由如下：
当AC∥BE时，
此时∠ACE=∠E=45°，
当AD∥BC时，
此时∠A+∠ACB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
则∠ACE=∠ACB-∠ECB=120°-90°=30°.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】（1）①根据题意求出∠ACE=45°；结合图形计算即可求解；
②根据题意求出∠ACE=50°；结合图形计算即可求解；
（2）根据题意求出∠ACE=90°-∠DCE，∠ACB=90°-∠DCE+90°，即可推得ACB+∠DCE=180°，即可求解；
（3）分情况讨论，当AC∥BE时，根据两直线平行，内错角相等即可推得∠ACE=∠E=45°；当AD∥BC时，根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠ACB=120°，即可求得∠ACE=30°.
四、综合题
16．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
17．（2023七下·敦化期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
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