2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.2 旋转同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·中江期中） 在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
2．（2021九上·海淀期末）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．（2023七上·襄都月考）如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形COD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·仓山月考）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
5．（2023七上·永年期中）如图，把三角形绕点C顺时针旋转，得到三角形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·张北期中）在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转．向左、向右平移）。已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形。则该图案需进行的操作是（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移至最右侧
B．逆时针旋转90°，向右平移至最右侧
C．顺时针旋转90°，向左平移至最左侧
D．逆时针旋转90°，向左平移至最左侧
7．（2023九上·楚雄期中）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（7，2）
C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
8．（2023八下·石景山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
10．（2019·无棣模拟）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是
11．（2023九上·肇州月考）如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝ 度．
12．（2023七下·霍邱期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
13．（2023七下·茶陵期末）如图1，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转10秒时，则的度数 ；
（2）第t秒时，所在直线恰好平分，则t的值为 ．
三、解答题
14．（2024七上·碧江期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
15．（2024七上·金华期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
（1）当时，求和的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
四、综合题
16．（2021七上·余姚期末）如图1， 已知 ，射线 从 位置出发，以每秒 的速度按顺时针方向向射线 旋转；与此同时， 射线 以每秒 的速度，从 位置出发按逆时针方向向射线 旋转，到达射线 后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线 与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当 时， 求 的度数；
（2）当 与 重合时，求 的值；
（3）如图2，在旋转过程中， 若射线 始终平分 ，问：是否存在 的值， 使得 若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由.
17．（2023七下·衡阳期末）如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）在图1中， ；
（2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：如图所示
∵把点P（2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，
∴ P1（-3，2）
∵把点P（2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，
∴ P1（3，-2）
∴ 点P1的坐标是 （﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】本题考查图形的旋转和点的旋转性质，把点坐标转化成图形，结合旋转的性质找出对应点是解题关键。题目没有说明顺逆旋转，则有两种情况。把点P的横纵坐标表示出来，相当于把三角形POC逆时针旋转或顺时针旋转90°，得出对应图形，可得点P的对应点P1的坐标。
2．【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故答案为：B
【分析】利用图形的旋转和旋转的性质即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意及旋转的性质得：，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据旋转变换的性质求出的度数，结合计算．
4．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接CF，作CF的垂直平分线，如图：
∴旋转中心为点Q，
故答案为：D.
【分析】连接两个对应点，旋转中心在两点连线的垂直平分线上，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】∵把三角形绕点C顺时针旋转，得到三角形，
∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB-∠ACB'=∠A'CB'-∠ACB'，
∴∠B'CB=∠A'CA=35°，
∵，
∴∠ACB'=105°-35°-35°=35°，
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质及角的运算可得∠B'CB=∠A'CA=35°，再结合利用角的运算求出∠ACB'=105°-35°-35°=35°即可.
6．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】该图形缺失部分横向2格，竖向3格，则该图案需顺时针旋转90°，再向右平移到最右侧；
故答案为：A
【分析】本题考查图形的平移、旋转的性质，仔细观察图形，可知旋转方向，得出结论。
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解： 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵2023÷4=505···3，
∴ 第2023次旋转结束时，点D落在第三象限，
故答案为：D.
【分析】 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次一个循环，据此解答即可.
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】旋转后的点B即左上角的点，观察得知为（-2，3）.
故选A.
【分析】此题关键画出旋转后的图形，考察到是图形的旋转。
9．【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
10．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∠BAC＝60°
∴∠ABC=30°
∴AB=2AC＝2
由旋转可得 △ ABC≌△AB′C′ ，∠BAB′=45°
∴
S△AB′C′=S△ABC
∴图中阴影部分的面积 =S△AB′C′+S扇形ABB′-S△ABC=S扇形ABB′= 45 × π × 2 2 360 = π 2 .
【分析】先根据旋转的性质证得 △ ABC≌△AB′C′ ，∠BAB′=45°，继而得S△AB′C′=S△ABC，然后用和差法求阴影部分的面积即可。
11．【答案】105
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC＝BA，∠B＝30°，
∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，
故答案为：105．
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠BAC，根据题意确定旋转角=，即可求解．
12．【答案】30°或45°或75°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
13．【答案】（1）100
（2）24或60/60或24
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=60°，∠BOQ=90°，
∴∠COQ=∠BOC+∠BOQ=60°+90°=150°，
∵三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，
∴当旋转10秒时，∠COQ=150°-10×5°=100°，
故答案为：100；
（2）∵， 所在直线恰好平分，
∴∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，
∴5t°=30°+90°或5t°=90°+210°，
解得：t=24或60，
故答案为：24或60.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠COQ的度数，再利用角的运算求解即可；
（2）先求出∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，再根据题意列出方程5t°=30°+90°或5t°=90°+210°，再求出t的值即可.
14．【答案】（1）40°
（2）解：①∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∠COD=180°-∠DOE-∠BOC=180°-90°-50°=40°；
故答案为：40°；
（2）
（3）当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
【分析】（1）根据平角定义，即可得出∠COD=180°-∠DOE-∠BOC=180°-90°-50°=40°；
（2）①首先根据邻补角定义求得∠AOC=130°，再根据角平分线的定义求得∠AOE=∠COE=65°，再根据平角定义，即可得出∠BOD的值；②首先得出 ，，然后根据 ， 可得出 ， 解得 ；
（3） 。 可分成几种情况说明：当在内部时，如图所示，，，即可得出；当在外部时，如图所示，，，进一步即可得出。
15．【答案】（1）解：如图1，，
，
当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，
故，
；
（2）解：①由图1，得，
设运动时间为，如图2，
，，，，
，，，，
①当时，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
；
②，
，
，
，
，
故不存在的值；
①当时，如图：
，
故不存在的值；
②当时，如图：
，
，
，
，
解得，，
综上所述，的值为或．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据补角的定义和旋转的性质计算即可；
（2）①由图1，得，设运动时间为，进而分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算；
②分两种情况讨论，①当时，②当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算.
16．【答案】（1）解：当 时，
， ，
∵ ，
∴
（2）解：当射线 没有到达射线 ， 与 重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
解得： ；
当射线 到达射线 后返回， 与 重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当 与 重合时， t的值为20或60；
（3）解：存在，t的值为15或22.5或45
【知识点】角的运算；图形的旋转；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：存在， 的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当 时， 与 第一次重合，当 时， 到达射线 ，当 时，射线 与射线 重合，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
如图，当 时， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
如图，当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得∠POQ=∠COQ .
【分析】（1）根据题意可得：当t=5时，∠AOP=10°，∠BOQ= 20°，即可求解；
（2）分两种情况讨论：即当射线OQ没有到达射线OA， OP与OQ重合时，当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时， 根据 ， 分别建立关于t的方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：即当017．【答案】（1）
（2）解：①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
【知识点】平行线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵△BDP和△ACP是一副直角三角板，∠D=45°，∠C=30°，
∴∠DPB=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°-∠DPB-∠APC=75°.
故答案为：75°.
【分析】（1）由三角板得∠DPB=45°，∠APC=60°，接着由平角的定义即可得答案.
（1）①分两种情况讨论，当边BD和PC在直线MN同侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPN=90°，从而得到旋转角度∠APN=30°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为3秒；当边BD和PC在直线MN异侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPB=90°，从而得到∠APM=30°，旋转角度为210°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为21秒.
②设旋转的时间为t秒，由题知，， 根据平角的定义表示出∠BPN，根据周角的定义表示出∠CPD，根据∠CPD=∠BPN列出方程，解方程即可得答案.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 5.2 旋转同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·中江期中） 在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：如图所示
∵把点P（2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，
∴ P1（-3，2）
∵把点P（2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，
∴ P1（3，-2）
∴ 点P1的坐标是 （﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】本题考查图形的旋转和点的旋转性质，把点坐标转化成图形，结合旋转的性质找出对应点是解题关键。题目没有说明顺逆旋转，则有两种情况。把点P的横纵坐标表示出来，相当于把三角形POC逆时针旋转或顺时针旋转90°，得出对应图形，可得点P的对应点P1的坐标。
2．（2021九上·海淀期末）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故答案为：B
【分析】利用图形的旋转和旋转的性质即可得出答案。
3．（2023七上·襄都月考）如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形COD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意及旋转的性质得：，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据旋转变换的性质求出的度数，结合计算．
4．（2023九上·仓山月考）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接CF，作CF的垂直平分线，如图：
∴旋转中心为点Q，
故答案为：D.
【分析】连接两个对应点，旋转中心在两点连线的垂直平分线上，据此即可求解.
5．（2023七上·永年期中）如图，把三角形绕点C顺时针旋转，得到三角形．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】∵把三角形绕点C顺时针旋转，得到三角形，
∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB-∠ACB'=∠A'CB'-∠ACB'，
∴∠B'CB=∠A'CA=35°，
∵，
∴∠ACB'=105°-35°-35°=35°，
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质及角的运算可得∠B'CB=∠A'CA=35°，再结合利用角的运算求出∠ACB'=105°-35°-35°=35°即可.
6．（2023九上·张北期中）在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转．向左、向右平移）。已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形。则该图案需进行的操作是（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移至最右侧
B．逆时针旋转90°，向右平移至最右侧
C．顺时针旋转90°，向左平移至最左侧
D．逆时针旋转90°，向左平移至最左侧
【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】该图形缺失部分横向2格，竖向3格，则该图案需顺时针旋转90°，再向右平移到最右侧；
故答案为：A
【分析】本题考查图形的平移、旋转的性质，仔细观察图形，可知旋转方向，得出结论。
7．（2023九上·楚雄期中）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（7，2）
C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解： 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次一个循环，
∵2023÷4=505···3，
∴ 第2023次旋转结束时，点D落在第三象限，
故答案为：D.
【分析】 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次一个循环，据此解答即可.
8．（2023八下·石景山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】旋转后的点B即左上角的点，观察得知为（-2，3）.
故选A.
【分析】此题关键画出旋转后的图形，考察到是图形的旋转。
二、填空题
9．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
10．（2019·无棣模拟）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∠BAC＝60°
∴∠ABC=30°
∴AB=2AC＝2
由旋转可得 △ ABC≌△AB′C′ ，∠BAB′=45°
∴
S△AB′C′=S△ABC
∴图中阴影部分的面积 =S△AB′C′+S扇形ABB′-S△ABC=S扇形ABB′= 45 × π × 2 2 360 = π 2 .
【分析】先根据旋转的性质证得 △ ABC≌△AB′C′ ，∠BAB′=45°，继而得S△AB′C′=S△ABC，然后用和差法求阴影部分的面积即可。
11．（2023九上·肇州月考）如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝ 度．
【答案】105
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC＝BA，∠B＝30°，
∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，
故答案为：105．
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠BAC，根据题意确定旋转角=，即可求解．
12．（2023七下·霍邱期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】30°或45°或75°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
13．（2023七下·茶陵期末）如图1，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转10秒时，则的度数 ；
（2）第t秒时，所在直线恰好平分，则t的值为 ．
【答案】（1）100
（2）24或60/60或24
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=60°，∠BOQ=90°，
∴∠COQ=∠BOC+∠BOQ=60°+90°=150°，
∵三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，
∴当旋转10秒时，∠COQ=150°-10×5°=100°，
故答案为：100；
（2）∵， 所在直线恰好平分，
∴∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，
∴5t°=30°+90°或5t°=90°+210°，
解得：t=24或60，
故答案为：24或60.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠COQ的度数，再利用角的运算求解即可；
（2）先求出∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，再根据题意列出方程5t°=30°+90°或5t°=90°+210°，再求出t的值即可.
三、解答题
14．（2024七上·碧江期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
【答案】（1）40°
（2）解：①∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∠COD=180°-∠DOE-∠BOC=180°-90°-50°=40°；
故答案为：40°；
（2）
（3）当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
【分析】（1）根据平角定义，即可得出∠COD=180°-∠DOE-∠BOC=180°-90°-50°=40°；
（2）①首先根据邻补角定义求得∠AOC=130°，再根据角平分线的定义求得∠AOE=∠COE=65°，再根据平角定义，即可得出∠BOD的值；②首先得出 ，，然后根据 ， 可得出 ， 解得 ；
（3） 。 可分成几种情况说明：当在内部时，如图所示，，，即可得出；当在外部时，如图所示，，，进一步即可得出。
15．（2024七上·金华期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
（1）当时，求和的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
【答案】（1）解：如图1，，
，
当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，
故，
；
（2）解：①由图1，得，
设运动时间为，如图2，
，，，，
，，，，
①当时，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
；
②，
，
，
，
，
故不存在的值；
①当时，如图：
，
故不存在的值；
②当时，如图：
，
，
，
，
解得，，
综上所述，的值为或．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据补角的定义和旋转的性质计算即可；
（2）①由图1，得，设运动时间为，进而分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算；
②分两种情况讨论，①当时，②当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算.
四、综合题
16．（2021七上·余姚期末）如图1， 已知 ，射线 从 位置出发，以每秒 的速度按顺时针方向向射线 旋转；与此同时， 射线 以每秒 的速度，从 位置出发按逆时针方向向射线 旋转，到达射线 后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线 与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当 时， 求 的度数；
（2）当 与 重合时，求 的值；
（3）如图2，在旋转过程中， 若射线 始终平分 ，问：是否存在 的值， 使得 若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当 时，
， ，
∵ ，
∴
（2）解：当射线 没有到达射线 ， 与 重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
解得： ；
当射线 到达射线 后返回， 与 重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当 与 重合时， t的值为20或60；
（3）解：存在，t的值为15或22.5或45
【知识点】角的运算；图形的旋转；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：存在， 的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当 时， 与 第一次重合，当 时， 到达射线 ，当 时，射线 与射线 重合，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
如图，当 时， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
如图，当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得∠POQ=∠COQ .
【分析】（1）根据题意可得：当t=5时，∠AOP=10°，∠BOQ= 20°，即可求解；
（2）分两种情况讨论：即当射线OQ没有到达射线OA， OP与OQ重合时，当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时， 根据 ， 分别建立关于t的方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：即当017．（2023七下·衡阳期末）如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）在图1中， ；
（2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？
【答案】（1）
（2）解：①如图1，此时，成立，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒；
如图2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角板绕点逆时针旋转的角度为，
∵转速为秒，
∴旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，，
∴，
∴，
当，即，
解得：，
∴当，旋转的时间是秒．
【知识点】平行线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵△BDP和△ACP是一副直角三角板，∠D=45°，∠C=30°，
∴∠DPB=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°-∠DPB-∠APC=75°.
故答案为：75°.
【分析】（1）由三角板得∠DPB=45°，∠APC=60°，接着由平角的定义即可得答案.
（1）①分两种情况讨论，当边BD和PC在直线MN同侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPN=90°，从而得到旋转角度∠APN=30°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为3秒；当边BD和PC在直线MN异侧时，BD∥PC，根据平行线性质得∠CPB=90°，从而得到∠APM=30°，旋转角度为210°，再根据转速为10°/秒，得旋转时间为21秒.
②设旋转的时间为t秒，由题知，， 根据平角的定义表示出∠BPN，根据周角的定义表示出∠CPD，根据∠CPD=∠BPN列出方程，解方程即可得答案.
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