2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021七下·历下期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，
然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
2．（2022七下·秦皇岛期中）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：能符合题意解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
3．（2024七上·吴兴期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（ ）．
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：掷实心球，看的是谁抛的最远，测量的是点到直线的距离，所以测量垂线段长.
故答案为：A.
【分析】根据测量的是点到直线的距离，可得依据是垂线段最短.
4．（2023七上·哈尔滨期中）下列说法正确的是（ ）个．
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③P是直线a外一点，A、B、C分别是直线a上的三点，，，，则点P到直线a的距离一定是2；④相等的角是对顶角；⑤内错角相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确；
②在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
③P是直线a外一点，A、B、C分别是直线a上的三点，PA=2，PB=3，PC=4，点P到直线a的距离是垂线段的长度，命题中没有说明PA⊥l，故③错误；
④有共同的顶点，两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角，故④错误；
⑤内错角不一定相等，只有当两直线平行时内错角相等，故⑤错误，
综上，正确的只有一个.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角，内错角，垂线公理，平行线定理，垂线段的概念，对题中说法进行分析判断即可.
5．（2023七下·铁锋期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意可得：运用的数学道理为：垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
6．（2024七上·拱墅期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE=45.2°，则∠COF=（ ）
A．45°12 B．45°20 C．44°48 D．44°80
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等角的余角相等，直接计算出∠COF，再换算单位即可.
7．（2023七上·榆树期末）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意得这样做最节省水管长度，其数学原理是垂线段最短，
故答案为：B
【分析】先根据图片得到CD⊥l，进而根据垂线段的性质结合题意即可求解。
8．（2023·陕西）如图，直线，点在上，，垂足为若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l1，
∵AB⊥l3，
∴∠4+∠5=90°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠3+∠4=180°，∠5=∠2，
∵∠1=∠3=138°，
∴∠4=180°-138°=42°，
∴∠5=90°-42°=48°，
∴∠2=48°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥l1，利用垂直的定义可知∠4+∠5=90°，利用平行线公理及其推论，可证得BD∥l1∥l2，利用平行线的性质可证得∠3+∠4=180°，∠5=∠2，可求出∠4，∠5的度数，即可得到∠2的度数.
二、填空题
9．（2020七下·北京期末）如图，要从村庄P修一条连接公路 的最短的小道，应选择沿线段 修建，理由是 ．
【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
10．如图，l1∥l2，直线AB截l1于点A，截l2于点B，BC⊥AB，若∠1=30°，则∠2= °
【答案】60
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°（垂直定义），
∵∠1=30°，
∴∠3=180°-∠ABC-∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由垂直定义得∠ABC=90°，由平角定义可求出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
11． 如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，亮亮总结出了如下结论：
①线段AC的长表示点A到直线BC的距离；
②线段CD的长表示点C到直线AB的距离；
③线段AD的长表示点A到直线CD的距离；
④∠ACD是∠BCD的余角．
亮亮总结的结论正确的有 个．
【答案】4
【知识点】余角、补角及其性质；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①线段AC的长表示点A到直线BC的距离，故①正确；
②线段CD的长表示点C到直线AB的距离，故②正确；
③线段AD的长表示点A到直线CD的距离，故③正确；
④∠ACD是∠BCD的余角，故④正确．
亮亮总结的结论正确的有4个.
故答案为：4
【分析】根据直线外一点到一条直线的垂线段的长度就点到直线的距离，据此可对①②③逐项进行判断，根据垂直的定义及和为90°的两个角互为余角可对④进行判断，从而即可得出答案.
12．（2024七上·深圳期末）如图，点在直线上，，若，则的大小为
【答案】150
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，即∠COB+∠BOD=90°.
∵∠COB=60°，
∴∠BOD=30°.
∵∠AOB是平角，
∴∠AOD=180°-∠BOD=150°.
故答案为：150.
【分析】根据OC⊥OD，∠COB=60°，计算得∠BOD=30°，再运用平角的定义计算即可.
13．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 米．（填具体数值）
【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
三、解答题
14．如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥(桥与河岸垂直)，要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方 请在图中画出示意图.
【答案】解：过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，连接BC交河岸于点N，过点N作NM垂直于河岸，垂足为M，BC为C到B的最短线段，
MN为建桥位置，
∵
∴四边形AMNC是平行四边形
∴
∴
又∵B、N、C三点在同一直线上
要使从点A处过桥到点B处的路程最短，MN即为建桥的位置.
【知识点】垂线段最短；平移的性质
【解析】【分析】从A到B地要走的路线是A-M-N-B，而MN定值，只要AM+BN最短即可，过点A作AC垂直与于河岸，使AC等于河的宽度，连接BC交河岸于点N，过点N作NM垂直于河岸，垂足为M，BC为C到B的最短线段.
15．（2024七上·吴兴期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOE＝126°．
（1）求∠AOC的度数.
（2）若直线OF⊥OE，求∠DOF的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOE=126°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－126°=54°.
∵OD平分∠BOE，
∴ .
∴∠AOC=∠BOD=27°.
（2）解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°.
如图，当OE和OF在直线AB同侧时：
由（1）得∠DOE=∠BOD=27°
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=90°+27°=117°.
如图，当OE和OF在直线AB两侧时：
∠DOF=∠EOF－∠DOE=90°－27°=63°.
综上所述，∠DOF的度数为117°或者63°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角求得∠BOE度数，再根据OD平分∠BOE得到∠BOD度数，最后根据对顶角相等求得∠AOC；
（2）题目没有给OF的位置，所以有两种情况都要考虑到.每种情况可以利用角的加减运算得到.
四、综合题
16．（2023七下·遵义月考）如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=∠AOC=40°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=130°；
（2）解：∵∠AOE+30°=∠BOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=75°，∠BOE=105° ，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠AOE= 37.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-37.5°= 52.5°．
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再利用垂直的定义求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，代入计算求出∠AOD的度数.
（2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出∠AOE，∠BOE的度数，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；然后根据∠BOD=90°-∠AOC，代入计算求出∠BOD的度数.
17．（2023七下·潮安期末）如图，，．
（1）求证：；
（2）若于点，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
，
由（1）可知，
，
.
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠1+∠2=180°，进而结合已知得到∠3=∠2，最后根据平行线的判定定理证得AF∥CD；
（2）先求得∠3的度数，再利用垂直的定义及角的和差得到∠BCD的度数．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021七下·历下期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
2．（2022七下·秦皇岛期中）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．（2024七上·吴兴期末）如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（ ）．
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（2023七上·哈尔滨期中）下列说法正确的是（ ）个．
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③P是直线a外一点，A、B、C分别是直线a上的三点，，，，则点P到直线a的距离一定是2；④相等的角是对顶角；⑤内错角相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023七下·铁锋期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
6．（2024七上·拱墅期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE=45.2°，则∠COF=（ ）
A．45°12 B．45°20 C．44°48 D．44°80
7．（2023七上·榆树期末）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
8．（2023·陕西）如图，直线，点在上，，垂足为若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020七下·北京期末）如图，要从村庄P修一条连接公路 的最短的小道，应选择沿线段 修建，理由是 ．
10．如图，l1∥l2，直线AB截l1于点A，截l2于点B，BC⊥AB，若∠1=30°，则∠2= °
11． 如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，亮亮总结出了如下结论：
①线段AC的长表示点A到直线BC的距离；
②线段CD的长表示点C到直线AB的距离；
③线段AD的长表示点A到直线CD的距离；
④∠ACD是∠BCD的余角．
亮亮总结的结论正确的有 个．
12．（2024七上·深圳期末）如图，点在直线上，，若，则的大小为
13．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 米．（填具体数值）
三、解答题
14．如图，A，B两地之间有一条小河，现在想在河岸搭一座桥(桥与河岸垂直)，要使从点A处过桥到点B处的路程最短，应搭在什么地方 请在图中画出示意图.
15．（2024七上·吴兴期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOE＝126°．
（1）求∠AOC的度数.
（2）若直线OF⊥OE，求∠DOF的度数.
四、综合题
16．（2023七下·遵义月考）如图，点O是直线AB上一点，射线OC、OD、OE在直线AB的同一侧，且OC平分∠AOE，OD⊥OC．
（1）如果∠COE=40°，求∠AOD的度数．
（2）如果∠AOE+30°=∠BOE，求∠BOD的度数．
17．（2023七下·潮安期末）如图，，．
（1）求证：；
（2）若于点，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，
然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：能符合题意解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：掷实心球，看的是谁抛的最远，测量的是点到直线的距离，所以测量垂线段长.
故答案为：A.
【分析】根据测量的是点到直线的距离，可得依据是垂线段最短.
4．【答案】A
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确；
②在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
③P是直线a外一点，A、B、C分别是直线a上的三点，PA=2，PB=3，PC=4，点P到直线a的距离是垂线段的长度，命题中没有说明PA⊥l，故③错误；
④有共同的顶点，两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角，故④错误；
⑤内错角不一定相等，只有当两直线平行时内错角相等，故⑤错误，
综上，正确的只有一个.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角，内错角，垂线公理，平行线定理，垂线段的概念，对题中说法进行分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意可得：运用的数学道理为：垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等角的余角相等，直接计算出∠COF，再换算单位即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意得这样做最节省水管长度，其数学原理是垂线段最短，
故答案为：B
【分析】先根据图片得到CD⊥l，进而根据垂线段的性质结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l1，
∵AB⊥l3，
∴∠4+∠5=90°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠3+∠4=180°，∠5=∠2，
∵∠1=∠3=138°，
∴∠4=180°-138°=42°，
∴∠5=90°-42°=48°，
∴∠2=48°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥l1，利用垂直的定义可知∠4+∠5=90°，利用平行线公理及其推论，可证得BD∥l1∥l2，利用平行线的性质可证得∠3+∠4=180°，∠5=∠2，可求出∠4，∠5的度数，即可得到∠2的度数.
9．【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
10．【答案】60
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°（垂直定义），
∵∠1=30°，
∴∠3=180°-∠ABC-∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由垂直定义得∠ABC=90°，由平角定义可求出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
11．【答案】4
【知识点】余角、补角及其性质；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①线段AC的长表示点A到直线BC的距离，故①正确；
②线段CD的长表示点C到直线AB的距离，故②正确；
③线段AD的长表示点A到直线CD的距离，故③正确；
④∠ACD是∠BCD的余角，故④正确．
亮亮总结的结论正确的有4个.
故答案为：4
【分析】根据直线外一点到一条直线的垂线段的长度就点到直线的距离，据此可对①②③逐项进行判断，根据垂直的定义及和为90°的两个角互为余角可对④进行判断，从而即可得出答案.
12．【答案】150
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，即∠COB+∠BOD=90°.
∵∠COB=60°，
∴∠BOD=30°.
∵∠AOB是平角，
∴∠AOD=180°-∠BOD=150°.
故答案为：150.
【分析】根据OC⊥OD，∠COB=60°，计算得∠BOD=30°，再运用平角的定义计算即可.
13．【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
14．【答案】解：过点A作AC垂直于河岸，使AC等于河的宽度，连接BC交河岸于点N，过点N作NM垂直于河岸，垂足为M，BC为C到B的最短线段，
MN为建桥位置，
∵
∴四边形AMNC是平行四边形
∴
∴
又∵B、N、C三点在同一直线上
要使从点A处过桥到点B处的路程最短，MN即为建桥的位置.
【知识点】垂线段最短；平移的性质
【解析】【分析】从A到B地要走的路线是A-M-N-B，而MN定值，只要AM+BN最短即可，过点A作AC垂直与于河岸，使AC等于河的宽度，连接BC交河岸于点N，过点N作NM垂直于河岸，垂足为M，BC为C到B的最短线段.
15．【答案】（1）解：∵∠AOE=126°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－126°=54°.
∵OD平分∠BOE，
∴ .
∴∠AOC=∠BOD=27°.
（2）解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°.
如图，当OE和OF在直线AB同侧时：
由（1）得∠DOE=∠BOD=27°
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=90°+27°=117°.
如图，当OE和OF在直线AB两侧时：
∠DOF=∠EOF－∠DOE=90°－27°=63°.
综上所述，∠DOF的度数为117°或者63°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角求得∠BOE度数，再根据OD平分∠BOE得到∠BOD度数，最后根据对顶角相等求得∠AOC；
（2）题目没有给OF的位置，所以有两种情况都要考虑到.每种情况可以利用角的加减运算得到.
16．【答案】（1）解：∵OC平分∠AOE，
∴∠COE=∠AOC=40°，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=130°；
（2）解：∵∠AOE+30°=∠BOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=75°，∠BOE=105° ，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=∠AOE= 37.5°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=90°-37.5°= 52.5°．
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠AOC的度数，再利用垂直的定义求出∠COD的度数；然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，代入计算求出∠AOD的度数.
（2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出∠AOE，∠BOE的度数，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；然后根据∠BOD=90°-∠AOC，代入计算求出∠BOD的度数.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
，
由（1）可知，
，
.
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠1+∠2=180°，进而结合已知得到∠3=∠2，最后根据平行线的判定定理证得AF∥CD；
（2）先求得∠3的度数，再利用垂直的定义及角的和差得到∠BCD的度数．
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