2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.4 平行线的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·揭阳期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形是三角板)，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是（ ）
①∠B+∠BFE=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5.
A．② B．①③ C．①③④ D．②③④
3．下列图形中，根据∠1=∠2，能得到 AB∥CD 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线a，b被直线c所截，当∠1=∠2=48°时，直线a，b的位置关系是（ ）
A．a∥b B．a∥b C．a⊥b D．无法确定
5．（2024七上·榆树期末）如图，下列条件中能判定是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点 E 在 BC 的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D+∠BCD=180°.
其中能判定 AD∥BC的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
7．如图，若∠3=∠4，则下列条件中，不能判定 AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 且∠2=∠4
C．∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90° D．∠1+∠2=90°且∠3+∠4=90°
8．（2024七上·南关期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，∠2=100°，要使木条a与b平行，则∠1的度数是 °.
10．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 °
11．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是 (填序号).
①∠B+∠BAD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠BAD=∠2+∠4.
12．如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
13． 填空：如图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”.
∵ ，∴a∥b.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，点E在CD上，点G在DB的延长线上，连结EG，交AB于点F，连结AE.已知EA平分∠CEF，∠A=55°.
（1）求∠BFG的度数.
（2）若∠A=∠D，试说明：∠AEF=∠G.
15．已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：∠1+∠4=180°.
请将下列说理过程补充完整，并在括号内注明依据.
解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
（ ） .
又∵∠ABC=∠ADC（ ），
∴∠1=∠2(等量代换).
又∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2= ▲ （ ），
∴AB∥CD（ ），
∴∠1+∠4=180°（ ）
四、综合题
16．（2019七下·萝北期末）已知，如图，点F在AB上，点E在CD上，AE、DF分别交BC与H，G，∠A=∠D，∠FGB+∠EHG=180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE⊥BC，直接写出图中所有与∠C互余的角，不需要证明．
17．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形知：∠2=∠1，
∴a∥b（ 同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：C.
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”可得a∥b.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠B+∠BFE=180°，∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），故③符合题意；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），故④符合题意，
综上能判定出AB∥EF的是①③④.
故答案为：C.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断①；由内错角相等，两直线平行可判断②③；由同位角相等，两直线平行可判断④.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法得到则本项错误，不符合题意；
B、∵∴则本项正确，符合题意；
C、∵∴则本项错误，不符合题意；
D、∵无法得到则本项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2与∠3互为对顶角（已知），
∴∠2=∠3=48°（对顶角相等），
∵∠1=∠2=48°（已知），
∴∠1=∠3=48°（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等得∠2=∠3=48°，结合∠1=∠2=48°，由等量代换可得∠1=∠3=48°，最后根据同位角相等，两直线平行可得a∥b.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∴则符合题意；
②∵，∴则不符合题意；
③∵∴则不符合题意；
④∵∴则符合题意；
综上所述，可判断的有①④，
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∠3=∠4，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；A不符合题意；
B、∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；B不符合题意；
C、∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；C不符合题意；
D、根据∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠3=∠4，无法推出∠ABC=∠DCB，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可判断A、B选项可以判定AB∥CD；结合等角的余角相等和内错角相等，两直线平行可判断C选项可以判定AB∥CD；即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠2与∠4是同位角，，∴a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠4与∠5是内错角，，∴a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠1与∠4是同旁内角，，∴a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠3与∠5是邻补角，∴无法利用证出a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
9．【答案】80
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2=100°，只有当∠1=80°时，
∠1+∠2=180°，
∴a∥b.（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：80.
【分析】从图中可以知道∠1和∠2是同旁内角，只有当它们互补时，两直线才会平行；由∠2的度数是100度，要想互补，∠1必须是80度.
10．【答案】12
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设OD绕点O逆时针旋转到OD'时，OD∥AC，
∵当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=82°-70°=12°.
∴ 直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°.
故答案为：12.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，进而根据∠DOD'=∠BOD-∠BOD'可算出直线OD绕点O按逆时针方向旋转的最小角度.
11．【答案】③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①、 ，， 故①错误；
②、，， 故②错误；
③ 、，， 故③正确；
④ 、∵，∴∠BAD=∠BCD，由∠BAD=∠BCD判断不出任何直线平行，故④错误.
一定能判定的条件有③.
故答案为：③.
【分析】本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握判定方法是解题关键，根据平行线的判定逐项分析即可．
12．【答案】30
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【分析】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
13．【答案】∠1+∠3=180°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】两条直线被第二条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，据此即可求解.
14．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠A=55°，
∴∠AEC=∠A=55°（两直线平行，内错角相等），
∵EA平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠AEC=110°，
∴∠GED=180°-∠CEF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠GED=70°（两直线平行，同位角相等）；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠A=∠D，
∴∠D=∠AEC，
∴AE∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF=∠G （两直线平行，内错角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠AEC=∠A=55°，由角平分线的定义可得∠CEF=2∠AEC=110°，再根据邻补角定义可求出∠GED=70°，最后根据二直线平行，同位角相等可求出∠GFB=∠GED=70°；
（2）首先由两直线平行，内错角相等得∠AEC=∠A，结合∠A=∠D可推出∠D=∠AEC，进而格努同位角相等，两直线平行推出AE∥GD，最后根据两直线平行，内错角相等可得出 ∠AEF=∠G.
15．【答案】解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
（角平分线定义）
又∵∠ABC=∠ADC（已知 ），
∴∠1=∠2（等量代换）.
又∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）.
故答案为：角平分线的定义；已知；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义及已知可推出∠1=∠2，进而再结合已知，由等量代换可得∠2=∠3，从而由内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，最后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠4=180°.
16．【答案】（1）证明：∵∠FGB+∠EHG=180°，
∴∠HGD+∠EHG=180°，
∴AE∥DF，
∴∠A+∠AFD=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠D+∠AFD=180°，
∴AB∥CD．
（2）与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵AE⊥BC，
∴∠CHE=90°，
∴∠C+∠AEC=90°，即∠C与∠AEC互余，
∵AE∥DF，
∴∠AEC=∠D，∠A=∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A，
综上，与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【分析】（1）由∠FGB+∠EHG=180°易得AE∥DF，从而有∠A+∠AFD=180°，又因∠A=∠D，所以∠D+∠AFD=180°，则AB∥CD． （2）利用平行线性质，进行角度替换可得到与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.4 平行线的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2024八上·揭阳期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法(图中三角形是三角板)，其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形知：∠2=∠1，
∴a∥b（ 同位角相等，两直线平行 ）.
故答案为：C.
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”可得a∥b.
2．如图，下列条件中，能判定AB∥EF的是（ ）
①∠B+∠BFE=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5.
A．② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠B+∠BFE=180°，∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），故①符合题意；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故②不符合题意；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），故③符合题意；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），故④符合题意，
综上能判定出AB∥EF的是①③④.
故答案为：C.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断①；由内错角相等，两直线平行可判断②③；由同位角相等，两直线平行可判断④.
3．下列图形中，根据∠1=∠2，能得到 AB∥CD 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法得到则本项错误，不符合题意；
B、∵∴则本项正确，符合题意；
C、∵∴则本项错误，不符合题意；
D、∵无法得到则本项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项判断即可.
4．如图，直线a，b被直线c所截，当∠1=∠2=48°时，直线a，b的位置关系是（ ）
A．a∥b B．a∥b C．a⊥b D．无法确定
【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2与∠3互为对顶角（已知），
∴∠2=∠3=48°（对顶角相等），
∵∠1=∠2=48°（已知），
∴∠1=∠3=48°（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等得∠2=∠3=48°，结合∠1=∠2=48°，由等量代换可得∠1=∠3=48°，最后根据同位角相等，两直线平行可得a∥b.
5．（2024七上·榆树期末）如图，下列条件中能判定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，无法判断出，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
6．如图，点 E 在 BC 的延长线上，对于给出的四个条件：
①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D+∠BCD=180°.
其中能判定 AD∥BC的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∴则符合题意；
②∵，∴则不符合题意；
③∵∴则不符合题意；
④∵∴则符合题意；
综上所述，可判断的有①④，
故答案为：B.
【分析】根据平行线判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此逐项判断即可.
7．如图，若∠3=∠4，则下列条件中，不能判定 AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 且∠2=∠4
C．∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90° D．∠1+∠2=90°且∠3+∠4=90°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∠3=∠4，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；A不符合题意；
B、∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；B不符合题意；
C、∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
且∠ABC=∠3+∠1，∠DCB=∠2+∠4，
∴∠ABC=∠DCB，
∴AB∥CD；C不符合题意；
D、根据∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠3=∠4，无法推出∠ABC=∠DCB，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可判断A、B选项可以判定AB∥CD；结合等角的余角相等和内错角相等，两直线平行可判断C选项可以判定AB∥CD；即可得出答案.
8．（2024七上·南关期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠2与∠4是同位角，，∴a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠4与∠5是内错角，，∴a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠1与∠4是同旁内角，，∴a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠3与∠5是邻补角，∴无法利用证出a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
二、填空题
9．如图是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，∠2=100°，要使木条a与b平行，则∠1的度数是 °.
【答案】80
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠2=100°，只有当∠1=80°时，
∠1+∠2=180°，
∴a∥b.（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：80.
【分析】从图中可以知道∠1和∠2是同旁内角，只有当它们互补时，两直线才会平行；由∠2的度数是100度，要想互补，∠1必须是80度.
10．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 °
【答案】12
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：设OD绕点O逆时针旋转到OD'时，OD∥AC，
∵当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=82°-70°=12°.
∴ 直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°.
故答案为：12.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得当∠A=∠BOD'=70°时，OD'∥AD，进而根据∠DOD'=∠BOD-∠BOD'可算出直线OD绕点O按逆时针方向旋转的最小角度.
11．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是 (填序号).
①∠B+∠BAD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠BAD=∠2+∠4.
【答案】③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①、 ，， 故①错误；
②、，， 故②错误；
③ 、，， 故③正确；
④ 、∵，∴∠BAD=∠BCD，由∠BAD=∠BCD判断不出任何直线平行，故④错误.
一定能判定的条件有③.
故答案为：③.
【分析】本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握判定方法是解题关键，根据平行线的判定逐项分析即可．
12．如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线.已知∠APD=120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 °(提示：∠ADP=∠CDE，三角形的内角和等于180°).
【答案】30
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：要使DE∥AB，则∠APD=∠PDE，
∵∠APD=120°，
∴∠PDE=120°，
∵ ∠ADP=∠CDE， ∠ADP+∠PDE+∠CDE=180°，
∴ ∠ADP=∠CDE=30°，
∴∠CAB=180°-∠APD-∠ADP=30°.
故答案为：30.
【分析】根据内错角相等，二直线平行，可得∠PDE=120°，由光的反射原理及平角的定义可得 ∠ADP=∠CDE=30°，最后根据三角形的内角和定理，由∠CAB=180°-∠APD-∠ADP可算出答案.
13． 填空：如图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”.
∵ ，∴a∥b.
【答案】∠1+∠3=180°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】两条直线被第二条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，据此即可求解.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，点E在CD上，点G在DB的延长线上，连结EG，交AB于点F，连结AE.已知EA平分∠CEF，∠A=55°.
（1）求∠BFG的度数.
（2）若∠A=∠D，试说明：∠AEF=∠G.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠A=55°，
∴∠AEC=∠A=55°（两直线平行，内错角相等），
∵EA平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠AEC=110°，
∴∠GED=180°-∠CEF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠GED=70°（两直线平行，同位角相等）；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠A=∠D，
∴∠D=∠AEC，
∴AE∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF=∠G （两直线平行，内错角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠AEC=∠A=55°，由角平分线的定义可得∠CEF=2∠AEC=110°，再根据邻补角定义可求出∠GED=70°，最后根据二直线平行，同位角相等可求出∠GFB=∠GED=70°；
（2）首先由两直线平行，内错角相等得∠AEC=∠A，结合∠A=∠D可推出∠D=∠AEC，进而格努同位角相等，两直线平行推出AE∥GD，最后根据两直线平行，内错角相等可得出 ∠AEF=∠G.
15．已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.试说明：∠1+∠4=180°.
请将下列说理过程补充完整，并在括号内注明依据.
解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
（ ） .
又∵∠ABC=∠ADC（ ），
∴∠1=∠2(等量代换).
又∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2= ▲ （ ），
∴AB∥CD（ ），
∴∠1+∠4=180°（ ）
【答案】解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
（角平分线定义）
又∵∠ABC=∠ADC（已知 ），
∴∠1=∠2（等量代换）.
又∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）.
故答案为：角平分线的定义；已知；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义及已知可推出∠1=∠2，进而再结合已知，由等量代换可得∠2=∠3，从而由内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，最后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠4=180°.
四、综合题
16．（2019七下·萝北期末）已知，如图，点F在AB上，点E在CD上，AE、DF分别交BC与H，G，∠A=∠D，∠FGB+∠EHG=180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE⊥BC，直接写出图中所有与∠C互余的角，不需要证明．
【答案】（1）证明：∵∠FGB+∠EHG=180°，
∴∠HGD+∠EHG=180°，
∴AE∥DF，
∴∠A+∠AFD=180°，
又∵∠A=∠D，
∴∠D+∠AFD=180°，
∴AB∥CD．
（2）与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵AE⊥BC，
∴∠CHE=90°，
∴∠C+∠AEC=90°，即∠C与∠AEC互余，
∵AE∥DF，
∴∠AEC=∠D，∠A=∠BFG，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A，
综上，与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
【分析】（1）由∠FGB+∠EHG=180°易得AE∥DF，从而有∠A+∠AFD=180°，又因∠A=∠D，所以∠D+∠AFD=180°，则AB∥CD． （2）利用平行线性质，进行角度替换可得到与∠C互余的角有∠AEC、∠A、∠D、∠BFG．
17．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
1 / 1
