2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.4 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，点E在AC 的延长线上，下列条件中，不能判定 BD∥AC的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
2．（2024七上·朝阳期末）如图，直线，∠1、∠2和∠3的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·哈尔滨月考）如图能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
4．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板上，且∠ABM=50°，∠DEM=70°，将木条a、b、c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN若使直线AC、DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
5．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠4
C．∠1=∠A D．∠A+∠3=180°
7．（2023七下·六安期末）如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023七上·榆树期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，并要说出自己做法的依据.小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行.”则小妙做法的依据是 .
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点．
若∠B= ，则EF∥AB；
若∠B= ，则DE∥BC．
11．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
12．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
13．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题
14．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°.
（1）∠PNB+∠PMD ∠P(填“>”“<”或“=”).
（2）如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O.
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数.
②小安将三角尺PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数(用含α的代数式表示).
15．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
四、综合题
16．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
17．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠3=∠4，
∴BD∥AC；A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，
∴BA∥DC，
不能得出BD∥AC，B符合题意；
C、∵∠D=∠DCE，
∴BD∥AC；C不符合题意；
D、∵∠D+∠ACD=180°，
∴BD∥AC，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可判断A说法正确、B说法错误、C说法正确；根据同旁内角互补，两直线平行可判断D说法正确.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，则，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】过拐点作平行线，利用平行线的判定和性质求解是这类试题的常用方法。过作，则，则，根据，计算即可．
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，无法得出AB∥CD；A不符合题意；
B、当∠2=∠5=90°时，
此时∠2+∠5=180°，则AB∥CD；B不符合题意；
C、∵∠4=∠8，
∴AB∥CD；C符合题意；
D、∵∠6和∠7是邻补角，
∴∠6+∠7=180°，无法得出AB∥CD；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABM=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠ABM=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
B、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° ，
∴∠CBE=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠CBE=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
C、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° ，
∴∠DEM=70°-20°=50°，
又∵∠ABM=50°，
∴∠DEM=∠ABM=50°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
D、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110° ，
∴木条b与木条c重合，
∴b与c相交，即AC与DF不平行，故此选项描述错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的方向，找出旋转后a与c或b与c相交形成的其中一个角的度数，进而根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”可判断A、B、C三个选项；进而木条旋转的方向及角度会发现木条b与木条c重合，从而可得b与c相交，据此判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠2，∴AB∥DF，故本选项不符合题；B、∵∠A=∠4，∴AB∥DF，故本选项不符合题意；C、∵∠1=∠A，∴AC∥DE，不能判定AB∥DF，故本选项符合题意；D、∵∠A+∠3=180°，∴AB∥DF，故本选项不符合题意．故选C．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 ①由已知角平分线的条件可得∠FCA＝∠ACG，∠ACB＝∠ACD， ∴∠FCB= (∠ACG+∠ACD)= × 180°=90°∴①正确；② 由AE=AC知∠AEC＝∠ACE(等边对等角)，又∠BAE＝ 180°-∠AEC(两直线平行同旁内角互补)同理 ∠FAC＝ 180°-∠ACE ∴∠BAE= ∠FAC(等角的补角相等) ②正确；③由题意知∠AEC＝∠ACE=2∠ACF=2∠FCE ∴∠AQC=∠AEC+∠FCE(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和) ∴∠FQE=∠AQC=∠AEC+∠FCE=2∠ACF+∠ACF=3∠ACF (等量代换) ③正确；④由题意知∠AEC＝∠ACE 且∠ACE=2∠FCE又∠F=∠FCE ∴∠AEC=2∠FCE=2∠F 故④正确
【分析】熟练掌握平行线和三角形中的角的数量关系，等量代换。
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
9．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意得小妙做法的依据为内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定结合题意即可得到小妙做法的依据，进而即可求解。
10．【答案】∠EFC；∠ADE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵点F是BC上的点，
∴当∠B=∠EFC时，EF∥AB，
∵点D是AB上的点，
∴当∠B=∠ADE时，DE∥BC.
故答案为：∠EFC，∠ADE.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，进行填空即可.
11．【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
13．【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
14．【答案】（1）=
（2）解：①∵ NO∥PM ， ∠PMN=60° ，
∴∠ONM=∠NMP=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠MNG，
∴∠ANO=∠MNO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ANO=∠NOM=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO∥EF，
∴∠EHD=∠NOM=60°（两直线平行，同位角相等）；
②当点N在点G的右侧时，如图2，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α（两直线平行，内错角相等）；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°（二直线平行，同旁内角互补），∠BNO=∠MON（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠GNM，
∴∠BNO=[180°-(60°+α)]=60°-α，
∴∠MON=60°-α；
综上∠MON的度数为：30°+α或60°-α.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴AB∥PQ∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠MPN=∠BNP+∠DMP；
故答案为：=；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PQ∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，继而根据角的和差及等量代换可得∠MPN=∠BNP+∠DMP；
（2）①由两直线平行，内错角相等，得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的定义得∠ANO=∠MNO=60°，再由两直线平行，内错角相等，得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据两直线平行，同位角相等可得∠EHD=∠NOM=60°；
②当点N在点G的右侧时，如图2，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，进而由角的和差及二直线平行，内错角相等得∠ANM=∠NMD=60°+α，再由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可得∠MON=∠ANO=30°+α；当点N在点G的左侧时，如图，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，再由二直线平行，同旁内角互补得∠BNM+∠NMO=180°，由二直线平行，内错角相等，得∠BNO=∠MON，由角平分线的定义可求出∠BNO得度数，从而即可得出∠MON的度数，综上可得答案.
15．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当时，
解得：
②当时，
解得：
③当时，
解得：，则舍去，
综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平
（3）解：不变，
设灯A转动t秒，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此即可求解；
（2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解；
（3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出∠BAC和∠BCD，进而即可求解.
16．【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.4 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，点E在AC 的延长线上，下列条件中，不能判定 BD∥AC的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠3=∠4，
∴BD∥AC；A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，
∴BA∥DC，
不能得出BD∥AC，B符合题意；
C、∵∠D=∠DCE，
∴BD∥AC；C不符合题意；
D、∵∠D+∠ACD=180°，
∴BD∥AC，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行可判断A说法正确、B说法错误、C说法正确；根据同旁内角互补，两直线平行可判断D说法正确.
2．（2024七上·朝阳期末）如图，直线，∠1、∠2和∠3的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，则，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：C．
【分析】过拐点作平行线，利用平行线的判定和性质求解是这类试题的常用方法。过作，则，则，根据，计算即可．
3．（2023七上·哈尔滨月考）如图能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，无法得出AB∥CD；A不符合题意；
B、当∠2=∠5=90°时，
此时∠2+∠5=180°，则AB∥CD；B不符合题意；
C、∵∠4=∠8，
∴AB∥CD；C符合题意；
D、∵∠6和∠7是邻补角，
∴∠6+∠7=180°，无法得出AB∥CD；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出答案.
4．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板上，且∠ABM=50°，∠DEM=70°，将木条a、b、c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN若使直线AC、DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABM=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠ABM=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
B、∵ 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° ，
∴∠CBE=50°+20°=70°，
又∵∠DEM=70°，
∴∠DEM=∠CBE=70°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
C、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° ，
∴∠DEM=70°-20°=50°，
又∵∠ABM=50°，
∴∠DEM=∠ABM=50°，
∴b∥c，即AC∥DF，故此选项描述正确，不符合题意；
D、∵ 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110° ，
∴木条b与木条c重合，
∴b与c相交，即AC与DF不平行，故此选项描述错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的方向，找出旋转后a与c或b与c相交形成的其中一个角的度数，进而根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”可判断A、B、C三个选项；进而木条旋转的方向及角度会发现木条b与木条c重合，从而可得b与c相交，据此判断D选项.
5．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
6．如图，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠A=∠4
C．∠1=∠A D．∠A+∠3=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠2，∴AB∥DF，故本选项不符合题；B、∵∠A=∠4，∴AB∥DF，故本选项不符合题意；C、∵∠1=∠A，∴AC∥DE，不能判定AB∥DF，故本选项符合题意；D、∵∠A+∠3=180°，∴AB∥DF，故本选项不符合题意．故选C．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
7．（2023七下·六安期末）如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 ①由已知角平分线的条件可得∠FCA＝∠ACG，∠ACB＝∠ACD， ∴∠FCB= (∠ACG+∠ACD)= × 180°=90°∴①正确；② 由AE=AC知∠AEC＝∠ACE(等边对等角)，又∠BAE＝ 180°-∠AEC(两直线平行同旁内角互补)同理 ∠FAC＝ 180°-∠ACE ∴∠BAE= ∠FAC(等角的补角相等) ②正确；③由题意知∠AEC＝∠ACE=2∠ACF=2∠FCE ∴∠AQC=∠AEC+∠FCE(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和) ∴∠FQE=∠AQC=∠AEC+∠FCE=2∠ACF+∠ACF=3∠ACF (等量代换) ③正确；④由题意知∠AEC＝∠ACE 且∠ACE=2∠FCE又∠F=∠FCE ∴∠AEC=2∠FCE=2∠F 故④正确
【分析】熟练掌握平行线和三角形中的角的数量关系，等量代换。
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
二、填空题
9．（2023七上·榆树期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，并要说出自己做法的依据.小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行.”则小妙做法的依据是 .
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意得小妙做法的依据为内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定结合题意即可得到小妙做法的依据，进而即可求解。
10．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点．
若∠B= ，则EF∥AB；
若∠B= ，则DE∥BC．
【答案】∠EFC；∠ADE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵点F是BC上的点，
∴当∠B=∠EFC时，EF∥AB，
∵点D是AB上的点，
∴当∠B=∠ADE时，DE∥BC.
故答案为：∠EFC，∠ADE.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，进行填空即可.
11．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
12．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
13．（2023七下·东湖期末）如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD=α(0°<α<90°).小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°.
（1）∠PNB+∠PMD ∠P(填“>”“<”或“=”).
（2）如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O.
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数.
②小安将三角尺PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数(用含α的代数式表示).
【答案】（1）=
（2）解：①∵ NO∥PM ， ∠PMN=60° ，
∴∠ONM=∠NMP=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠MNG，
∴∠ANO=∠MNO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ANO=∠NOM=60°（两直线平行，内错角相等），
∵NO∥EF，
∴∠EHD=∠NOM=60°（两直线平行，同位角相等）；
②当点N在点G的右侧时，如图2，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON=∠ANO=30°+α（两直线平行，内错角相等）；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α（二直线平行，同位角相等），
∴∠NMD=60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°（二直线平行，同旁内角互补），∠BNO=∠MON（二直线平行，内错角相等），
∵NO平分∠GNM，
∴∠BNO=[180°-(60°+α)]=60°-α，
∴∠MON=60°-α；
综上∠MON的度数为：30°+α或60°-α.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PQ，
∴AB∥PQ∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ（两直线平行，内错角相等），
∵∠MPN=∠NPQ+∠MPQ，
∴∠MPN=∠BNP+∠DMP；
故答案为：=；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PQ∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠BNP=∠NPQ，∠PMD=∠MPQ，继而根据角的和差及等量代换可得∠MPN=∠BNP+∠DMP；
（2）①由两直线平行，内错角相等，得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的定义得∠ANO=∠MNO=60°，再由两直线平行，内错角相等，得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据两直线平行，同位角相等可得∠EHD=∠NOM=60°；
②当点N在点G的右侧时，如图2，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，进而由角的和差及二直线平行，内错角相等得∠ANM=∠NMD=60°+α，再由角平分线的定义及二直线平行，内错角相等可得∠MON=∠ANO=30°+α；当点N在点G的左侧时，如图，由二直线平行，同位角相等，得∠PMD=α，再由二直线平行，同旁内角互补得∠BNM+∠NMO=180°，由二直线平行，内错角相等，得∠BNO=∠MON，由角平分线的定义可求出∠BNO得度数，从而即可得出∠MON的度数，综上可得答案.
15．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当时，
解得：
②当时，
解得：
③当时，
解得：，则舍去，
综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平
（3）解：不变，
设灯A转动t秒，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此即可求解；
（2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解；
（3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出∠BAC和∠BCD，进而即可求解.
四、综合题
16．（2023七上·哈尔滨月考）已知：点E在线段间（如图1）．连接．．
（1）求证：．
（2）如图2，点F在点E右侧．连接．求证．
（3）如图3在（2）的条件下，线段，的延长线交于点H．交于点K．当平分，平分，，时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
（3）解：设，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠BEF，结合题意可得∠DEF=∠CDE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）过点F作FG∥AB，结合（1）中结论可得AB∥CD∥FG，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABF+∠BFG=180°，∠CDG+∠DFGE=180°，即可证明；
（3）设∠EDF=α ，∠EBF=β ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EDC=α ，∠EBA=β ，推得∠HDK=180°-2α ，∠BED=α +β ，结合题意和（2）中结论可得，求解即可得出α +β =135°，根据题意，的人可求出α 的值，即可求解.
17．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
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