2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.3 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·公主岭期末）如图，AB∥CD，∠B＝60°，点C在BE上，下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠120° B．∠BCD＝120°
C．∠D＝60° D．∠DCE＝120°
2．（2024七上·南关期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，下列命题错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
4．（2023·娄底模拟） 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·无为月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
7．（2023七下·渝中期末）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022八上·锦江开学考）如图，，，平分，平分，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE.若. =30°，则 z= °.
10．如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD于点E，F.∠BEF 的平分线交CD 于点G.若∠EFG=52°，则∠EGF 的度数为 °.
11．（2023八上·丰南期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．
12．（2023八上·江北开学考）两块不同的三角板按如图所示摆放，边重合，，接着如图保持三角板不动，将三角板绕着点按顺时针以每秒的速度旋转后停止在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
13．（2023七下·长沙期末）如图
（1）如图一，，，，则 ．
（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．
三、解答题
14．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线GH∥MN，现将三角尺ABC绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺 DEF 绕点D 以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t秒，如图2，易知∠BAH=t°，∠FDM=2t°.若0≤t≤150，边 BC 与边 DE 平行，求满足条件的t的值.
15．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°，∠B=30°，∠ECD=∠EDC=45°，∠ACB=∠E=90°)，将三角尺ABC绕点C按顺时针方向慢慢转动，转过180°后停止转动．
（1）当∠ACE=125°，∠BCD= ．
（2）①当AB与CE平行时，求三角尺ABC转过的度数．
②在三角尺ABC转动的过程中，这两把三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出平行时三角尺ABC所有可能转过的度数(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
17．（2023七下·岳池期末）如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1）填空： （填“”“”或“=”）．
（2）如图2，的平分线交直线于点．
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠B=60°，
∴∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，再逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AD//BC，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3-90°=20°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得∠3=∠1=70°，再利用角的运算求出∠2=180°-∠3-90°=20°即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 如果，那么，正确，故不符合题意；
B、如果，那么， 错误，故符合题意；
C、如果，那么， 正确，故不符合题意；
D、如果，那么， 正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB//CD，AC//BD，
∴∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-∠1=180°-122°=58°，
∴∠2=∠CAB=58°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，再求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意得到，再结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，也要熟练掌握三角形外角定理和内角和定理，方便计算。
8．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
，
，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
∵
，，
．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得，利用平行线的性质可得，，结合∠BED=110°， 可求出，由角平分线的定义可得，，从而求出，由平行线的性质得，，可得，即可求解．
9．【答案】20
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长AB交DE于H，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：20.
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质得到：进而列出方程 即可求解.
10．【答案】64
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
又∵∠EFG=52°，
∴∠BEF=180°-52°=128°；
∵EG平分∠BEF，
∴；
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠BEG=64°；
故答案为：64.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠BEF=128°；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠BEG=64°；根据两直线平行，内错角相等即可求解.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意进行运算得到，，进而根据平行线的性质即可求解。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知①当AB∥A'C时如图②，∠ACA’=45°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t==，
∴此时t=
②当A'D∥AC时如图②，∠ACA'=30°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t== ，
∴t=，
③如图
当A'D∥AB时，∠CEA'+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CEA'=90°，
又∵∠CA'D=30°，
∴∠A'CE=60°，
∵∠ACB=45°，∠BCE=180°，
∴∠ACA'=75°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t = =，
∴此时 t=，
④如图
当AB∥CD'时，∠ABC=∠BCD'=90°，
∵∠ACD'=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACA'=135°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t==，
故答案为：、、或 .
【分析】此题分四种情况讨论：①当AB∥A'C时；②当A'D'∥AC时；③当A'D'∥AB；④AB∥CD时分别求出∠ACA'的度数，再除以每秒12°即可.
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°，
故答案为：100°；
（2）过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH，
∵，，
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=，
∴，
∵，分别平分和，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB+，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，再利用角的运算求出∠DEB的度数即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，再结合∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，利用角的运算和等量代换可得∠DQB+，再求出即可.
14．【答案】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，
（1）如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，
∴t=30，
②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°，
∴t=210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN=180°-2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC=90°，
即180°-2t°+t°+30°=90°，
∴t=120，
∴2t=240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC=∠NDF，
∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°，
即2t°-180°=t°-60°，
∴t=120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【知识点】平行线的性质；数学思想；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意得∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN=180°-2t°，②DF在MN下方时，∠FDN=180°-2t°，列式求解即可．
15．【答案】（1）10°
（2）解：设三角尺转过的度数为x，
①第一种情况：AB在CE的上方时，
∵AB∥CE，
∴∠BCE=∠B=30°，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCD=45°-30°=15°，即x=15°；
第二种情况：AB在CE的下方时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠A=60°，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCD=360°-90°-45°-60°=165°，即x=165°，
综上所述， 当AB与CE平行时 ，三角尺ABC转过的度数为15°或165°；
②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边，
当AC∥DE时，如图，
∠BCD=∠DCE=45°，即x=45°；
当AB∥DE时，如图，
∴∠AFC=∠E=90°，
∴∠ACE=90°-∠A=30°，
∴∠ACD=45°-30°=15°，
∴∠BCD=90°+15°=105°，即x=105°；
当BC∥DE时，如图，
∴∠BCD=90°+45°=135°，即x=135°；
当AB∥CD时，如图，
∴∠DCA=∠BAC=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=150°，x=150°，
综上所述，还存在互相平行的边，x为45°或105°或135°或150°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠ECD=45°，
∴∠ACB+∠ECD=135°，
∴∠BCD=135°-∠ACE=135°-125°=10°；
故答案为：10°；
【分析】（1）先求出∠ACB+∠ECD=135°，再根据∠BCD=135°-∠ACE即可算出结果；
（2）设三角尺转过的度数为x，①分类讨论，第一种情况：AB在CE的上方时，第二种情况：AB在CE的下方时，分别由平行线的性质即可求解；②分类讨论：当AC∥DE时，当AB∥DE时，当BC∥DE时，当AB∥CD时，分别画出图形，进而根据平行线的性质可求解.
16．【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
17．【答案】（1）=
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
②或
如图2，当点在点的右侧时，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点P作PQ//AB，如图：
∵，PQ//AB，
∴CD//PQ//AB，
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，
∵∠P=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠P=∠PNB+∠PMD，
故答案为：=.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，再利用角的运算和等量代换可得∠P=∠PNB+∠PMD；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再结合平行线的性质可得；
②分类讨论：（a）当点在点的右侧时，（b）当点在点的左侧时，再分别画出图象并利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求解即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.3 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024七上·公主岭期末）如图，AB∥CD，∠B＝60°，点C在BE上，下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠120° B．∠BCD＝120°
C．∠D＝60° D．∠DCE＝120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠B=60°，
∴∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠ECD=∠B=60°，∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°，再逐项分析判断即可.
2．（2024七上·南关期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AD//BC，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3-90°=20°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质可得∠3=∠1=70°，再利用角的运算求出∠2=180°-∠3-90°=20°即可.
3．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，下列命题错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】B
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 如果，那么，正确，故不符合题意；
B、如果，那么， 错误，故符合题意；
C、如果，那么， 正确，故不符合题意；
D、如果，那么， 正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.
4．（2023·娄底模拟） 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB//CD，AC//BD，
∴∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-∠1=180°-122°=58°，
∴∠2=∠CAB=58°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠CAB=∠2，∠CAB+∠1=180°，再求解即可.
5．（2023八上·无为月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意得到，再结合题意即可求解。
6．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
7．（2023七下·渝中期末）如图，已知，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】
∵ AM∥BN
∴ ∠ACB=∠CBN，
故 ① 正确；
∵ AM∥BN，∠A=64°
∴ ∠A+∠ABN=180°
∴ ∠ABN=116°
又∵ BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN
∴ ∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠PBD
∴ ∠ABN=∠ABP+∠PBN=2（CBP+∠PBD）=2∠CBD
∴ ∠CBD=58°，
故 ② 正确；
由①知：∠ACB=∠CBN，∴∠CBN≠∠ABN，
故 ③ 错误；
∵ AM∥BN
∴ ∠ADB=∠DBN
又 ∵ BD平分∠PBN
∴ ∠DBN=∠PBD
∴ ∠ADB=∠PBD
∴ ∠APB=∠ADB+∠PBD=2∠ADB
即∠APB：∠ADB=2：1
故 ④ 正确；
综上，正确结论的是①②④，共3个
故C正确。
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，也要熟练掌握三角形外角定理和内角和定理，方便计算。
8．（2022八上·锦江开学考）如图，，，平分，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
，
，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
∵
，，
．
故答案为：C．
【分析】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，根据平行公理的推论得，利用平行线的性质可得，，结合∠BED=110°， 可求出，由角平分线的定义可得，，从而求出，由平行线的性质得，，可得，即可求解．
二、填空题
9．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE.若. =30°，则 z= °.
【答案】20
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长AB交DE于H，如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：20.
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质得到：进而列出方程 即可求解.
10．如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB，CD于点E，F.∠BEF 的平分线交CD 于点G.若∠EFG=52°，则∠EGF 的度数为 °.
【答案】64
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
又∵∠EFG=52°，
∴∠BEF=180°-52°=128°；
∵EG平分∠BEF，
∴；
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠BEG=64°；
故答案为：64.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠BEF=128°；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠BEG=64°；根据两直线平行，内错角相等即可求解.
11．（2023八上·丰南期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意进行运算得到，，进而根据平行线的性质即可求解。
12．（2023八上·江北开学考）两块不同的三角板按如图所示摆放，边重合，，接着如图保持三角板不动，将三角板绕着点按顺时针以每秒的速度旋转后停止在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知①当AB∥A'C时如图②，∠ACA’=45°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t==，
∴此时t=
②当A'D∥AC时如图②，∠ACA'=30°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t== ，
∴t=，
③如图
当A'D∥AB时，∠CEA'+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CEA'=90°，
又∵∠CA'D=30°，
∴∠A'CE=60°，
∵∠ACB=45°，∠BCE=180°，
∴∠ACA'=75°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t = =，
∴此时 t=，
④如图
当AB∥CD'时，∠ABC=∠BCD'=90°，
∵∠ACD'=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACA'=135°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t==，
故答案为：、、或 .
【分析】此题分四种情况讨论：①当AB∥A'C时；②当A'D'∥AC时；③当A'D'∥AB；④AB∥CD时分别求出∠ACA'的度数，再除以每秒12°即可.
13．（2023七下·长沙期末）如图
（1）如图一，，，，则 ．
（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°，
故答案为：100°；
（2）过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH，
∵，，
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=，
∴，
∵，分别平分和，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB+，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，再利用角的运算求出∠DEB的度数即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，再结合∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，利用角的运算和等量代换可得∠DQB+，再求出即可.
三、解答题
14．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线GH∥MN，现将三角尺ABC绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺 DEF 绕点D 以每秒2°的速度顺时针旋转，设旋转时间为 t秒，如图2，易知∠BAH=t°，∠FDM=2t°.若0≤t≤150，边 BC 与边 DE 平行，求满足条件的t的值.
【答案】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，
（1）如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°，
∴t=30，
②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP=∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA=∠HAC，
∴∠FDP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°，
∴t=210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN=180°-2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC=90°，
即180°-2t°+t°+30°=90°，
∴t=120，
∴2t=240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN=2t°-180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC=∠NDF，
∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°，
即2t°-180°=t°-60°，
∴t=120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【知识点】平行线的性质；数学思想；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意得∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN=180°-2t°，②DF在MN下方时，∠FDN=180°-2t°，列式求解即可．
15．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°，∠B=30°，∠ECD=∠EDC=45°，∠ACB=∠E=90°)，将三角尺ABC绕点C按顺时针方向慢慢转动，转过180°后停止转动．
（1）当∠ACE=125°，∠BCD= ．
（2）①当AB与CE平行时，求三角尺ABC转过的度数．
②在三角尺ABC转动的过程中，这两把三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出平行时三角尺ABC所有可能转过的度数(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10°
（2）解：设三角尺转过的度数为x，
①第一种情况：AB在CE的上方时，
∵AB∥CE，
∴∠BCE=∠B=30°，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCD=45°-30°=15°，即x=15°；
第二种情况：AB在CE的下方时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠A=60°，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCD=360°-90°-45°-60°=165°，即x=165°，
综上所述， 当AB与CE平行时 ，三角尺ABC转过的度数为15°或165°；
②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边，
当AC∥DE时，如图，
∠BCD=∠DCE=45°，即x=45°；
当AB∥DE时，如图，
∴∠AFC=∠E=90°，
∴∠ACE=90°-∠A=30°，
∴∠ACD=45°-30°=15°，
∴∠BCD=90°+15°=105°，即x=105°；
当BC∥DE时，如图，
∴∠BCD=90°+45°=135°，即x=135°；
当AB∥CD时，如图，
∴∠DCA=∠BAC=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=150°，x=150°，
综上所述，还存在互相平行的边，x为45°或105°或135°或150°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠ECD=45°，
∴∠ACB+∠ECD=135°，
∴∠BCD=135°-∠ACE=135°-125°=10°；
故答案为：10°；
【分析】（1）先求出∠ACB+∠ECD=135°，再根据∠BCD=135°-∠ACE即可算出结果；
（2）设三角尺转过的度数为x，①分类讨论，第一种情况：AB在CE的上方时，第二种情况：AB在CE的下方时，分别由平行线的性质即可求解；②分类讨论：当AC∥DE时，当AB∥DE时，当BC∥DE时，当AB∥CD时，分别画出图形，进而根据平行线的性质可求解.
四、综合题
16．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
17．（2023七下·岳池期末）如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．
（1）填空： （填“”“”或“=”）．
（2）如图2，的平分线交直线于点．
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）=
（2）解：，，
，，
，
平分，
，
，
，
；
②或
如图2，当点在点的右侧时，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
；
如图3，当点在点的左侧时，
，
同理可得，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）过点P作PQ//AB，如图：
∵，PQ//AB，
∴CD//PQ//AB，
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，
∵∠P=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠P=∠PNB+∠PMD，
故答案为：=.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，再利用角的运算和等量代换可得∠P=∠PNB+∠PMD；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，再结合平行线的性质可得；
②分类讨论：（a）当点在点的右侧时，（b）当点在点的左侧时，再分别画出图象并利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求解即可.
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