2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 6.2 方差同步分层训练培优题
一、选择题
1．若数据1，2，3，4，5的方差是a，则数据7，8，9，10，11的方差是 （ ）
A．a B．2a C．4a D．5a
2．甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1环 ，乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5环 .下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
3．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内，校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
4．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
下列关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，说法正确的是 （ ）
A．众数是 2 吨 B．平均数是 4.5 吨
C．中位数是 5 吨 D．方差是0.84 吨
5．（2021八下·睢县期末）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
方差 3.6 3.2 4 4.3
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
6．（2017·桥西模拟）小华进行了5次射击训练后，计算出这5次射击的平均成绩为8环，方差为s12，随后小华又进行了第6次射击，成绩恰好是8环，并计算出这6次射击成绩的方差为s22，则下列说法正确的是（ ）
A．s12=s22 B．s12＜s22
C．s12＞s22 D．无法确定s12与s22的大小
7．如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．19
8．（2021八下·兴隆期末）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲2＞S乙2；②S甲2＜S乙2；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
9．已知一组数据x ，x ，x ，…，x。的方差是 1.5，则另一组 数 据 2x ，2x ， 2x ，…，2x， 的方差是 .
10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5等的平均数是2，方差是1 ，则数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是 ，方差是
11．有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为160 cm，甲队身高方差=1.2 cm2，乙队身高方差=2.0 cm2，两队身高比较整齐的是 队（填“甲”或“乙”）.
12．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
13．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
三、解答题
14．体育老师要从每班选取一名同学参加学校的跳绳比赛，小静和小炳是跳绳能手，下面分别是小静、小炳 6次跳绳成绩的统计图和成绩分析表.
小静、小炳6次跳绳成绩的折线统计图
小静、小炳6次跳绳成绩分析表
成绩学生 平均数 中位数 方差
小静 180 182.5 79.7
小炳 180 a 49.7
（1）根据统计图中的数据，表中 a= .
（2）结合以上信息，请你从两个不同的角度评价这两位学生的跳绳水平。
15．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
四、综合题
16．（2023·船营模拟）为了了解甲、乙、丙三种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某月生产的甲、乙、丙三种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数的数据，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
ⅰ.甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图：
ⅱ.丙型号扫地机器人的除尘指数数据：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10.
ⅲ．甲、乙、丙三种型号机器人除尘指数的平均数：
扫地机器人 甲 乙 丙
除尘指数平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在抽取的扫地机器人中，如果除尘指数的10个数据的方差越小，则认为该型号的扫地机器人性能更稳定．据此推断：在甲、乙两种型号扫地机器人中， 型扫地机器人的性能稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）在抽取的扫地机器人中，如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值之后的平均值作为性能参考，平均值越高，则认为该型号扫地机器人性能表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
17．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据1，2，3，4，5的方差是a，
∴将每一个数加上6，可得到新的数据为7，8，9，10，11，这组数据的方差不变，
∴数据7，8，9，10，11的方差是a.
故答案为：A.
【分析】利用方差的规律：将每一个数加上6，可得到新的数据为7，8，9，10，11，这组数据的方差不变，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙射靶10次，且平均数都是8环，
∴甲、乙射中的总环数相同，故A选项正确；
∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，即乙射击成绩的波动比甲较大，故B、C选项正确；
由于不知道甲、乙射击成绩的具体数据，所以众数不一定相同，故选项D错误.
故答案为：D．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此可判断B、C选项；
再根据平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，据此可判断A选项；众数就是一组数据中出现次数最多的数据，由于不知道甲、乙射击成绩的具体数据，故不能判断出甲、乙成绩的众数一定相同，据此可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、小亮该周平均每天校外锻炼的时间为：（65+67+70+67+75+79+88）÷5=73（分），故此选项错误，不符合题意；
B、小亮该周平均每天校外锻炼的时间中，67出现的此时最多，出现了2次，所以这组数据的众数为67，故此选项正确，符合题意；
C、将小亮该周平均每天校外锻炼的时间从小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，处于最中间位置的数为70，所以这组数据的中位数是70，故此选项错误，不符合题意；
D、这组数据的方差为，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、这组数据出现次数最多的是5吨，
∴众数是5吨，故A错误；
B、平均数为=4.4（吨），故B错误；
C、将这20户用水量从小到大排列，第10、11位数据为4，5，
∴中位数为=4.5（吨），故C错误；
D、方差为≈0.84吨2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图表可知，乙的方差最小，比较稳定，
则要从中选择出一个更平均的小组参加年级的比赛，那么应选乙组；
故答案为：B.
【分析】直接根据方差的意义进行解答.
6．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：6次成绩的平均数为8环，
由方差公式得：s12＞s22，
故答案为：C．
【分析】可由方差的公式，在原来，中括号内的数值没变，但前面除以6，因此变小了.
7．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，
根据方差公式：S2=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]=4．
则S2={[（x1+3）﹣（a+3）]2+[（x2+3）﹣（a+3）]2+…（xn+3）﹣（a+3）]}2
=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]
=4．
故选：A．
【分析】根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，再根据方差公式进行计算：S2=[（x1﹣ ）2+（x2﹣）2+…（xn﹣）2]即可得到答案．
8．【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.45
∴S2甲＜S2乙，
∴甲的射击成绩比乙稳定；
故选C．
【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
9．【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，······，xn的方差是1.5，
∴数据2x1，2x2，2x3，······，2xn的方差是22×1.5=6，
故答案为：6.
【分析】根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方即可求解.
10．【答案】4；9
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： ∵ 数据x1，X2，X3，X4，x5的平均数是2，
∴ x1 + x2 十 x3 + x4+x5=2 x 5=10,
∴ ,(故第1空答案是4）；
；（故第2空答案是9）；
【分析】根据平均数公式与方差公式即可求解.
11．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴
∴甲队的身高比乙队的整齐，
故答案为：甲.
【分析】根据：方差反应一组数据的波动情况，方差越小，数据波动情况越小，进而即可求解.
12．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
13．【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
14．【答案】（1）179
（2）解：从平均数来看，两人的平均成绩相同，即他们的平均水平一样；
从中位数来看，小静跳绳成绩的中位数大于小柄跳绳成绩的中位数，所以小静的跳绳水平高；
从方差来看，79.5＞49.7，
∴小柄的成绩稳定，小静的跳绳成绩波动大，不稳定.
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可知
小柄的跳绳成绩为：175，185，170，180，178，192，
排序为170，175，178，180，185，192，
处于最中间的两个数是178，180
∴这组数据的中位数是（178+180）×=179，
∴a=179.
故答案为：179.
【分析】（1）由折线统计图可得到小柄的跳绳成绩，再排序，可得到处于最中间的两个数是178，180，由此可求出a的值.
（2）利用表中数据，从平均数，中位数，方差三个方面进行分析即可.
15．【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
16．【答案】（1）解：由题意知 ，
∴表中 的值为8.6．
（2）甲
（3）丙
【知识点】加权平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（2）
=1.04，
=1.488，
∴，
∴甲型扫地机器人的性能稳定；
（3）由题意可得：，
，
，
∴表现最优秀的是丙，
故答案为：丙。
【分析】（1）利用平均数的计算公式计算求解即可；
（2）根据题意求出甲和乙的方差，再比较大小求解即可；
（3）利用平均数的计算公式，结合题意计算求解即可。
17．【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 6.2 方差同步分层训练培优题
一、选择题
1．若数据1，2，3，4，5的方差是a，则数据7，8，9，10，11的方差是 （ ）
A．a B．2a C．4a D．5a
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据1，2，3，4，5的方差是a，
∴将每一个数加上6，可得到新的数据为7，8，9，10，11，这组数据的方差不变，
∴数据7，8，9，10，11的方差是a.
故答案为：A.
【分析】利用方差的规律：将每一个数加上6，可得到新的数据为7，8，9，10，11，这组数据的方差不变，可得答案.
2．甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1环 ，乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5环 .下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙射靶10次，且平均数都是8环，
∴甲、乙射中的总环数相同，故A选项正确；
∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，即乙射击成绩的波动比甲较大，故B、C选项正确；
由于不知道甲、乙射击成绩的具体数据，所以众数不一定相同，故选项D错误.
故答案为：D．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此可判断B、C选项；
再根据平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，据此可判断A选项；众数就是一组数据中出现次数最多的数据，由于不知道甲、乙射击成绩的具体数据，故不能判断出甲、乙成绩的众数一定相同，据此可判断D选项.
3．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内，校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
【答案】B
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、小亮该周平均每天校外锻炼的时间为：（65+67+70+67+75+79+88）÷5=73（分），故此选项错误，不符合题意；
B、小亮该周平均每天校外锻炼的时间中，67出现的此时最多，出现了2次，所以这组数据的众数为67，故此选项正确，符合题意；
C、将小亮该周平均每天校外锻炼的时间从小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，处于最中间位置的数为70，所以这组数据的中位数是70，故此选项错误，不符合题意；
D、这组数据的方差为，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
4．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 6
户数 4 6 8 2
下列关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，说法正确的是 （ ）
A．众数是 2 吨 B．平均数是 4.5 吨
C．中位数是 5 吨 D．方差是0.84 吨
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、这组数据出现次数最多的是5吨，
∴众数是5吨，故A错误；
B、平均数为=4.4（吨），故B错误；
C、将这20户用水量从小到大排列，第10、11位数据为4，5，
∴中位数为=4.5（吨），故C错误；
D、方差为≈0.84吨2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．（2021八下·睢县期末）甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的平均分相同，若要从中选择出一个各成员实力更平均的小组参加年级的比赛，那么应选（ ）
甲 乙 丙 丁
方差 3.6 3.2 4 4.3
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图表可知，乙的方差最小，比较稳定，
则要从中选择出一个更平均的小组参加年级的比赛，那么应选乙组；
故答案为：B.
【分析】直接根据方差的意义进行解答.
6．（2017·桥西模拟）小华进行了5次射击训练后，计算出这5次射击的平均成绩为8环，方差为s12，随后小华又进行了第6次射击，成绩恰好是8环，并计算出这6次射击成绩的方差为s22，则下列说法正确的是（ ）
A．s12=s22 B．s12＜s22
C．s12＞s22 D．无法确定s12与s22的大小
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：6次成绩的平均数为8环，
由方差公式得：s12＞s22，
故答案为：C．
【分析】可由方差的公式，在原来，中括号内的数值没变，但前面除以6，因此变小了.
7．如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．19
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，
根据方差公式：S2=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]=4．
则S2={[（x1+3）﹣（a+3）]2+[（x2+3）﹣（a+3）]2+…（xn+3）﹣（a+3）]}2
=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（xn﹣a）2]
=4．
故选：A．
【分析】根据题意得：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为a+3，再根据方差公式进行计算：S2=[（x1﹣ ）2+（x2﹣）2+…（xn﹣）2]即可得到答案．
8．（2021八下·兴隆期末）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲2＞S乙2；②S甲2＜S乙2；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.45
∴S2甲＜S2乙，
∴甲的射击成绩比乙稳定；
故选C．
【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
二、填空题
9．已知一组数据x ，x ，x ，…，x。的方差是 1.5，则另一组 数 据 2x ，2x ， 2x ，…，2x， 的方差是 .
【答案】6
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，······，xn的方差是1.5，
∴数据2x1，2x2，2x3，······，2xn的方差是22×1.5=6，
故答案为：6.
【分析】根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方即可求解.
10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5等的平均数是2，方差是1 ，则数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是 ，方差是
【答案】4；9
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： ∵ 数据x1，X2，X3，X4，x5的平均数是2，
∴ x1 + x2 十 x3 + x4+x5=2 x 5=10,
∴ ,(故第1空答案是4）；
；（故第2空答案是9）；
【分析】根据平均数公式与方差公式即可求解.
11．有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为160 cm，甲队身高方差=1.2 cm2，乙队身高方差=2.0 cm2，两队身高比较整齐的是 队（填“甲”或“乙”）.
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵
∴
∴甲队的身高比乙队的整齐，
故答案为：甲.
【分析】根据：方差反应一组数据的波动情况，方差越小，数据波动情况越小，进而即可求解.
12．为迎接体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是 。
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：∵平均数为12，
∴这组数据的和=12×7=84，
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36，
又∵这组数据的众数为13，
∴被覆盖的三个数为：10，13，13，
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10，13，13，再根据方差公式进行计算即可.
13．（2021八下·鄞州期中）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
【答案】大于
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
三、解答题
14．体育老师要从每班选取一名同学参加学校的跳绳比赛，小静和小炳是跳绳能手，下面分别是小静、小炳 6次跳绳成绩的统计图和成绩分析表.
小静、小炳6次跳绳成绩的折线统计图
小静、小炳6次跳绳成绩分析表
成绩学生 平均数 中位数 方差
小静 180 182.5 79.7
小炳 180 a 49.7
（1）根据统计图中的数据，表中 a= .
（2）结合以上信息，请你从两个不同的角度评价这两位学生的跳绳水平。
【答案】（1）179
（2）解：从平均数来看，两人的平均成绩相同，即他们的平均水平一样；
从中位数来看，小静跳绳成绩的中位数大于小柄跳绳成绩的中位数，所以小静的跳绳水平高；
从方差来看，79.5＞49.7，
∴小柄的成绩稳定，小静的跳绳成绩波动大，不稳定.
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可知
小柄的跳绳成绩为：175，185，170，180，178，192，
排序为170，175，178，180，185，192，
处于最中间的两个数是178，180
∴这组数据的中位数是（178+180）×=179，
∴a=179.
故答案为：179.
【分析】（1）由折线统计图可得到小柄的跳绳成绩，再排序，可得到处于最中间的两个数是178，180，由此可求出a的值.
（2）利用表中数据，从平均数，中位数，方差三个方面进行分析即可.
15．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
四、综合题
16．（2023·船营模拟）为了了解甲、乙、丙三种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某月生产的甲、乙、丙三种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数的数据，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
ⅰ.甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图：
ⅱ.丙型号扫地机器人的除尘指数数据：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10.
ⅲ．甲、乙、丙三种型号机器人除尘指数的平均数：
扫地机器人 甲 乙 丙
除尘指数平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在抽取的扫地机器人中，如果除尘指数的10个数据的方差越小，则认为该型号的扫地机器人性能更稳定．据此推断：在甲、乙两种型号扫地机器人中， 型扫地机器人的性能稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）在抽取的扫地机器人中，如果把10个除尘指数去掉一个最高值和一个最低值之后的平均值作为性能参考，平均值越高，则认为该型号扫地机器人性能表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三种型号的扫地机器人中，表现最优秀的是 （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】（1）解：由题意知 ，
∴表中 的值为8.6．
（2）甲
（3）丙
【知识点】加权平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（2）
=1.04，
=1.488，
∴，
∴甲型扫地机器人的性能稳定；
（3）由题意可得：，
，
，
∴表现最优秀的是丙，
故答案为：丙。
【分析】（1）利用平均数的计算公式计算求解即可；
（2）根据题意求出甲和乙的方差，再比较大小求解即可；
（3）利用平均数的计算公式，结合题意计算求解即可。
17．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
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