2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.6 两条平行线间的距离同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022·杭州模拟）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A，B，C，D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
2．（2022八下·新丰期中）如图，直线，则直线之间的距离是（ ）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
3．（2020·思明模拟）如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（ ）
A．AB B．AD C．CE D．AC
4．（2023七下·冷水滩期末）在同一平面内，已知，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
5．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
6．（2021七下·宽城期末）如图，直线 .则直线 ， 之间的距离是（ ）
A．线段 的长度 B．线段 的长度
C．线段 D．线段
7．（2021八下·瑶海期末）如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2021七下·栾城期中）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n.对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小. 其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题
9．（2022七下·荷塘期末）在同一平面内，已知直线，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，则直线b与直线c之间的距离为 .
10．（2020七下·张家界期末）如图，已知 ， ， ，且 ， 垂足分别为E，F．则AD与BC间的距离是 ．
11．（2020七下·安化期末）如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ；
（2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ．
理由是： ．
12．（2020七下·岳阳期末）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b与c之间的距离是2，则a与c之间的距离是 .
13．如图，直线AB∥CD，若△ACO的面积为3cm2，则△BDO的面积为 ．
三、解答题
14．已知直线a∥b∥c，a与b相距6cm，由a与c相距为4cm，求b与c之间的距离是多少？
15．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．
四、综合题
16．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．
（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长短．
17．（2018七下·东台期中）如右图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）①请在图中画出平移后的△A B C ，②再在图中画出△ABC的高CD，
（2）在右图中能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有 个(点P异于A)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵PB⊥l2，
∴l1与l2间的距离是线段PB的长度.
故答案为：B.
【分析】 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线， 垂线段的长度叫平行线间的距离，依此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：直线，，
线段的长度是直线之间的距离，
故答案为：D．
【分析】从一条平行线上任意一点的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线间的距离，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，
故答案为：B．
【分析】利用两条平行线之间的距离得定义判断即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当直线c在直线a、b之间时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7-3=4cm；
②当直线c在直线a、b之外时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7+3=10cm；
综上，直线a、c间的距离为4cm或10cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，①当直线c在直线a、b之间时，②当直线c在直线a、b之外时，再分别画出图象并求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，CD⊥b，
∴直线a，b之间距离是线段CD的长度，
故答案为：B．
【分析】根据平行线间的距离定义可得答案。
7．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD= AC=2，
∴BD的最小值为2．
故答案为：A．
【分析】当AC与BD垂直的时候，BD会最短，从而得到答案。
8．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】∵直线m∥n，∴点P到直线n的距离不变．
∵PA，PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化．
∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，∴△PAB的面积不变．
∵点P在直线m上移动，∴∠APB的大小随点P的移动而变化．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②④.
【分析】根据平行线间的距离不变从而判断出①不变，再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变，根据角的定义判断出④变化。
9．【答案】2或8
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线abc，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，
∴当直线c在直线a与b之间时，
则直线b与直线c之间的距离为5-3=2；
当直线c在直线a与b外面时，
则直线b与直线c之间的距离为5+3=8.
故答案为：2或8.
【分析】分两种情况：当直线c在直线a与b之间时和直线c在直线a与b外面时，据此分别解答即可.
10．【答案】5
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：AD与BC间的距离就是CE的长度，
∴AD与BC间的距离是5，
故答案为：5．
【分析】AD与BC间的距离就是CE的长度，从而可得出答案．
11．【答案】（1） 与 、 与 、 与
（2）题（1）中三对面积相等的三角形；两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：（1）设平行线m与n之间的距离为h
则 和 的边CP上高均为h， 和 的边AB上高均为h
由同底等高得： 与 的面积相等， 与 的面积相等
又 ，
即 与 的面积相等
故答案为： 与 、 与 、 与 ；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形
理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．
【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．
12．【答案】3或7
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行线，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，
∴a与c的距离 ，
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行线，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，
∴a与c之间的距离 ，
综上所述，a与c的距离为3或7.
故答案为：3或7.
【分析】分两种情况讨论：当直线不c在a、b之间时， a与c之间的距离等于a与b的距离和b与c的距离之和；当直线c在a、b之间时，a与c之间的距离等于a与b的距离和b与c的距离之差.
13．【答案】3cm2
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：
过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，
∵CD∥AB，
∴CM=DN，
∴S△ACB=S△BDA，
∴都减去△AOB的面积得：S△ACO=S△BDO=3cm2，
故答案为：3cm2
【分析】过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，求出CM=DN，得出S△ACB=S△BDA，都减去△AOB的面积即可得出答案．
14．【答案】解：①如图1，当a在b、c之间时，
b与c之间距离为6+4=10（cm）；
②如图2，c在b、a之间时，
b与c之间距离为6﹣4=2（cm）；
即b与c之间的距离是2cm或10cm．
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当a在b、c之间时；②c在b、a之间时．
15．【答案】解：由题意得，AB AD=24，
∵AB=6cm，
∴6 AD=24，
解得AD=4cm，
∴AB与CD之间的距离是4cm
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．
16．【答案】（1）解：∵AC⊥a，BD⊥a，
∴AC∥BD
（2）解：∵a∥b，AC⊥a，BD⊥a，
∴AC=BD
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）根据平行线间的距离即可得出结论．
17．【答案】（1）解：如下图所示
（2）4
【知识点】平行线之间的距离；作图﹣平移
【解析】【解答】(2)如下图，过点A作BC的平行线，这条平行线上的格点数除点A外有4个，所以能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有4个，故答案为4.
【分析】(1)利用格点画出图形即可；
(2)因为平行线间距离处处相等，所以过点A做BC边的平行线，与网格交于格点的既是.’
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一、选择题
1．（2022·杭州模拟）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A，B，C，D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵PB⊥l2，
∴l1与l2间的距离是线段PB的长度.
故答案为：B.
【分析】 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线， 垂线段的长度叫平行线间的距离，依此解答即可.
2．（2022八下·新丰期中）如图，直线，则直线之间的距离是（ ）
A．线段 B．线段的长度
C．线段 D．线段的长度
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：直线，，
线段的长度是直线之间的距离，
故答案为：D．
【分析】从一条平行线上任意一点的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线间的距离，据此判断即可.
3．（2020·思明模拟）如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（ ）
A．AB B．AD C．CE D．AC
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，
故答案为：B．
【分析】利用两条平行线之间的距离得定义判断即可。
4．（2023七下·冷水滩期末）在同一平面内，已知，若直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，则直线a、c间的距离为（ ）
A．或 B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当直线c在直线a、b之间时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7-3=4cm；
②当直线c在直线a、b之外时，如图所示：
∵直线a、b之间的距离为，直线b、c之间的距离为，
∴直线a、c之间的距离为7+3=10cm；
综上，直线a、c间的距离为4cm或10cm，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，①当直线c在直线a、b之间时，②当直线c在直线a、b之外时，再分别画出图象并求解即可.
5．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
6．（2021七下·宽城期末）如图，直线 .则直线 ， 之间的距离是（ ）
A．线段 的长度 B．线段 的长度
C．线段 D．线段
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，CD⊥b，
∴直线a，b之间距离是线段CD的长度，
故答案为：B．
【分析】根据平行线间的距离定义可得答案。
7．（2021八下·瑶海期末）如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD= AC=2，
∴BD的最小值为2．
故答案为：A．
【分析】当AC与BD垂直的时候，BD会最短，从而得到答案。
8．（2021七下·栾城期中）如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n.对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小. 其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】∵直线m∥n，∴点P到直线n的距离不变．
∵PA，PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化．
∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，∴△PAB的面积不变．
∵点P在直线m上移动，∴∠APB的大小随点P的移动而变化．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②④.
【分析】根据平行线间的距离不变从而判断出①不变，再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变，根据角的定义判断出④变化。
二、填空题
9．（2022七下·荷塘期末）在同一平面内，已知直线，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，则直线b与直线c之间的距离为 .
【答案】2或8
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线abc，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，
∴当直线c在直线a与b之间时，
则直线b与直线c之间的距离为5-3=2；
当直线c在直线a与b外面时，
则直线b与直线c之间的距离为5+3=8.
故答案为：2或8.
【分析】分两种情况：当直线c在直线a与b之间时和直线c在直线a与b外面时，据此分别解答即可.
10．（2020七下·张家界期末）如图，已知 ， ， ，且 ， 垂足分别为E，F．则AD与BC间的距离是 ．
【答案】5
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：AD与BC间的距离就是CE的长度，
∴AD与BC间的距离是5，
故答案为：5．
【分析】AD与BC间的距离就是CE的长度，从而可得出答案．
11．（2020七下·安化期末）如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ；
（2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ．
理由是： ．
【答案】（1） 与 、 与 、 与
（2）题（1）中三对面积相等的三角形；两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：（1）设平行线m与n之间的距离为h
则 和 的边CP上高均为h， 和 的边AB上高均为h
由同底等高得： 与 的面积相等， 与 的面积相等
又 ，
即 与 的面积相等
故答案为： 与 、 与 、 与 ；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形
理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．
【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．
12．（2020七下·岳阳期末）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，a与b之间的距离为5，b与c之间的距离是2，则a与c之间的距离是 .
【答案】3或7
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行线，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，
∴a与c的距离 ，
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行线，
而a与b的距离是5，b与c的距离是2，
∴a与c之间的距离 ，
综上所述，a与c的距离为3或7.
故答案为：3或7.
【分析】分两种情况讨论：当直线不c在a、b之间时， a与c之间的距离等于a与b的距离和b与c的距离之和；当直线c在a、b之间时，a与c之间的距离等于a与b的距离和b与c的距离之差.
13．如图，直线AB∥CD，若△ACO的面积为3cm2，则△BDO的面积为 ．
【答案】3cm2
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：
过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，
∵CD∥AB，
∴CM=DN，
∴S△ACB=S△BDA，
∴都减去△AOB的面积得：S△ACO=S△BDO=3cm2，
故答案为：3cm2
【分析】过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，求出CM=DN，得出S△ACB=S△BDA，都减去△AOB的面积即可得出答案．
三、解答题
14．已知直线a∥b∥c，a与b相距6cm，由a与c相距为4cm，求b与c之间的距离是多少？
【答案】解：①如图1，当a在b、c之间时，
b与c之间距离为6+4=10（cm）；
②如图2，c在b、a之间时，
b与c之间距离为6﹣4=2（cm）；
即b与c之间的距离是2cm或10cm．
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当a在b、c之间时；②c在b、a之间时．
15．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．
【答案】解：由题意得，AB AD=24，
∵AB=6cm，
∴6 AD=24，
解得AD=4cm，
∴AB与CD之间的距离是4cm
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．
四、综合题
16．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．
（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长短．
【答案】（1）解：∵AC⊥a，BD⊥a，
∴AC∥BD
（2）解：∵a∥b，AC⊥a，BD⊥a，
∴AC=BD
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）根据平行线间的距离即可得出结论．
17．（2018七下·东台期中）如右图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）①请在图中画出平移后的△A B C ，②再在图中画出△ABC的高CD，
（2）在右图中能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有 个(点P异于A)
【答案】（1）解：如下图所示
（2）4
【知识点】平行线之间的距离；作图﹣平移
【解析】【解答】(2)如下图，过点A作BC的平行线，这条平行线上的格点数除点A外有4个，所以能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有4个，故答案为4.
【分析】(1)利用格点画出图形即可；
(2)因为平行线间距离处处相等，所以过点A做BC边的平行线，与网格交于格点的既是.’
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