2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练培优题
一、选择题
1．在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n ，则直线l与n的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n.
故答案为：C.
【分析】 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答．
2．若P，Q是直线AB 外不重合的两点，则下列说法中，错误的是 （ ）
A．直线 PQ可能与直线 AB 垂直
B．直线 PQ可能与直线 AB 平行
C．过点 P 的直线一定能与直线AB 相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB 平行
【答案】C
【知识点】垂线；平行公理及推论；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、当直线PQ与直线AB相交，且夹角为90°时，直线PQ与直线AB垂直；A不符合题意；
B、当直线PQ与直线AB永不相交，则直线PQ与直线AB平行，B不符合题意；
C、过点P的直线可能与直线AB相交，也可能平行，C符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线行；故过点Q有且只有一条直线与AB平行；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据两条直线的位置关系有两种：平行和相交；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；逐项分析即可得出答案.
3．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
4．（2023八上·涪城开学考）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE=65°；④∠GOE=∠DOF，其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB//CD，OG//CD，
∴OG⊥AB，
∴结论①正确；
∵AB//CD，
∴∠BOD=∠CDO=50°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴结论③正确；
∵OG⊥CD，
∴∠GOA=∠DGO=90°，
∴∠GOD=40°，∠GOE=90°-∠AOE=25°，
∴∠EOG+∠GOD=25°+40°=65°，
∵OE⊥OF，∠FOE=90°，
∴∠DOF=25°，
∴∠BOF=∠DOF，
∴OF平分∠BOD，∠GOE=∠DOF，
∴结论②④正确；
综上所述：正确的有4个，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，垂线的定义以及角平分线的定义对每个结论逐一判断求解即可。
5．（2019七下·嘉兴期中）如图，AB∥CD，∠C＝70°，BE⊥BC，则∠ABE等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．60°
【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠C+∠ABC=180°
∴∠ABC=180°-70°=110°
∵BE⊥BC
∴∠EBC=90°
∴∠ABE+∠EBC=∠ABC=110°
∴∠ABE=110°-90°=20°
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质，求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义就可得到∠EBC的度数，然后根据∠ABE+∠EBC=110°，即可求出结果。
6．（2023七下·紫阳期末）如图，，直线交于点E，过点E作；交于点F，若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠FEM=90°，
又∵∠1=40°，
∴∠BEF=180°-∠1-∠FEM=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠FEB=50°.
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义及平角的定义可求出∠BEF=50°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠2=∠FEB=50°.
7．（2023七下·椒江期末）小强在科学课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房房檐处安装一平面镜，与墙面所成的角为，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥MN于点M，
∴∠NMC+∠CME=90°，
∵ 小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D，
∴∠DMC=2∠CME，
∵AB∥MC，
∴∠NMC=180°-∠MNB=180°-118°=62°，
∴∠CME=90°-62°=28°，
∴∠DMC=2×28°=56°.
故答案为：A.
【分析】过点M作ME⊥MN于点M，利用垂直的定义可证得∠NMC+∠CME=90°，再利用已知可证得∠DMC=2∠CME；再利用平行线的性质可求出∠NMC的度数，即可求出∠CME的度数，然后求出∠DMC的度数.
8．（2021七下·红桥期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；垂线；平行线的判定与性质；平面中直线位置关系；同位角
【解析】【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等，故②不符合题意；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故③符合题意；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交，故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。（注意：前题条件两直线平行）两点确定一条直线。在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交。
二、填空题
9．（2022六下·龙口期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=30°，OE⊥CD，则∠AOE的度数为 ．
【答案】60°或60度
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=30°，
∴，
∵OE⊥CD，
∴．
故答案为：．
【分析】根据对顶角的性质和垂直的定义可得答案。
10．（2023七下·龙湖期末）如图，已知直线，点B在直线a上，点A、C在直线b上，且．若，则的度数为 ．
【答案】度
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对图形进行角标注，则∠2=∠3.
∵a∥b，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4.
∵∠1+∠4+90°=180°，
∴∠4=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°.
故答案为：55°.
【分析】对图形进行角标注，由对顶角的性质可得∠2=∠3，根据平行线的性质可得∠3=∠4，则∠2=∠4，由平角的概念可得∠1+∠4+90°=180°，据此计算.
11．（2023七下·全椒期末）如图，直线，相交于点，射线垂直于且平分，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD=30°，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∵OF⊥OD，
∴∠FOC=∠FOD=90°，
∴∠AOF=∠FOC-∠AOC=90°-30°=60°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=60°，
∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-60°=30°，
故答案为：30°.
【分析】首先根据对顶角相等得出∠AOC=∠BOD=30°，再根据垂直定义求得∠FOC=∠FOD=90°，进而可知∠AOF=60°，再根据角平分线的定义求得∠AOF=∠EOF=60°，最后得到∠DOE=∠FOD-∠EOF=30°。
12．（2023八上·朝阳月考）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是、，则称有序实数对是点的“距离坐标”特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为下列说法：
“距离坐标”是的点只有点；
“距离坐标”是的点只有个；
“距离坐标”是的点共有个；
正确的有 填序号．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，
若、分别是到直线和的距离，则称有序非负数实数对、是点的“距离坐标”．
已知常数，，给出下列两个个结论：
若，则“距离坐标”为、的点有且仅有个．
若，且；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点只有点是正确的；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点有个是错误的；
得出是与距离是的点是与之平行的两条直线，与的距离是的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有个交点．所以是正确的．
正确的有：．
故答案为：．
【分析】分类讨论：若，若，且，再根据“距离坐标”的定义逐项分析判断即可.
13．（2023七下·福州期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误.
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得，由，，可得AB∥EF，，即得（1），由垂直的定义可得（2），根据（1）-（2）得，据此判断①②；由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，从而得出，继而得出，据此判断③；由平行线的性质及角平分线的定义可得（3），结合（1），由（3）-（1）得，据此判断④.
14．（2022七下·黄石月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
【答案】或
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①当射线于点G时，，如图，
∵，
∴.
∴∠FGE=∠GEB.
∵EG平分，
∴，
∴，
∴∠PGE-∠FGE=.
②当射线于点G时，，如图，
同理：=.
故答案为：或.
【分析】由题意可分两种情况：①当GP⊥EG（点P在CD的上方）时，由已知根据“同位角相等两直线平行”可得AB∥CD，由“两直线平行内错角相等”可得∠FGE=∠GEB，由角平分线定义可得∠GEB=∠BEF=∠GEB，再根据角的构成∠PGF=∠PGE-∠FGE可求解；②当GP⊥EG（点P在CD的下方）时，同理可求解.
三、解答题
15．（2024八上·重庆市期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图过点作，过点作，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
由（）得，
∵，，
∴，
∵，
设，则
∵，，
∴，
∴，，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：的值为，，，，，秒
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
⑤当旋转到平行于射线时，有，
此时，，
解得（秒）
⑥当旋转到平行于射线时，有，
，
此时，，
解得（秒）
综上可知，的值为，，，，，秒．
【分析】（1） 过点作，根据平行线的性质和垂线的性质证明即可；
（2） 过点作，过点作， 利用角平分线的性质和平行线的判定和性质证明 ；
（3）根据旋转的性质，角平分线的性质、平行线的判定和性质、一元一次方程求解。分六种情况讨论：旋转到在射线上，旋转到平行于射线，旋转到平行于射线，旋转到在射线上，旋转到平行于射线，旋转到平行于射线。
16．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，已知：于D，过点D作交BC于E，过点E作于F.
（1）补全图形；
（2）比较大小：EF EB，其中的数学依据是： ；
（3）请你猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（4）若，，求的度数.
【答案】（1）解：如图；
（2）；垂线段最短
（3）解：；
理由如下：∵，，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
（4）解：∵，
∴，
即.
∵，
而，
∴.
∴.
∴.
【知识点】角的运算；垂线段最短；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）∵EF⊥AB，
∴△BEF是直角三角形，
∴EF故答案为：<； 垂线段最短.
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用垂线段最短的性质分析求解即可；
（3）先证出可得，再结合可得，再利用等量代换可得；
（4）利用角的运算求出，再结合可得，再求出，最后求出即可.
四、综合题
17．（2023七下·武平期末）如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，.
（1）当时，求∠DCE：
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP.若CA为∠BCF的角平分线，，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得.
【答案】（1）解：∵CD平分∠FCE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵CA为∠BCF的角平分线，
∴，
∵，
∵，
∴
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴①，
∵②，
∴由①②消去y得，
∴，
∴，
∴，
∵垂线段最短
∴直线CD上不存在一点Q，使得.
【知识点】垂线段最短；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠DCF=∠DCE，由已知条件可知∠FDC=∠FCD，则∠FDC=∠DCE，推出AD∥BE，由平行线的性质可得∠AFC=∠FCE=∠FCD+∠DCE，据此计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BCA=∠ACF，结合平角的概念可得∠ACF+∠DCF=90°，则AC⊥CD，设∠NCD=x，∠FCN=y，则∠ACF=∠BCA=3x，根据3∠BCN-2∠CFP=270°可得18x+3y-2∠CFP=270°，根据∠ACF+∠DCF=90°可得4x+y=90°，联立可得∠CFP=3x，则∠CFP=∠CAF，推出FP∥AC，则FP⊥CD，然后根据垂线段最短的性质进行解答.
18．（2023七下·怀柔期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接．
（1）过点作，交射线于点，依题意补全图形，
①直接写出的度数（用含α的式子表示）；
②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数．
（2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系．
【答案】（1）解：①补图如下，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如下图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）或或．
过点作交射线于点，
当点在线段上时，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
当点在线段上时，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在射线上时，如下图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，或或．
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据垂直先求出 ， 再求解即可；
②根据平行线的性质求出 ， 再根据角平分线求出 ， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练培优题
一、选择题
1．在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n ，则直线l与n的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
2．若P，Q是直线AB 外不重合的两点，则下列说法中，错误的是 （ ）
A．直线 PQ可能与直线 AB 垂直
B．直线 PQ可能与直线 AB 平行
C．过点 P 的直线一定能与直线AB 相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB 平行
3．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·涪城开学考）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE=65°；④∠GOE=∠DOF，其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019七下·嘉兴期中）如图，AB∥CD，∠C＝70°，BE⊥BC，则∠ABE等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．60°
6．（2023七下·紫阳期末）如图，，直线交于点E，过点E作；交于点F，若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·椒江期末）小强在科学课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房房檐处安装一平面镜，与墙面所成的角为，房顶与水平地面平行，小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七下·红桥期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022六下·龙口期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=30°，OE⊥CD，则∠AOE的度数为 ．
10．（2023七下·龙湖期末）如图，已知直线，点B在直线a上，点A、C在直线b上，且．若，则的度数为 ．
11．（2023七下·全椒期末）如图，直线，相交于点，射线垂直于且平分，若，则的度数是 ．
12．（2023八上·朝阳月考）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是、，则称有序实数对是点的“距离坐标”特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为下列说法：
“距离坐标”是的点只有点；
“距离坐标”是的点只有个；
“距离坐标”是的点共有个；
正确的有 填序号．
13．（2023七下·福州期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
14．（2022七下·黄石月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则 .
三、解答题
15．（2024八上·重庆市期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
16．（2023七下·前郭尔罗斯月考）如图，已知：于D，过点D作交BC于E，过点E作于F.
（1）补全图形；
（2）比较大小：EF EB，其中的数学依据是： ；
（3）请你猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（4）若，，求的度数.
四、综合题
17．（2023七下·武平期末）如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，.
（1）当时，求∠DCE：
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP.若CA为∠BCF的角平分线，，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得.
18．（2023七下·怀柔期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接．
（1）过点作，交射线于点，依题意补全图形，
①直接写出的度数（用含α的式子表示）；
②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数．
（2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n.
故答案为：C.
【分析】 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答．
2．【答案】C
【知识点】垂线；平行公理及推论；平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A、当直线PQ与直线AB相交，且夹角为90°时，直线PQ与直线AB垂直；A不符合题意；
B、当直线PQ与直线AB永不相交，则直线PQ与直线AB平行，B不符合题意；
C、过点P的直线可能与直线AB相交，也可能平行，C符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线行；故过点Q有且只有一条直线与AB平行；D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据两条直线的位置关系有两种：平行和相交；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；逐项分析即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB//CD，OG//CD，
∴OG⊥AB，
∴结论①正确；
∵AB//CD，
∴∠BOD=∠CDO=50°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴结论③正确；
∵OG⊥CD，
∴∠GOA=∠DGO=90°，
∴∠GOD=40°，∠GOE=90°-∠AOE=25°，
∴∠EOG+∠GOD=25°+40°=65°，
∵OE⊥OF，∠FOE=90°，
∴∠DOF=25°，
∴∠BOF=∠DOF，
∴OF平分∠BOD，∠GOE=∠DOF，
∴结论②④正确；
综上所述：正确的有4个，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质，垂线的定义以及角平分线的定义对每个结论逐一判断求解即可。
5．【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠C+∠ABC=180°
∴∠ABC=180°-70°=110°
∵BE⊥BC
∴∠EBC=90°
∴∠ABE+∠EBC=∠ABC=110°
∴∠ABE=110°-90°=20°
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质，求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义就可得到∠EBC的度数，然后根据∠ABE+∠EBC=110°，即可求出结果。
6．【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠FEM=90°，
又∵∠1=40°，
∴∠BEF=180°-∠1-∠FEM=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠FEB=50°.
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义及平角的定义可求出∠BEF=50°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠2=∠FEB=50°.
7．【答案】A
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥MN于点M，
∴∠NMC+∠CME=90°，
∵ 小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D，
∴∠DMC=2∠CME，
∵AB∥MC，
∴∠NMC=180°-∠MNB=180°-118°=62°，
∴∠CME=90°-62°=28°，
∴∠DMC=2×28°=56°.
故答案为：A.
【分析】过点M作ME⊥MN于点M，利用垂直的定义可证得∠NMC+∠CME=90°，再利用已知可证得∠DMC=2∠CME；再利用平行线的性质可求出∠NMC的度数，即可求出∠CME的度数，然后求出∠DMC的度数.
8．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；垂线；平行线的判定与性质；平面中直线位置关系；同位角
【解析】【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等，故②不符合题意；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故③符合题意；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交，故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。（注意：前题条件两直线平行）两点确定一条直线。在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交。
9．【答案】60°或60度
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=30°，
∴，
∵OE⊥CD，
∴．
故答案为：．
【分析】根据对顶角的性质和垂直的定义可得答案。
10．【答案】度
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对图形进行角标注，则∠2=∠3.
∵a∥b，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4.
∵∠1+∠4+90°=180°，
∴∠4=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°.
故答案为：55°.
【分析】对图形进行角标注，由对顶角的性质可得∠2=∠3，根据平行线的性质可得∠3=∠4，则∠2=∠4，由平角的概念可得∠1+∠4+90°=180°，据此计算.
11．【答案】
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD=30°，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∵OF⊥OD，
∴∠FOC=∠FOD=90°，
∴∠AOF=∠FOC-∠AOC=90°-30°=60°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=60°，
∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-60°=30°，
故答案为：30°.
【分析】首先根据对顶角相等得出∠AOC=∠BOD=30°，再根据垂直定义求得∠FOC=∠FOD=90°，进而可知∠AOF=60°，再根据角平分线的定义求得∠AOF=∠EOF=60°，最后得到∠DOE=∠FOD-∠EOF=30°。
12．【答案】
【知识点】点到直线的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，
若、分别是到直线和的距离，则称有序非负数实数对、是点的“距离坐标”．
已知常数，，给出下列两个个结论：
若，则“距离坐标”为、的点有且仅有个．
若，且；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点只有点是正确的；
，，则“距离坐标”为的点有且仅有个；故“距离坐标”是的点有个是错误的；
得出是与距离是的点是与之平行的两条直线，与的距离是的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有个交点．所以是正确的．
正确的有：．
故答案为：．
【分析】分类讨论：若，若，且，再根据“距离坐标”的定义逐项分析判断即可.
13．【答案】①②④
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误.
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得，由，，可得AB∥EF，，即得（1），由垂直的定义可得（2），根据（1）-（2）得，据此判断①②；由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，从而得出，继而得出，据此判断③；由平行线的性质及角平分线的定义可得（3），结合（1），由（3）-（1）得，据此判断④.
14．【答案】或
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①当射线于点G时，，如图，
∵，
∴.
∴∠FGE=∠GEB.
∵EG平分，
∴，
∴，
∴∠PGE-∠FGE=.
②当射线于点G时，，如图，
同理：=.
故答案为：或.
【分析】由题意可分两种情况：①当GP⊥EG（点P在CD的上方）时，由已知根据“同位角相等两直线平行”可得AB∥CD，由“两直线平行内错角相等”可得∠FGE=∠GEB，由角平分线定义可得∠GEB=∠BEF=∠GEB，再根据角的构成∠PGF=∠PGE-∠FGE可求解；②当GP⊥EG（点P在CD的下方）时，同理可求解.
15．【答案】（1）解：如图，过点作，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图过点作，过点作，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
由（）得，
∵，，
∴，
∵，
设，则
∵，，
∴，
∴，，
∵和的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：的值为，，，，，秒
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）
④当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）
⑤当旋转到平行于射线时，有，
此时，，
解得（秒）
⑥当旋转到平行于射线时，有，
，
此时，，
解得（秒）
综上可知，的值为，，，，，秒．
【分析】（1） 过点作，根据平行线的性质和垂线的性质证明即可；
（2） 过点作，过点作， 利用角平分线的性质和平行线的判定和性质证明 ；
（3）根据旋转的性质，角平分线的性质、平行线的判定和性质、一元一次方程求解。分六种情况讨论：旋转到在射线上，旋转到平行于射线，旋转到平行于射线，旋转到在射线上，旋转到平行于射线，旋转到平行于射线。
16．【答案】（1）解：如图；
（2）；垂线段最短
（3）解：；
理由如下：∵，，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
（4）解：∵，
∴，
即.
∵，
而，
∴.
∴.
∴.
【知识点】角的运算；垂线段最短；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）∵EF⊥AB，
∴△BEF是直角三角形，
∴EF故答案为：<； 垂线段最短.
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用垂线段最短的性质分析求解即可；
（3）先证出可得，再结合可得，再利用等量代换可得；
（4）利用角的运算求出，再结合可得，再求出，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：∵CD平分∠FCE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵CA为∠BCF的角平分线，
∴，
∵，
∵，
∴
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴①，
∵②，
∴由①②消去y得，
∴，
∴，
∴，
∵垂线段最短
∴直线CD上不存在一点Q，使得.
【知识点】垂线段最短；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠DCF=∠DCE，由已知条件可知∠FDC=∠FCD，则∠FDC=∠DCE，推出AD∥BE，由平行线的性质可得∠AFC=∠FCE=∠FCD+∠DCE，据此计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BCA=∠ACF，结合平角的概念可得∠ACF+∠DCF=90°，则AC⊥CD，设∠NCD=x，∠FCN=y，则∠ACF=∠BCA=3x，根据3∠BCN-2∠CFP=270°可得18x+3y-2∠CFP=270°，根据∠ACF+∠DCF=90°可得4x+y=90°，联立可得∠CFP=3x，则∠CFP=∠CAF，推出FP∥AC，则FP⊥CD，然后根据垂线段最短的性质进行解答.
18．【答案】（1）解：①补图如下，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如下图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）或或．
过点作交射线于点，
当点在线段上时，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
当点在线段上时，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在射线上时，如下图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，或或．
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据垂直先求出 ， 再求解即可；
②根据平行线的性质求出 ， 再根据角平分线求出 ， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
1 / 1
