2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.1.2 轴对称变换同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·盘龙期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·黔东南期末）已知点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·温岭期中）已知点M（3，－1）关于y轴对称的的对称点N的坐标为（a＋b，1－b），则ab的值为（ ）
A．10 B．25 C．－3 D．32
4．（2024八上·遵义期末）如图，中，，垂足为，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在一条长方形纸带ABCD中，∠DEF=α，将纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，则沿BF折叠后的∠CFE的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD 沿EF 折叠，A，D两点分别与点A'，D'对应.若∠CFE=2∠CFD'，设∠CFD'=x°，∠CFE=y°，则根据题意，可列方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七上·长岭期末）如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，将一张长方形纸片沿 EF 折叠后，点 A，B分别落在点 A'，B'的位置.若∠2=70°，则∠1 的度数为 °.
10．（2024八上·前郭尔罗斯期末）如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为 ．
11．（2024七上·杭州月考）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则∠EAF的度数为
12．（2024八上·浑江期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 .
13．（2021七上·苏州期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为﹣16和9，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点A1落在B的右边；如图2，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点A1对应的点A2落在B的左边.若A2、B之间的距离为3，则点C表示的数为 .
三、解答题
14．（2024八上·松原期末）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，在下面每个网格中画出符合要求的图形（画出三种即可）．
15．（2024七上·江源期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕.
（1）若，求的度数；
（2）试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
17．（2023七下·长清期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
（1）画出关于直线的对称图形；
（2）若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
（3）若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（7，-3），
∴点P关于y轴的对称点是（-7，-3），
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案.
2．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P 关于x 轴对称的点的坐标为，
点P 的坐标为（-1，-2）.
故答案为：D.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P 的坐标.
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：M、N关于y轴对称
∴a+b=-3 1-b=-1
∴a=-5 b=2
∴ab=25
【分析】根据对称，故有：a+b=-3 1-b=-1 求出a、b便可解了.
4．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵的面积等于的面积的，
∴点P在AD的垂直平分线上，
如图所示，作点B关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C交垂直平分线于点P，由对称性可得：B'P=BP，
∴BP+PC=B'P+PC=B'C，则PB+PC的值最小，
∵AD=BB'，AD=BC，
∴BB'=BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB=∠B'=45°，
∴∠B'BP=45°，
∴∠PBD=45°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先作图求出点P在AD的垂直平分线上，再求出PB+PC的值最小，最后求解即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
由折叠得：
∴
故答案为：A.
【分析】根据长方形的性质和平行线的性质得到进而根据折叠的性质得到即可求解.
6．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
7．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵∠CFE=2∠CFD'，∠CFD'=x°，∠CFE=y°，
∴y=2x；
∵∠DFE=∠EFD′，∠EFD′=∠CFE+∠CFD'，
∴∠DFE=y+x；
又∵∠DFE+∠CFE=180°，
∴x+y+y=180°；
故可列方程组为： ；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得y=2x；根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等可得∠DFE=∠EFD′，推得∠DFE=y+x；结合图形可求出x+y+y=180°；即可求解.
8．【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据折叠的性质可得：∠A'BC=∠ABC=58°，∠EBD=∠E'BD，
∵∠A'BC+∠ABC+∠EBD+∠E'BD=180°，
∴∠E'BD=，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质可得∠A'BC=∠ABC=58°，∠EBD=∠E'BD，再利用角的运算求出∠E'BD的度数即可.
9．【答案】55
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B'FC=∠2=70°，
∴∠1+∠B'FE=180°-∠B'FC=110°，
由折叠知∠1=∠B'FE，
∴∠1=∠B'FE=55°，
故答案为：55．
【分析】利用矩形的对边平行得AD∥BC，由两直线平行同位角相等得∠B'FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得∠1=∠B'FE，最后根据平角定义可得答案.
10．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解。
11．【答案】36°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，∠DAF=∠D'AF，∠BAE=∠B'AE，
∴ 2∠DAF+2∠BAE-∠DAB=∠B'AD’，
∵ 四边形ABCD为正方形，∠B'AD'=18°，
∴ ∠DAB=90°，
∴ ∠DAF+∠BAE=54°，
∴ ∠EAF=∠DAB-（∠DAF+∠BAE）=36°，
故答案为：36°.
【分析】根据折叠得∠DAF=∠D'AF，∠BAE=∠B'AE，推出2∠DAF+2∠BAE-∠DAB=∠B'AD’，根据正方形的性质得∠DAB=90°，进而推出∠DAF+∠BAE=54°，即可求得.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由图1可知，AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE=，由图2可知，∠FEG=∠BFE=，∴∠FGD=∠FEG+∠BFE=，又∵FC∥GD，∴∠CFG=，由图3可知，∠CFG=，
则∠CFE=∠CFG-∠FEG==。
故答案为：。
【分析】利用平行直线，找到角度间的关系∠DEF=∠BFE=，然后利用图形翻折，得到∠FEG=∠BFE=，在根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠CFG=，最终通过倒角求出∠CFE的度数。
13．【答案】-2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【解答】解：由题意得：点 之间的距离与点 之间的距离相等，即为3，
因为点 表示的数为9，且点 在点 的右边，
所以点 表示的数为 ，
因为点 表示的数为 ，点 是点 以点 为折点的对应点，
所以点 表示的数为 .
故答案为：-2.
【分析】由题意得：点A1、B之间的距离与点A2、B之间的距离相等，均为3，结合点B表示的数可得点A1表示的数，然后根据点A1为AC的中点就可求得点C表示的数.
14．【答案】解：如图所示．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称的性质设计出图案．先确定对称轴，对称轴可以是横线，也可以是竖线，还可以是斜线，再利用对称性设计出图案。
15．【答案】（1）因为将对折，得到折痕，
所以.
因为将对折，得到折痕，
所以.
因为，
所以.
所以.
（2）不变.理由如下：
因为，，，
所以，
即.
所以的大小不随点的运动而变化.
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）将，对折，根据折叠性质可得，，由可得，再根据折叠性质即可求出答案.
（2）根据平角性质，折叠性质可得，即，即可求出答案.
16．【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
17．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积
（3）解：如图，点为所作，
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据作图-轴对称即可求解；
（2）根据割补法即可求解；
（3）根据轴对称（最短路径问题）结合题意画图即可求解。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.1.2 轴对称变换同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024八上·盘龙期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（7，-3），
∴点P关于y轴的对称点是（-7，-3），
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案.
2．（2024八上·黔东南期末）已知点P关于x轴对称的点的坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P 关于x 轴对称的点的坐标为，
点P 的坐标为（-1，-2）.
故答案为：D.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P 的坐标.
3．（2020八上·温岭期中）已知点M（3，－1）关于y轴对称的的对称点N的坐标为（a＋b，1－b），则ab的值为（ ）
A．10 B．25 C．－3 D．32
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：M、N关于y轴对称
∴a+b=-3 1-b=-1
∴a=-5 b=2
∴ab=25
【分析】根据对称，故有：a+b=-3 1-b=-1 求出a、b便可解了.
4．（2024八上·遵义期末）如图，中，，垂足为，点为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵的面积等于的面积的，
∴点P在AD的垂直平分线上，
如图所示，作点B关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C交垂直平分线于点P，由对称性可得：B'P=BP，
∴BP+PC=B'P+PC=B'C，则PB+PC的值最小，
∵AD=BB'，AD=BC，
∴BB'=BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB=∠B'=45°，
∴∠B'BP=45°，
∴∠PBD=45°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先作图求出点P在AD的垂直平分线上，再求出PB+PC的值最小，最后求解即可。
5．如图，在一条长方形纸带ABCD中，∠DEF=α，将纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，则沿BF折叠后的∠CFE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
由折叠得：
∴
故答案为：A.
【分析】根据长方形的性质和平行线的性质得到进而根据折叠的性质得到即可求解.
6．（2023·威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
7．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD 沿EF 折叠，A，D两点分别与点A'，D'对应.若∠CFE=2∠CFD'，设∠CFD'=x°，∠CFE=y°，则根据题意，可列方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵∠CFE=2∠CFD'，∠CFD'=x°，∠CFE=y°，
∴y=2x；
∵∠DFE=∠EFD′，∠EFD′=∠CFE+∠CFD'，
∴∠DFE=y+x；
又∵∠DFE+∠CFE=180°，
∴x+y+y=180°；
故可列方程组为： ；
故答案为：A.
【分析】根据题意可得y=2x；根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等可得∠DFE=∠EFD′，推得∠DFE=y+x；结合图形可求出x+y+y=180°；即可求解.
8．（2024七上·长岭期末）如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】根据折叠的性质可得：∠A'BC=∠ABC=58°，∠EBD=∠E'BD，
∵∠A'BC+∠ABC+∠EBD+∠E'BD=180°，
∴∠E'BD=，
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质可得∠A'BC=∠ABC=58°，∠EBD=∠E'BD，再利用角的运算求出∠E'BD的度数即可.
二、填空题
9．如图，将一张长方形纸片沿 EF 折叠后，点 A，B分别落在点 A'，B'的位置.若∠2=70°，则∠1 的度数为 °.
【答案】55
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B'FC=∠2=70°，
∴∠1+∠B'FE=180°-∠B'FC=110°，
由折叠知∠1=∠B'FE，
∴∠1=∠B'FE=55°，
故答案为：55．
【分析】利用矩形的对边平行得AD∥BC，由两直线平行同位角相等得∠B'FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得∠1=∠B'FE，最后根据平角定义可得答案.
10．（2024八上·前郭尔罗斯期末）如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解。
11．（2024七上·杭州月考）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则∠EAF的度数为
【答案】36°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，∠DAF=∠D'AF，∠BAE=∠B'AE，
∴ 2∠DAF+2∠BAE-∠DAB=∠B'AD’，
∵ 四边形ABCD为正方形，∠B'AD'=18°，
∴ ∠DAB=90°，
∴ ∠DAF+∠BAE=54°，
∴ ∠EAF=∠DAB-（∠DAF+∠BAE）=36°，
故答案为：36°.
【分析】根据折叠得∠DAF=∠D'AF，∠BAE=∠B'AE，推出2∠DAF+2∠BAE-∠DAB=∠B'AD’，根据正方形的性质得∠DAB=90°，进而推出∠DAF+∠BAE=54°，即可求得.
12．（2024八上·浑江期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由图1可知，AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE=，由图2可知，∠FEG=∠BFE=，∴∠FGD=∠FEG+∠BFE=，又∵FC∥GD，∴∠CFG=，由图3可知，∠CFG=，
则∠CFE=∠CFG-∠FEG==。
故答案为：。
【分析】利用平行直线，找到角度间的关系∠DEF=∠BFE=，然后利用图形翻折，得到∠FEG=∠BFE=，在根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠CFG=，最终通过倒角求出∠CFE的度数。
13．（2021七上·苏州期中）如图1，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为﹣16和9，现以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点A1落在B的右边；如图2，再以点B为折点，将数轴向左折叠，点A1对应的点A2落在B的左边.若A2、B之间的距离为3，则点C表示的数为 .
【答案】-2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【解答】解：由题意得：点 之间的距离与点 之间的距离相等，即为3，
因为点 表示的数为9，且点 在点 的右边，
所以点 表示的数为 ，
因为点 表示的数为 ，点 是点 以点 为折点的对应点，
所以点 表示的数为 .
故答案为：-2.
【分析】由题意得：点A1、B之间的距离与点A2、B之间的距离相等，均为3，结合点B表示的数可得点A1表示的数，然后根据点A1为AC的中点就可求得点C表示的数.
三、解答题
14．（2024八上·松原期末）如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，在下面每个网格中画出符合要求的图形（画出三种即可）．
【答案】解：如图所示．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称的性质设计出图案．先确定对称轴，对称轴可以是横线，也可以是竖线，还可以是斜线，再利用对称性设计出图案。
15．（2024七上·江源期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕.
（1）若，求的度数；
（2）试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由.
【答案】（1）因为将对折，得到折痕，
所以.
因为将对折，得到折痕，
所以.
因为，
所以.
所以.
（2）不变.理由如下：
因为，，，
所以，
即.
所以的大小不随点的运动而变化.
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）将，对折，根据折叠性质可得，，由可得，再根据折叠性质即可求出答案.
（2）根据平角性质，折叠性质可得，即，即可求出答案.
四、综合题
16．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
17．（2023七下·长清期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
（1）画出关于直线的对称图形；
（2）若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
（3）若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积
（3）解：如图，点为所作，
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据作图-轴对称即可求解；
（2）根据割补法即可求解；
（3）根据轴对称（最短路径问题）结合题意画图即可求解。
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