2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.1.1 轴对称图形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）2023年9.23-10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·莲都期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
3．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
4．（2023八上·临海期中）如图所示，△ABC与△DEF关于直线l对称，下列说法错误的是（ ）
A．AB＝DE B．∠BAC＝∠EDF
C．点B和点E到直线l的距离相等 D．AC//DE
5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A=78°，∠C'=48°，则∠B的度数为（ ）
A．48° B．54° C．74° D．78°
6．（2023八上·汉川期中）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．m＝﹣3，n＝2 B．m＝2，n＝3
C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝3
7．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2019八上·霸州期中）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
二、填空题
9．如图，已知大正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积是
10．（2023八上·海林期中）如图，在中，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
11．（2023·二道模拟） 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数 ．
12．（2020八上·武进月考）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
13．（2020七下·郑州期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1，P2的面积最小值为 。
三、解答题
14．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴．
15．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A（－2，2），B（－4，－2），C（－1，－2）．在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
四、综合题
16．（2020八上·朝阳期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
17．（2021七下·襄汾期末）如图1，点D为边BC的延长线上一点．
（1）若，，求的度数；
（2）若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作于点P．试说明：；
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折可得到，的角平分线与的角平分线交于点Q（如图2），若，试求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义为，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；
根据上述定义，图形A、C、D均不符合题意，选项B符合题意；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC＋∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．
4．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l 对称，
∴△ABC≌ △DEF，
∴ AB=DE ， ∠BAC＝∠EDF，
∴ A项和B项正确，
∵ 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，
∴点B和点E到直线l 的距离相等，
∴C项正确，
而AC与DE无关，故D项错误，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质即可求得。
5．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A=78°，∠C'=48°，
∴∠C=∠C'=48°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，先求出∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B.
6．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】 解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，
∴m=3，n=-2，
故答案为：C.
【分析】 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；即可求解.
7．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，
故答案为：B.
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解.
9．【答案】8cm2
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：图中将对角线下方的向上翻折，将阴影部分合三为一，这样阴影部分就是正方形面积的一半，所以 图中阴影部分的面积是
故答案为：8cm2.
【分析】利用轴对称变换，将阴影部分面积放到一个三角形，再求面积.
10．【答案】6
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴△ABD与△ACD关于AD所在的直线成轴对称，
∴S△ABD=S△ACD，
∴S阴影=S△ABC，
∵S△ABC=12cm2，
∴S阴影=×12=6cm2.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形是轴对称图形可求解.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】由折叠和平行线性质可知：
∴∠2=51°，
故答案：51°
【分析】根轴对称的性质，还原图形，再利用平行线的性质可得，可求解。
12．【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH.
故答案为：5.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此进行解答即可.
13．【答案】8
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H
∵ ，且MN=7
∴OH=4
∵点P关于OA对称的点为 P1，点P关于OB对称点为P2
∴ ∠AOP=∠AOP1， ∠BOP=∠BOP2， OP=OP1=OP2
∵∠AOB＝45°
∴ ∠P1OP2=∠P1OP+∠POP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°
∴ △P1OP2是等腰直角三角形
∴当OP最小时，△P1OP2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴ △P1OP2的面积的最小值＝，
故答案为：8．
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H，首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明 △P1OP2是等腰直角三角形，当OP最小时， △P1OP2的面积最小．
14．【答案】【解答】如图所示，直线PO为等腰梯形ABCD的对称轴．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据等腰梯形的对称性，连接AC、BD相交于点O，延长BA、CD相交于点P，然后作直线PO即为对称轴．
15．【答案】【解答】如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】先分别作出A，B，C三点关于y轴的对称点A′，B′，C′，再顺次连接各点即可．
16．【答案】（1）解：如图，连接CN，AP，MP，
∵N、P关于AC对称，
∴C为PN的中点，且AC为NP的中垂线，
∴AN=AP，
∴△ANP为等腰三角形，
∴∠NAC=∠CAP（三线合一），
同理可证∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，
∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°
（2）解：①补全图2如下，
②由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上，
∴PB=BM，PC=CN，
设BN长为x，则BM的长为3x，CN长为2-x，
∴PC=CN=2-x，
∵PB=BM=PC+BC，
∴ ，
解得x=1，
∴满足条件的P点存在，且CP=2-1=1．
【知识点】轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；
（2） ①根据要求画出图形即可；存在，设CP=CN=x，则BN=2-x，BM=PB=2+x，构建方程求解即可。
17．【答案】（1）解：∵∠A：∠ABC=3：4，
∴可设∠A=3k，∠ABC=4k，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°．
∴∠A=3k=60°．
（2）证明：∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD-∠MBC．
同理可得，∠A=∠ACD-∠ABC．
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，
∴∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC，
∴∠M=（∠ACD-∠ABC）=∠A．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°-∠M=90°-∠A．
（3）解：∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，
∴∠QBC=∠CBN，∠QCB=∠BCN，
∴∠Q=180°-（∠CBN+∠BCN）=（180°-∠N）=90°+∠N．
由（2）知：∠M=∠A．
又由轴对称性质知：∠M=∠N，
∴∠BQC=90°+∠A．
∵∠A=60°，
∴∠BQC=90°+×60°=105°．
【知识点】角的运算；轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）设∠A=3k，∠ABC=4k，根据∠ACD=∠A+∠ABC=140°，可得3k+4k=140°，求出k的值即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC，再利用三角形的外角可得∠M=∠MCD-∠MBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A，再结合CP⊥BM，可得∠PCM=90°-∠M=90°-∠A；
（3）先利用角平分线的定义可得∠QBC=∠CBN，∠QCB=∠BCN，所以∠Q=180°-（∠CBN+∠BCN）=（180°-∠N）=90°+∠N，再根据∠M=∠N，∠A=60°，即可得到∠BQC=90°+×60°=105°。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.1.1 轴对称图形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2024八上·汉阳期末）2023年9.23-10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义为，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；
根据上述定义，图形A、C、D均不符合题意，选项B符合题意；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；
2．（2022八上·莲都期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC＋∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．
4．（2023八上·临海期中）如图所示，△ABC与△DEF关于直线l对称，下列说法错误的是（ ）
A．AB＝DE B．∠BAC＝∠EDF
C．点B和点E到直线l的距离相等 D．AC//DE
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l 对称，
∴△ABC≌ △DEF，
∴ AB=DE ， ∠BAC＝∠EDF，
∴ A项和B项正确，
∵ 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，
∴点B和点E到直线l 的距离相等，
∴C项正确，
而AC与DE无关，故D项错误，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质即可求得。
5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A=78°，∠C'=48°，则∠B的度数为（ ）
A．48° B．54° C．74° D．78°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A=78°，∠C'=48°，
∴∠C=∠C'=48°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，先求出∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B.
6．（2023八上·汉川期中）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m，n的值是（ ）
A．m＝﹣3，n＝2 B．m＝2，n＝3
C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝3
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】 解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，
∴m=3，n=-2，
故答案为：C.
【分析】 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；即可求解.
7．（2020八上·林州月考）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上.在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：与△ABC成轴对称的三角形有：
①△FCD关于CG对称；②△GAB关于EH对称；③△AHF关于AD对称；④△EBD关于BF对称；⑤△BCG关于AG的垂直平分线对称，共5个.
故答案为：A.
【分析】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形.
8．（2019八上·霸州期中）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，
故答案为：B.
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解.
二、填空题
9．如图，已知大正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积是
【答案】8cm2
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：图中将对角线下方的向上翻折，将阴影部分合三为一，这样阴影部分就是正方形面积的一半，所以 图中阴影部分的面积是
故答案为：8cm2.
【分析】利用轴对称变换，将阴影部分面积放到一个三角形，再求面积.
10．（2023八上·海林期中）如图，在中，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴△ABD与△ACD关于AD所在的直线成轴对称，
∴S△ABD=S△ACD，
∴S阴影=S△ABC，
∵S△ABC=12cm2，
∴S阴影=×12=6cm2.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形是轴对称图形可求解.
11．（2023·二道模拟） 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】由折叠和平行线性质可知：
∴∠2=51°，
故答案：51°
【分析】根轴对称的性质，还原图形，再利用平行线的性质可得，可求解。
12．（2020八上·武进月考）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH.
故答案为：5.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此进行解答即可.
13．（2020七下·郑州期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1，P2的面积最小值为 。
【答案】8
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H
∵ ，且MN=7
∴OH=4
∵点P关于OA对称的点为 P1，点P关于OB对称点为P2
∴ ∠AOP=∠AOP1， ∠BOP=∠BOP2， OP=OP1=OP2
∵∠AOB＝45°
∴ ∠P1OP2=∠P1OP+∠POP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°
∴ △P1OP2是等腰直角三角形
∴当OP最小时，△P1OP2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴ △P1OP2的面积的最小值＝，
故答案为：8．
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H，首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明 △P1OP2是等腰直角三角形，当OP最小时， △P1OP2的面积最小．
三、解答题
14．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，请直接在图中仅用直尺，准确画出它的对称轴．
【答案】【解答】如图所示，直线PO为等腰梯形ABCD的对称轴．
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据等腰梯形的对称性，连接AC、BD相交于点O，延长BA、CD相交于点P，然后作直线PO即为对称轴．
15．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A（－2，2），B（－4，－2），C（－1，－2）．在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
【答案】【解答】如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】先分别作出A，B，C三点关于y轴的对称点A′，B′，C′，再顺次连接各点即可．
四、综合题
16．（2020八上·朝阳期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得 ，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接CN，AP，MP，
∵N、P关于AC对称，
∴C为PN的中点，且AC为NP的中垂线，
∴AN=AP，
∴△ANP为等腰三角形，
∴∠NAC=∠CAP（三线合一），
同理可证∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，
∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°
（2）解：①补全图2如下，
②由（1）知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上，
∴PB=BM，PC=CN，
设BN长为x，则BM的长为3x，CN长为2-x，
∴PC=CN=2-x，
∵PB=BM=PC+BC，
∴ ，
解得x=1，
∴满足条件的P点存在，且CP=2-1=1．
【知识点】轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；
（2） ①根据要求画出图形即可；存在，设CP=CN=x，则BN=2-x，BM=PB=2+x，构建方程求解即可。
17．（2021七下·襄汾期末）如图1，点D为边BC的延长线上一点．
（1）若，，求的度数；
（2）若的角平分线与的角平分线交于点M，过点C作于点P．试说明：；
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折可得到，的角平分线与的角平分线交于点Q（如图2），若，试求出的度数．
【答案】（1）解：∵∠A：∠ABC=3：4，
∴可设∠A=3k，∠ABC=4k，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°．
∴∠A=3k=60°．
（2）证明：∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD-∠MBC．
同理可得，∠A=∠ACD-∠ABC．
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，
∴∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC，
∴∠M=（∠ACD-∠ABC）=∠A．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°-∠M=90°-∠A．
（3）解：∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，
∴∠QBC=∠CBN，∠QCB=∠BCN，
∴∠Q=180°-（∠CBN+∠BCN）=（180°-∠N）=90°+∠N．
由（2）知：∠M=∠A．
又由轴对称性质知：∠M=∠N，
∴∠BQC=90°+∠A．
∵∠A=60°，
∴∠BQC=90°+×60°=105°．
【知识点】角的运算；轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）设∠A=3k，∠ABC=4k，根据∠ACD=∠A+∠ABC=140°，可得3k+4k=140°，求出k的值即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠MCD=∠ACD，∠MBC=∠ABC，再利用三角形的外角可得∠M=∠MCD-∠MBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A，再结合CP⊥BM，可得∠PCM=90°-∠M=90°-∠A；
（3）先利用角平分线的定义可得∠QBC=∠CBN，∠QCB=∠BCN，所以∠Q=180°-（∠CBN+∠BCN）=（180°-∠N）=90°+∠N，再根据∠M=∠N，∠A=60°，即可得到∠BQC=90°+×60°=105°。
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