2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列结论中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内的两条直线不平行就相交
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、 同位角相等，两直线平行 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
B、 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
C、 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
D、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，原说法错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行 ，可判断A选项；根据垂直公理： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断B选项；根据同一平面内的两条直线的位置关系： 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，可判断C选项；根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断D选项.
2．下列生活中的实例，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠．可用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路．可用的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一根木条固定到墙上需要两颗钉子．可用的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路．可用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，可用的数学原理是：垂线段最短，故A符合题意；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，可用的数学原理是：两点之间线段最短，故B不符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两颗钉子，可用的数学原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路，可用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2024七上·南关期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，，，，点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得∠ADB=90°，
∴点到直线的距离是AD的长度，
故答案为：A
【分析】根据点到直线的距离结合题意即可得到点到直线的距离是线段的长度。
4．如图，，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠1=180°-55°=125°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝90°-55°=35°，
故答案为：A．
【分析】根据AB∥CD，可得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，可求出∠2的度数即可解答．
5．（2023·武威）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
6．（2021七下·东城期末）如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】根据题意，小河可以抽象为一条直线，点 到直线的所有连线中，垂线段最短
理由是： 垂线段最短
故答案为：B
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
7．（2023·海淀模拟） 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵MN//AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠ACP=90°，
∵∠APC=∠OPQ，
∴∠BAC=∠COD=27°，
∴被测物体表面的倾斜角为27°
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质及垂直的性质求出∠PQO=90°，再结合∠APC=∠OPQ，求出∠BAC=∠COD=27°即可.
8．（2023八上·柳州开学考）如图，，平分，，，，则下列结论：
；平分；；．
其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴正确.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分正确.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴ 正确.
∵，，
∴，
∴ 不正确.
∴正确的是.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可判断的正确性；结合的结果，利用垂直的定义和平角的定义求出，即可证明的正确性；结合的结果，利用线段互相垂直即可判断的正确性；通过角度的计算即可证明的不正确性.
二、填空题
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE=40°6'，则∠AOC的度数为
【答案】49°54'
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】 解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC= 90°．
∵∠BOE=40°6'，
∴∠AOC= 180°- 90°-40°6' =49°54'．
故答案为：49°54'．
【分析】根据垂直可得∠EOC= 90°，即可根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°求解.
10．（2021七下·交口期末）下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】①
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：可以用“垂线段最短”来解释①，
可以“两点之间线段最短” 来解释②，
可以用“两点确定一条直线” 来解释③，
故答案为：①.
【分析】根据所给图形，利用“垂线段最短”进行判断.
11．（2023七下·合阳期末）如图，为的边上一点，过点作，交的平分线于点．过点作，交的延长线于点，若．现有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①，，
，
是的角平分线，
，①正确；
②，
，②正确；
③，
，
，
，
，③正确；
④，，
，④错误.
故答案为：①②③.
【分析】先利用平行线的性质得到，再通过角平分线的定义判定①正确；由①可得，通过平角得定义可判定②正确；先由垂直得定义得到，再利用平行线的性质得到判定③正确；利用平行线的性质即可得到，进而判定④错误.
12．（2023七下·潼关期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点、，平分，交于点，交于点，若，则 ．
【答案】108
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，，
∴∠EQG=，∠EFQ=∠FQG，
∵平分 ，
∴∠FQG=∠EQG=18°，
∴∠EFQ=∠FQG=18°
∵ ，
∴∠GFQ=90°，
∴∠GFE=∠GFQ+∠EFQ=90°+18°=108°，
故答案为：108.
【分析】由平行线的性质可得∠EQG=，∠EFQ=∠FQG，利用角平分线的定义可得∠EFQ=∠FQG=∠EQG=18°，由垂直的定义可得∠GFQ=90°，利用∠GFE=∠GFQ+∠EFQ即可求解.
13．（2023七下·江津期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线直线c，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EG⊥直线c，∴∠GEF=90°，又∵∠1=35°，∴∠3=90°-∠1=90°-35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°。
故第1空答案为：55°。
【分析】先根据垂直定义，求出如图所示的∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2即可。
三、解答题
14．如图①．在四边形ABCD中．∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）试判断直线BE与DF的位置关系．并说明理由．
（2）如图②，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为H．试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：直线BE∥DF，理由如下：
∵ BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线 ，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=∠ADC+∠ABC=（∠ADC+∠ABC）=×180°=90°，
∵ ∠ADF与∠AFD互余 ，
∴ ∠ADF+∠AFD=90°，
∴ ∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF；
（2）解： ∠FBH=∠GBH ，理由如下：
∵BE∥DG，
∴∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠G=∠BFH，
∵BH⊥DG，
∴∠BHG=∠BHF=90°，
∴∠G+∠GBH=∠HFB+∠FBH=90°，
∴∠GBH=∠FBH.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）直线BE∥DF，理由如下：∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，进而结合已知可得∠ADF+∠ABE=90°，又知∠ADF+∠AFD=90°，从而由同角的余角相等得∠ABE=∠AFD，最后根据同位角相等，两直线平行，得BE∥DF；
（2） ∠FBH=∠GBH ，理由如下：由平行线的性质得∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，结合角平分线的定义可得∠G=∠BFH，进而根据直角三角形的量锐角互余及等角的余角相等可得∠GBH=∠FBH.
15．填空：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2，试说明：BE∥CF.
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴ ▲ = ▲ =90°（ ）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴ ▲ = ▲ （等式的性质），
∴BE∥CF（ ）.
【答案】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴∠ABC =∠BCD =90°（垂直的定义）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等式的性质），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】等式的性质；垂线；平行线的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得到利用已知条件并结合等式的性质即可得到进而根据内错角相等，两直线平行，进而即可求解.
四、综合题
16．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
17．（2023七下·北仑期末）如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．
（1）求证：．
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴．
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由题意可得FP⊥EH，由平行线的性质可得∠GHC=∠FPH=30°，∠BFP=∠FPH=30°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BFP=∠HFP=30°，∠EFG=∠AFG，则∠GFH=∠GFP-∠HFP=60°，由∠EFH=∠EFG+∠GFH求出∠EFH的度数，据此证明.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列结论中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内的两条直线不平行就相交
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．下列生活中的实例，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠．可用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路．可用的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一根木条固定到墙上需要两颗钉子．可用的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路．可用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
3．（2024七上·南关期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，，，，点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
4．如图，，若，则的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
5．（2023·武威）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
6．（2021七下·东城期末）如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
7．（2023·海淀模拟） 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·柳州开学考）如图，，平分，，，，则下列结论：
；平分；；．
其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE=40°6'，则∠AOC的度数为
10．（2021七下·交口期末）下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）．
11．（2023七下·合阳期末）如图，为的边上一点，过点作，交的平分线于点．过点作，交的延长线于点，若．现有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
12．（2023七下·潼关期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点、，平分，交于点，交于点，若，则 ．
13．（2023七下·江津期末）如图，直线，直线c与直线a，b分别交于点E、F，射线直线c，若，则的度数是 ．
三、解答题
14．如图①．在四边形ABCD中．∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）试判断直线BE与DF的位置关系．并说明理由．
（2）如图②，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为H．试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．
15．填空：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2，试说明：BE∥CF.
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴ ▲ = ▲ =90°（ ）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴ ▲ = ▲ （等式的性质），
∴BE∥CF（ ）.
四、综合题
16．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
17．（2023七下·北仑期末）如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．
（1）求证：．
（2）若平分，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、 同位角相等，两直线平行 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
B、 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
C、 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，这个说法正确，故此选项不符合题意；
D、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，原说法错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理： 同位角相等，两直线平行 ，可判断A选项；根据垂直公理： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断B选项；根据同一平面内的两条直线的位置关系： 同一平面内的两条直线不平行就相交 ，可判断C选项；根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断D选项.
2．【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，可用的数学原理是：垂线段最短，故A符合题意；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，可用的数学原理是：两点之间线段最短，故B不符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两颗钉子，可用的数学原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个物流仓库向高速公路修一条最短的马路，可用的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得∠ADB=90°，
∴点到直线的距离是AD的长度，
故答案为：A
【分析】根据点到直线的距离结合题意即可得到点到直线的距离是线段的长度。
4．【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠1=180°-55°=125°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝90°-55°=35°，
故答案为：A．
【分析】根据AB∥CD，可得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，可求出∠2的度数即可解答．
5．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】根据题意，小河可以抽象为一条直线，点 到直线的所有连线中，垂线段最短
理由是： 垂线段最短
故答案为：B
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵MN//AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠ACP=90°，
∵∠APC=∠OPQ，
∴∠BAC=∠COD=27°，
∴被测物体表面的倾斜角为27°
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质及垂直的性质求出∠PQO=90°，再结合∠APC=∠OPQ，求出∠BAC=∠COD=27°即可.
8．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴正确.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分正确.
∵，
∴，
∴，
∴.
∴ 正确.
∵，，
∴，
∴ 不正确.
∴正确的是.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可判断的正确性；结合的结果，利用垂直的定义和平角的定义求出，即可证明的正确性；结合的结果，利用线段互相垂直即可判断的正确性；通过角度的计算即可证明的不正确性.
9．【答案】49°54'
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【解答】 解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC= 90°．
∵∠BOE=40°6'，
∴∠AOC= 180°- 90°-40°6' =49°54'．
故答案为：49°54'．
【分析】根据垂直可得∠EOC= 90°，即可根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°求解.
10．【答案】①
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：可以用“垂线段最短”来解释①，
可以“两点之间线段最短” 来解释②，
可以用“两点确定一条直线” 来解释③，
故答案为：①.
【分析】根据所给图形，利用“垂线段最短”进行判断.
11．【答案】①②③
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①，，
，
是的角平分线，
，①正确；
②，
，②正确；
③，
，
，
，
，③正确；
④，，
，④错误.
故答案为：①②③.
【分析】先利用平行线的性质得到，再通过角平分线的定义判定①正确；由①可得，通过平角得定义可判定②正确；先由垂直得定义得到，再利用平行线的性质得到判定③正确；利用平行线的性质即可得到，进而判定④错误.
12．【答案】108
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，，
∴∠EQG=，∠EFQ=∠FQG，
∵平分 ，
∴∠FQG=∠EQG=18°，
∴∠EFQ=∠FQG=18°
∵ ，
∴∠GFQ=90°，
∴∠GFE=∠GFQ+∠EFQ=90°+18°=108°，
故答案为：108.
【分析】由平行线的性质可得∠EQG=，∠EFQ=∠FQG，利用角平分线的定义可得∠EFQ=∠FQG=∠EQG=18°，由垂直的定义可得∠GFQ=90°，利用∠GFE=∠GFQ+∠EFQ即可求解.
13．【答案】
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EG⊥直线c，∴∠GEF=90°，又∵∠1=35°，∴∠3=90°-∠1=90°-35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°。
故第1空答案为：55°。
【分析】先根据垂直定义，求出如图所示的∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2即可。
14．【答案】（1）解：直线BE∥DF，理由如下：
∵ BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线 ，
∴∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠ADF+∠ABE=∠ADC+∠ABC=（∠ADC+∠ABC）=×180°=90°，
∵ ∠ADF与∠AFD互余 ，
∴ ∠ADF+∠AFD=90°，
∴ ∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF；
（2）解： ∠FBH=∠GBH ，理由如下：
∵BE∥DG，
∴∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠G=∠BFH，
∵BH⊥DG，
∴∠BHG=∠BHF=90°，
∴∠G+∠GBH=∠HFB+∠FBH=90°，
∴∠GBH=∠FBH.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）直线BE∥DF，理由如下：∠ADF=∠ADC，∠ABE=∠CBE=∠ABC，进而结合已知可得∠ADF+∠ABE=90°，又知∠ADF+∠AFD=90°，从而由同角的余角相等得∠ABE=∠AFD，最后根据同位角相等，两直线平行，得BE∥DF；
（2） ∠FBH=∠GBH ，理由如下：由平行线的性质得∠CBE=∠G，∠EBA=∠BFH，结合角平分线的定义可得∠G=∠BFH，进而根据直角三角形的量锐角互余及等角的余角相等可得∠GBH=∠FBH.
15．【答案】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴∠ABC =∠BCD =90°（垂直的定义）.
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等式的性质），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）.
【知识点】等式的性质；垂线；平行线的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得到利用已知条件并结合等式的性质即可得到进而根据内错角相等，两直线平行，进而即可求解.
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴．
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由题意可得FP⊥EH，由平行线的性质可得∠GHC=∠FPH=30°，∠BFP=∠FPH=30°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BFP=∠HFP=30°，∠EFG=∠AFG，则∠GFH=∠GFP-∠HFP=60°，由∠EFH=∠EFG+∠GFH求出∠EFH的度数，据此证明.
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